广西玉林市第一中学2025-2026学年下学期高二自主测试数学试卷（5.6）

高二数学自主训练 三（5月6日） 一、单选题 1．已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 2．某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（    ） A．9种 B．20种 C．625种 D．1024种 3．对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（   ）    A．乙组数据的相关系数大于零 B．甲组数据的相关程度比乙强 C．乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D．乙组数据的相关系数比甲小 4．已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 6．已知随机变量，随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 7．有一项抽奖活动．在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“1”、“2”、“3”、“4”、“5”，分别对应得分：1，2，3，4，5．学生从中有放回地任取一个球，记下得分．设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每 个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 二、多选题 9．（多选）已知随机变量的分布列为： 4 9 10 0.3 0.1 0.2 若，则以下结论正确的是（    ） A．无法确定 B． C． D． 10．设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是(  ). A．若，则 B．若，且，则且 C．若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为 D．若，且，则和均是的最大值 11．已知函数，则下列命题中正确的是（    ） A．1是的极大值 B．当时， C．当时，有且仅有一个零点，且 D．若存在极小值点，且，其中，则 三、填空题 12．学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 13．在的展开式中，含项的系数为__________. 14．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. 四、解答题 15．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据为： 1 2 3 4 5 价格 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量 12 10 7 5 3 已知，，，， （1）求出对的回归方程； （2）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？（精确到）. 16．已知数列前n项和为，且满足，数列满足． (1)求出 (2)求出数列的前项和 17．树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 18．现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． 19．已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 《高二数学自主训练 三（5月6日）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D D A A B A BCD ABD ABD 1．A由于的各项均为正数，故. 2．B第一步，从5种不同的篮球中选一个，有5种选法，第二步，从4种不同的排球中选一个，有4种选法，故不同的选法为：种. 3．D由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，且乙组数据呈负相关，相关系数记为，则，甲组数据呈正相关，相关系数记为，则，乙图的点相对更加集中在某一条直线附近，故其相关性较强，则乙组数据的相关系数更接近，故A、B、C错误，D正确. 4．D由题意得，即，由倾斜角的范围，解得. 5．A因 ，则有，故，该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 6．A因，随机变量，故，故， 7．B因是有放回，故可得，且；因此. 8．A由题意，可得，，分别有4，3，2种方法，（1）当与相同时，有1种方法，此时有2种，①若与相同有有1种方法，同时有3种方法，②若与不同，此时有2种方法，共有：种方法；（2）当与相同时，有1种方法，此时讨论的3种方法，共有种方法；（3）当既不同于又不同于时，有1种方法，共有种方法，由分类计数原理，得共有种方法． 9．BCD由分布列的性质，可得，解得，故B正确；又由，解得，故A不正确；由均值的性质，可知，故C正确；又由，故D正确． 10．ABD对于A：因 是等差数列，，故 ，故A正确；对于B：因 ， 故 ，即 是递增数列，因 ，即 ，故 ，即 ，则 ，故 且 ，故B正确； 对于C：因 ，故 ，则 ，则 ，又 ，，故 ，即 ，故 ，得 ，，故 的公差为 ，故C错误；对于D： ， 即 ，即 ，整理得 ，因 ，故 ，由于 ，故 ，故 ，即 ，因 ，故 是递减数列，则 ， ，故 ， ，故 和 均是 的最大值，故D正确. 11．ABD由题意可得，，令，当时，得或．对于A，当时，在和上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值；当时，在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值；当时，，在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，故A正确；对于B，当时，在上单调递增，又因，故，故B正确；对于C，当时，在上单调递增，由于，故在上存在唯一的零点且小于0；若，则的极小值，即在上没有零点，故有且仅有一个零点且小于0，故C错误；对于D，若存在极小值点，则，即，因，故，故，，即，又，故，故D正确． 12．1由题意可得，的取值为，，，，. 13．30，中含项为，中含项为中含的项，为，综上可知，含项的系数为. 14．/因，则，故故在点处的切线方程为，令，得到，故，则，故，由对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，又，易知，故， 15． （1）因，，，，故，，故对的回归方程为. （2）当时，.故当价格定为1.9万元时，需求量大约是 16（1）因，当时，，故，当时，可得，两式相减，得，故，故，，故是首项为，公比为的等比数列，故，因，故． （2）由（1）得，故，则，两式相减，故. 17．（1）①依题意可得列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 80 40 120 女生 40 60 100 合计 120 100 220 ②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，由列联表可得，依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，该结论犯错误的概率不超过. （2）高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为，则，故的可能取值为、、、，则，，，故的分布列为： 0 1 2 3 故. 18．（1）设A=“第1次取出白球”，B=“第2次取出红球”，则第1次取出白球且第2次取出红球为事件AB，∴，，∴，∴在第1次取出白球的条件下，第2次取出红球的概率为 （2）设C=“从乙箱中取出1个白球”=“从甲箱中取出2个白球”，=“从甲箱中取出1白1红两球”，=“从甲箱中取出2个红球”，则，且，，两两互斥，根据题意，，，，且，，，由全概率公式，得，则，∴已知从乙箱中取出的球为白球，从甲箱中取出的两个球均为白球的概率为. 19（1）当时，.因，，故， 故曲线在点处的切线方程为：即. （2），.当时，由，此时，函数在上单调递减；当时，由，此时由，由.故在上单调递增，在上单调递减.综上可知，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值.因.若，则函数的定义域为，此时，即，故在上单调递增.因.设，.则.由；由.故在上单调递增，在上单调递减.故.故恒成立，故在不可能恒成立.若，则函数的定义域为，此时，由，由.故在上单调递减，在上单调递增.故.要想在上恒成立，需要.设，.则.由，由.故在上单调递增，在上单调递减，故.即当时，.故为所求. 高二数学自主训练 三（5月6日） 试卷第4页，共4页 高二数学自主训练 三（5月6日） 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $