精品解析：内蒙古乌兰察布市集宁一中2025-2026学年高三下学期5月诊断考试'数学试题

2025-2026学年第二学期5月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：朱义轩 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 5. 点到平面的距离是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 8. 已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 高二五班龙哥同学早晨上学经常迟到，班级每周对他进行四次考核，若每次考核中能够准时入校，本周通过考核，否则在本周请同学们遇到龙哥温馨提醒“龙哥早起”．已知龙哥在四次考核中能够准时入校的概率依次是，且各次考核互不影响，则（ ） A. 龙哥本周通过考核的概率为 B. 龙哥至少能够通过两次考核的概率为 C. 龙哥在本周第三次考核迟到的概率为 D. 龙哥在本周前三次考核中至少有一次迟到的概率为 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 设函数，则（ ） A. B. 有3个零点 C. 当时，仅有1个零点 D. 当时，的零点之和为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若角的终边与单位圆相交于点，则______. 13. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 14. 已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 16. 已知，且是第四象限角. （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期5月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：朱义轩 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由得， 根据正切函数的性质得， 故“”是“”的必要不充分条件. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 4. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设， ，，， 则为 的中点，所以. 因此，， 所以. 5. 点到平面的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】 若点坐标为，平面方程为，则点到平面的距离. 点，即；平面，即， 代入得距离. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数，可得， 故. 7. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 8. 已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件解出，两点坐标，再由焦半径公式求得. 【详解】由圆：可知，圆心，半径为. 而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，. 由，得. 因为点在圆上，又有，即， 而，则解得，所以.而点又在抛物线上， 则有，所以，则. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 高二五班龙哥同学早晨上学经常迟到，班级每周对他进行四次考核，若每次考核中能够准时入校，本周通过考核，否则在本周请同学们遇到龙哥温馨提醒“龙哥早起”．已知龙哥在四次考核中能够准时入校的概率依次是，且各次考核互不影响，则（ ） A. 龙哥本周通过考核的概率为 B. 龙哥至少能够通过两次考核的概率为 C. 龙哥在本周第三次考核迟到的概率为 D. 龙哥在本周前三次考核中至少有一次迟到的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式，再结合分类互斥事件加法或对立事件减法来求解即可. 【详解】龙哥本周通过四次考核的概率为，故A正确； 龙哥至少能够通过两次考核的概率为 ，故B错误； 龙哥在本周第三次考核迟到的概率为，故C错误； 龙哥前三次考核至少有一次迟到的概率为，故D正确； 故选：AD 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 11. 设函数，则（ ） A. B. 有3个零点 C. 当时，仅有1个零点 D. 当时，的零点之和为1 【答案】BD 【解析】 【分析】观察分段函数,当时为开口向下，对称轴为的二次函数，当时为函数值非负的对数函数，逐次分析计算各个选项即可得出正确答案. 【详解】对于A，代入可得，故A错误； 对于B，若，由，解得或，满足; 若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确； 对于C，由，得，而二次函数的对称轴为, 当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误； 对于D，当时，的零点即为的零点， 当时，由，解得，满足; 当时，由，解得,满足， 所以的零点之和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若角的终边与单位圆相交于点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义可得结果. 【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，所以. 故答案为：. 13. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 14. 已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列片段和的性质得出，化简得出，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由题意知、、成等比数列，所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 16. 已知，且是第四象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，且是第四象限角， 由同角三角函数关系式得. 【小问2详解】 根据诱导公式及同角三角函数关系式得： 原式. 17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，定值是. 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程； （2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程； （3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可. 【小问1详解】 设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即， 因为，所以， 又由，所以可得，则， 即， 所以C的方程为； 【小问2详解】 设，，则，两式相减得. 因为P，Q关于点对称，所以，，则， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 设，，直线的方程为. 由，得到，则且， 由韦达定理得，， 则 ， 即为定值，定值是. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $