精品解析：内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期4月诊断考试高三数学

2025-2026学年第二学期4月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：燕广 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. D. 13 2. 已知函数，下列说法错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期为π的函数 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 3. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设向量满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 双曲线的左顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称．若直线，的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ） A. 44种 B. 48种 C. 72种 D. 80种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则或 D. 若，，则或 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 11. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，则______． 13. 已知向量，，若，则正数的值为______． 14. 已知数列满足，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设函数的最大值为M，最小正周期为T. （1）求M、T； （2）若有10个互不相等的正数满足,且,求的值. 16. 如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求四棱锥的体积． 17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程． 18. 若等比数列的各项为正，前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和. 19. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期4月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：燕广 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 2. 已知函数，下列说法错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期为π的函数 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，，，即可判断C正确，对选项D，当时，，再结合是周期为π的函数，即可判断D错误. 【详解】对选项A，，定义域为R， ， 所以为偶函数，故A正确. 对选项B，因为， 所以 所以， 所以的周期为，故B正确. 对选项C，，， 因为， 所以在区间上单调递减， 故C正确. 对选项D，当时，， 因为，，此时. 当时，， 因为，，此时. 因为是周期为π的函数，所以，故D错误. 故选：D 3. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】解：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且． 在A中，，故A正确； 在B中，，故B错误； 在C中，，故C错误； 在D中，，， 若，则，不合题意，故D错误． 故选：A． 4. 设向量满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求得，再计算出后可得其夹角的余弦． 【详解】设，由，因为， 所以．即， ， ． 故选：D． 5. 已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数． 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 6. 双曲线的左顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称．若直线，的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，化简可得，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线左顶点为，设，则， 则有， 又，得，代入中， 得，即， 所以，故， 故选：A. 7. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，，可得公差， 所以. 故选：D. 8. 一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ） A. 44种 B. 48种 C. 72种 D. 80种 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法，首先将五个节目全排列，减去独唱类节目相邻，再减去歌舞类节目相邻，最后加上独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻的情况即可. 【详解】依题意五个节目全排列有种排法； 若独唱类节目相邻，则有种排法； 若歌舞类节目相邻，则有种排法； 若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法； 综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则或 D. 若，，则或 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的判定及性质，以及面面平行的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，可得与可能平行或异面，所以A不正确； 对于B，若，，可得与可能平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，，当时，可得，或者，所以C正确； 对于D中，若，，根据线面平行的判定定理，可得或，所以D正确. 故选：AB. 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 11. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 13. 已知向量，，若，则正数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量，利用平面向量垂直的坐标表示可求得正数的值. 【详解】因为向量，，则， 因为，则，可得， 因为，解得. 故答案为：. 14. 已知数列满足，且，则______. 【答案】, 【解析】 【分析】由递推关系分析得到数列是首项为,公比为的等比数列，求得其通项公式，然后得到数列的通项公式，进而利用错位相减求和法求得结果. 【详解】∵，∴， 又∵，∴，∴数列是首项为,公比为的等比数列， ∴，∴, ∴， ∴， 两式相减得： , ∴, 故答案为：, 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设函数的最大值为M，最小正周期为T. （1）求M、T； （2）若有10个互不相等的正数满足,且,求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，， 则； 【小问2详解】 由（1），， 则， 又， . 16. 如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据四边形为平行四边形，可得，根据直线与平面平行的判定定理可证平面； （2）现根据长度可得底面时等腰直角三角形，其斜边上的高为四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（1）取的中点，连接，，如图： 则，，∴， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面． （2）因为，，所以，所以， 所以斜边上的高为，即四棱锥的高为， ∴． 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题. 17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解. 【小问1详解】 由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得． 所以． 又，所以，解得． 所以． 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设，， 由，得． 则，． 因为线段中点的横坐标为， 所以． 解得，即，经检验符合题意． 所以直线l的方程为． 18. 若等比数列的各项为正，前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为，则由已知可得，求出公比，再求出首项，从而可求出数列的通项公式； （2）由已知可得，而，所以，然后利用错位相减法可求得结果 【小问1详解】 设各项为正的等比数列的公比为，，， 则，，， 即， 解得或（舍去）， 所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. 由（1）知，所以. 所以① 在①的等式两边同乘以，得 ② 由①②等式两边相减，得， 所以数列的前项和. 19. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关联； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）根据已知的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $