精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2023-2024学年高三下学期期中联考数学（文科）试卷

鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第二学期期中联考试卷 高三数学（文科） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4，本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，即，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的共轭复数以及乘法运算，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D． 3. 若实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定不等式组表示的点的区域,再进行分析何时取得最大值. 【详解】实数满足约束条件,表示的可行域如图阴影部分所示. 当直线经过点A时,取得最大值． 由,解得. 所以． 故选:C． 4. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差以及极差的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意，某文化传播公司25名员工的工资情况组成25个数据， 按大小顺序排列，排在中间的数是中位数，去掉一个最大值和一个最小值， 剩余23个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变； 平均数是与每一个数据都有关系的量，所以可能会发生变化； 方差也是与每一个数据都有关系的量，所以可能会变化； 极差是与最大值和最小值的差，所以去掉最高和最低的两个数据极差会变小． 故选：B． 5. 已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，因为不等于0， 所以，若时，无法得出， 所以“”不是“”的充分条件； 若“”，则， 所以“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 执行如图所示的程序，输出S的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序执行逻辑写出执行步骤即可得答案. 【详解】根据程序执行逻辑， 第一步：且，则； 第二步：且，则； 第三步：且，则； 第四步：且，跳出循环，输出； 故选：C 7. 设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆的位置关系计算公共弦及其弦长，结合点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知：， 因为圆：和圆：交于A，B两点， 所以直线AB的方程为， 所以到直线AB的距离， 所以， 又， 所以． 故选：C． 8. 已知是夹角为的两个单位向量，且，若A，B，C三点共线，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可求得，再利用数量积运算律计算即可. 【详解】由A，B，C三点共线，得， 故，解得， 又易知， 则． 故选：B． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以 故选：D 10. 如图，在正三棱锥中，，点E是线段的中点，点F是棱上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正三棱锥的性质以及线面角的定义作出线面角的平面角，结合余弦定理以及勾股定理即可求得直线与平面所成角的正切值. 【详解】过点P向底面作垂线，垂足O，连接， 过点F作，交于G，连接， 如图所示: 由题意可知且， 因为平面，所以平面， 则即为直线与平面所成角的平面角． 不妨设，则，所以， 则． 在中，由余弦定理可得， 在中，， 所以， 即直线与平面所成角的正切值是． 故选：A． 11. 已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案. 【详解】由题意可得：的最小正周期， 又对任意的恒成立， 所以为的一条对称轴， 所以，解得， 又，则，， 所以． 当时，， 若函数在区间上恰有3个零点，则，解得， 即的取值范围是. 故选：D． 12. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由题中条件可得，，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，再求出离心率即可. 【详解】在平面直角坐标系中，如图， 反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点， 由，，可得，. 则， ， 记双曲线的焦距为，长轴长为， 在直角三角形中，，， 由双曲线的定义，可得，所以， 即， 所以离心率. 故选：A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式和扇形弧长公式列式求值. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则：. 所以圆锥的底面直径为：. 故答案为：2 14. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在直线上确定出的值，根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，结合即可计算出的值，即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点在直线上， 令，则，故双曲线右焦点为， 所以，所以，① 又因为双曲线的一条渐近线平行于直线， 所以，② 由①②解得， 所以，双曲线的方程为：. 故答案为： 15. 已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设出公比，根据题目条件得到方程，求出公比，得到通项公式，求出公差，得到，得到答案. 【详解】设数列的公比为，则，即， 化简得，解得（负值舍去）， 所以． 于是， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以 . 故答案为： 16. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案． 【详解】函数的定义域为，满足， 且当,时，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可得到，最后由辅助角公式计算可得； （2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因， 所以， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，即， 又，所以，所以，则. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得，又，由， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以. 18. “双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．自从2009年国庆节和中秋节一起双节同过开始，每年的11月11号，以天猫、京东、苏宁易购为代表的大型电子商务网站一般会利用这一天来进行一些大规模的打折促销活动，以提高销售额度，逐渐成为中国互联网最大规模的商业促销狂欢活动．某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了400位客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有160人，准备购买该品牌手机的女性有80人，不准备购买该品牌手机的女性有80人． （1）完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关？ 准备购买该品牌手机 不准备购买该品牌手机 合计 男性 女性 合计 （2）从准备购买该品牌手机的客户中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给优惠券，设随机变量X为抽取的3人中女性的人数，求X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关； （2）分布列见解析，期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据题设完善列联表，根据卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）由题意抽取的6人中，男性有4人，女性有2人，且抽取的3人中女性的人数可能值为，求出对应概率即得分布列，再求期望. 【小问1详解】 由题设，列联表如下， 准备购买该品牌手机 不准备购买该品牌手机 合计 男性 160 80 240 女性 80 80 160 合计 240 160 400 ， 所以有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关. 【小问2详解】 由（1）及题设，抽取的6人中，男性有4人，女性有2人， 抽取的3人中女性的人数可能值为，且，，， 分布列如下： 0 1 2 所以数学期望. 19. 如图，四边形是菱形，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明线线垂直，再根据面面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）通过余弦定理解三角形，求出几何体的各边长，再根据等体积法，通过三棱锥的体积，求出点到面的距离. 【小问1详解】 连接，如图所示，因为四边形是菱形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，所以， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以， 所以． 在中，由余弦定理得，所以， 又，易得， 所以，所以， 所以． 因为平面平面，所以平面， 所以． 设点B到平面的距离为，所以，即， 解得，即点B到平面的距离为． 20. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出在图像上一点的切线方程即可. （2）根据函数恒成立的解法，构造新函数，讨论新函数的单调性，根据单调性确定函数最大值，判断参数的取值范围. 【小问1详解】 若，则，所以， 所以，又， 所以函数的图象在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立． 令，所以，易知， 若，则，所以在上单调递增，所以，不符合题意； 若，方程的判别式， 当，即时，令，解得， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，不符合题意； 当，即时，则，所以在上单调递减，所以，符合题意； 综上，a的取值范围为. 21. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程； （2）设，且，求得，再根据已知可得直线，而直线，进而求出坐标，过作轴，利用等比例关系求即可得结论. 【小问1详解】 由题意，故. 【小问2详解】 由（1）及题设知：，直线的斜率存在且不为0， 设，则，即， 所以，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则， 故直线，而直线，则， 联立，而，可得， 所以，故，过作轴，如图， 所以为定值. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为． （1）求的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若点的直角坐标为，直线与交于两点，求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，求得曲线的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程； （2）由点的直角坐标为，得到点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的方程，结合韦达定理得到，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：因为曲线的参数方程为（为参数）， 即，平方相加得， 即曲线的普通方程为， 直线的极坐标方程为，所以， 将代入，可得，即， 所以直线的直角坐标方程为． 【小问2详解】 解：点的直角坐标为，可得点在直线上， 直线的一个参数方程为（为参数）， 将代入，可得， 设点在直线上对应的参数分别为， 所以且， 所以与的夹角为，所以． 23. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且正数满足，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值求解不等式； （2）先求出的最小值，确定，再利用基本不等式证明. 【小问1详解】 当时，， 解得，所以； 当时，， 解得，所以； 当时，， 解得，所以． 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以． 因为，所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第二学期期中联考试卷 高三数学（文科） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4，本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 若实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. 13 D. 15 4. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 5. 已知，且数列是等比数列，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 执行如图所示的程序，输出S的值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 8. 已知是夹角为的两个单位向量，且，若A，B，C三点共线，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正三棱锥中，，点E是线段的中点，点F是棱上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，为最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为____________． 14. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为______． 15. 已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则______． 16. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在中，内角，，对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. “双十一”即指每年11月11日，是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．自从2009年国庆节和中秋节一起双节同过开始，每年的11月11号，以天猫、京东、苏宁易购为代表的大型电子商务网站一般会利用这一天来进行一些大规模的打折促销活动，以提高销售额度，逐渐成为中国互联网最大规模的商业促销狂欢活动．某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了400位客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有160人，准备购买该品牌手机的女性有80人，不准备购买该品牌手机的女性有80人． （1）完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关？ 准备购买该品牌手机 不准备购买该品牌手机 合计 男性 女性 合计 （2）从准备购买该品牌手机的客户中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给优惠券，设随机变量X为抽取的3人中女性的人数，求X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 如图，四边形是菱形，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求点B到平面距离． 20. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围． 21. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为． （1）求的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若点的直角坐标为，直线与交于两点，求的值． 23. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且正数满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $