随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望和方差讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望和方差讲义 随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望和方差讲义 考点目录 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的方差 考点一 离散型随机变量的分布列 【知识点解析】 知识点 1. 离散型随机变量：取值可以一一列举； 1. 分布列形式：列出所有可能取值 及对应概率 ； 1. 性质：① ；② 所有概率之和为 。 解题原理 把随机事件所有可能结果量化为变量取值，算出每个取值对应的发生概率，用表格规范呈现概率分布规律。 解题思路 1. 确定随机变量所有可能取值； 1. 逐一计算每个取值对应的概率； 1. 列表写出分布列； 1. 用概率和为 1 检验正误。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 2 P 则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．4 B．3 C．2 D．1 例3．（25-26高二下·吉林延边·期中）离散型随机变量X的分布列为：则________. 0 1 例4．（25-26高二下·北京·期中）随机变量X的分布列如下表所示：则__________,__________. X 1 2 3 4 P 0.3 m 0.1 2m 例5．（25-26高二下·福建厦门·月考）一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列. 例6．（25-26高二下·广东东莞·月考）已知离散型随机变量X的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·山东烟台·期中）设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河南·期中）设随机变量服从两点分布，若，则______. 变式4．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 变式5．（25-26高二下·山西朔州·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会. (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列. 变式6．（25-26高二下·新疆·期中）暑假来临，有大学生四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是,其中 ，又成等比数列，且两人恰好有一人获得火车票的概率是 (1)求的值； (2)若是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设表示能够回家过暑假的人数，求的分布列. 考点二 离散型随机变量的数学期望 【知识点解析】 知识点 1. 公式： 1. 性质：； 1. 意义：反映随机变量取值的平均水平。 解题原理 以概率为权重，对变量所有取值做加权平均，表征随机变量整体均值。 解题思路 1. 先求出离散型随机变量分布列； 1. 代入期望公式逐项相乘再求和； 1. 有线性变换时，直接用期望性质简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山东济宁·期中）随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）甲､乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜.每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 例4．（25-26高二下·云南玉溪·期中）笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________. 例5．（2026·山西朔州·二模）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 例6．（2026·陕西榆林·三模）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）若随机变量X的期望，则（    ） A． B． C．6 D．7 变式2．（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 变式3．（25-26高二下·广东深圳·期中）某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 变式4．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知离散型随机变量的期望，随机变量，则__________. 变式5．（25-26高二下·山东潍坊·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次. (1)求质点在第3次移动后位于1的概率； (2)记质点最终位置到原点的距离为随机变量，求的分布列和期望. 变式6．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 考点三 离散型随机变量的方差 【知识点解析】 知识点 1. 公式： 1. 性质：； 1. 意义：反映随机变量取值的波动、离散程度，方差越小越稳定。 解题原理 以期望为中心，衡量各取值偏离平均值的平均幅度，刻画数据稳定性。 解题思路 1. 先求分布列与数学期望； 1. 代入方差公式计算； 1. 遇线性变换，利用方差性质直接求解，不用重新列式。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 例3．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 例4．（25-26高二下·安徽六安·期中）已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______. 例5．（25-26高二下·安徽合肥·期中）袋中有编号为的四个大小､质地均相同的小球，从中依次不放回地随机取出两个球，设第一次取出的球的编号为，第二次取出的球的编号为，设随机变量. (1)求的分布列及数学期望； (2)定义随机变量，求的期望及方差. 例6．（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 变式2．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东淄博·二模）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________. 变式4．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 变式5．（25-26高二下·河北承德·月考）数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 变式6．（24-25高二下·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望和方差讲义 随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望和方差讲义 考点目录 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的方差 考点一 离散型随机变量的分布列 【知识点解析】 知识点 1. 离散型随机变量：取值可以一一列举； 1. 分布列形式：列出所有可能取值 及对应概率 ； 1. 性质：① ；② 所有概率之和为 。 解题原理 把随机事件所有可能结果量化为变量取值，算出每个取值对应的发生概率，用表格规范呈现概率分布规律。 解题思路 1. 确定随机变量所有可能取值； 1. 逐一计算每个取值对应的概率； 1. 列表写出分布列； 1. 用概率和为 1 检验正误。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 2 P 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解. 【详解】由离散型随机变量X的分布列，得：, . 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可得，解得． 例3．（25-26高二下·吉林延边·期中）离散型随机变量X的分布列为：则________. 0 1 【答案】 【详解】由分布列的性质可得，即解得 例4．（25-26高二下·北京·期中）随机变量X的分布列如下表所示：则__________,__________. X 1 2 3 4 P 0.3 m 0.1 2m 【答案】 【详解】，解得. 例5．（25-26高二下·福建厦门·月考）一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列. 【答案】(1) (2) 的分布列为： 【分析】（1）利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据古典概型的概率公式可求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率. （2）先确定的可能的取值，再根据超几何分布可求 的分布列. 【详解】（1）设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”， 则. （2）由题设有可取， 又，， ， 故的分布列为： 例6．（25-26高二下·广东东莞·月考）已知离散型随机变量X的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【分析】(1)利用分布列中概率之和为可求得实数的值； (2)根据分布列可求得； (3)由题意可知，的所有可能值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2） （3）由题意可知，的所有可能值为、、、， ，， ，， 所以的分布列为： P 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，根据分布列的性质有，解得. 变式2．（25-26高二下·山东烟台·期中）设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据依次迭代计算求解. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以. 变式3．（25-26高二下·河南·期中）设随机变量服从两点分布，若，则______. 【答案】0.38 【分析】由于变量服从两点分布，根据两点分布的性质进行求解. 【详解】随机变量服从两点分布，由， 及，解得. 变式4．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 【答案】 【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可. 【详解】设甲制作的卡片为；乙制作的卡片为；丙制作的卡片为. 代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片， 有种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片； 当甲只取回一张自己的卡片时，有种； 例如：甲取到的卡片为，此时丙不能取， 只能取，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为； 当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换， 即有种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即， 所以; 代表三人有两人至少取回一张自己的卡片， 即有一个人没有取回自己的卡片，有种情况； 不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在四张中取两个， 显然丙不能取或，所以丙有种取法， 例如：丙取的是，则甲留下，只能在中取一个，即种，剩下两张给乙， 即共有种，所以. 所以. 变式5．（25-26高二下·山西朔州·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会. (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)的分布列为 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，相互独立，， 因为，， 所以， 所以甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为 变式6．（25-26高二下·新疆·期中）暑假来临，有大学生四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是,其中 ，又成等比数列，且两人恰好有一人获得火车票的概率是 (1)求的值； (2)若是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设表示能够回家过暑假的人数，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据条件列出方程和，联立求出，即可求解； （2）根据条件可得的可能取值，求出相应取值对应的概率，即可求解. 【详解】（1）因为成等比数列，所以，整理得到①， 又两人恰好有一人获得火车票的概率是，则， 整理得到②，由①②可得③，联立①③解得或， 又，所以. （2）因为是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，两人都获得火车票，一起回家的概率为， 易知的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 考点二 离散型随机变量的数学期望 【知识点解析】 知识点 1. 公式： 1. 性质：； 1. 意义：反映随机变量取值的平均水平。 解题原理 以概率为权重，对变量所有取值做加权平均，表征随机变量整体均值。 解题思路 1. 先求出离散型随机变量分布列； 1. 代入期望公式逐项相乘再求和； 1. 有线性变换时，直接用期望性质简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山东济宁·期中）随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再由求解. 【详解】因为随机变量的可能取值为0，1，2，且， 所以， ，又因为， 所以. 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）甲､乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜.每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】随机变量的所有可能值为2，3. ，又因为，所以， 即的取值范围为. 例3．（25-26高二下·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 【详解】，， 所以 例4．（25-26高二下·云南玉溪·期中）笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________. 【答案】 【分析】确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次飞出同一只蝴蝶，选择蝴蝶的情况有6种， 故， ：恰好两只不同蝴蝶飞出（即一只飞出两次，另一只飞出一次）， 选取飞出两次的蝴蝶有6种方式，选取飞出一次的蝴蝶有5种方式， 其中选取飞出一次的蝴蝶的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三只不同蝴蝶飞出， 由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以. 例5．（2026·山西朔州·二模）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 . 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【详解】（1）（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则. （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，，         所以的分布列为 2 3 4 5 . 例6．（2026·陕西榆林·三模）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，55 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可以计算出的值，再利用相应公式计算出相应组中抽取的人数. （2）根据题意的可能取值为，利用超几何分布列的计算公式及数学期望公式即可求解. 【详解】（1）因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以， 解得. 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为. （2）的可能取值为， 则. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）若随机变量X的期望，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【详解】随机变量X的期望，所以. 变式2．（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：4次都抽到同1个礼品，故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. 所以. 故. 变式3．（25-26高二下·广东深圳·期中）某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 【答案】 【分析】根据题意，分析三个年级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的概率，根据数学期望的公式求得的数学期望. 【详解】若三个年级名额数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种， 由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有､ 九种情况，即，所以， 综上，. 变式4．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知离散型随机变量的期望，随机变量，则__________. 【答案】11 【详解】因为， 所以. 变式5．（25-26高二下·山东潍坊·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次. (1)求质点在第3次移动后位于1的概率； (2)记质点最终位置到原点的距离为随机变量，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) 0 2 4 6 【分析】（1）结合题意根据独立事件乘法公式计算求解； （2）列举随机变量的可能取值，根据独立事件乘法公式计算对应概率，列出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）设事件为质点第3次移动后位于1，所以3次移动中有两次向右，一次向左， 则. （2）随机变量的所有可能取值为. ， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 6 . 变式6．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 考点三 离散型随机变量的方差 【知识点解析】 知识点 1. 公式： 1. 性质：； 1. 意义：反映随机变量取值的波动、离散程度，方差越小越稳定。 解题原理 以期望为中心，衡量各取值偏离平均值的平均幅度，刻画数据稳定性。 解题思路 1. 先求分布列与数学期望； 1. 代入方差公式计算； 1. 遇线性变换，利用方差性质直接求解，不用重新列式。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布的定义明确变量的分布，从而求出，再根据定义计算结果 【详解】因随机变量服从两点分布，且，所以； 所以； 所以. 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】. 例3．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 【答案】 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 例4．（25-26高二下·安徽六安·期中）已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______. 【答案】18 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 例5．（25-26高二下·安徽合肥·期中）袋中有编号为的四个大小､质地均相同的小球，从中依次不放回地随机取出两个球，设第一次取出的球的编号为，第二次取出的球的编号为，设随机变量. (1)求的分布列及数学期望； (2)定义随机变量，求的期望及方差. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)；. 【分析】（1）由题意可得，根据古典概型的求法，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可； （2）由求解即可；先求出的值，再根据方差的性质求即可. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 又因为的情况为共12种， 当时，有，，，，，共6种， 所以； 当时，有，，，共4种， 所以； 当时，有，共2种， 所以； 所以的分布列如下： 所以. （2）因为，， 所以； ， 所以. 例6．（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见详解； (3) 【分析】（1）利用古典概型求概率. （2）利用古典概型求离散型随机变量的分布列与期望. （3）利用古典概型求离散型随机变量的方差. 【详解】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 【答案】A 【详解】因为， 所以． 变式2．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算和，再根据方差公式求解 【详解】由题可知，解得， 因为，所以， 所以， 得到，故. 变式3．（2026·山东淄博·二模）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________. 【答案】 【详解】设， 根据题意得，解得. 则. 变式4．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此. 变式5．（25-26高二下·河北承德·月考）数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【答案】(1)； (2)应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式，理由见解析. 【分析】（1）由全概率公式求出考生盲选得6分的概率； （2）分别求出“盲选1个选项”和“盲选2个选项”的期望，比较大小，若期望一样大，再求方差，比较大小. 【详解】（1）该考生得6分的概率； （2）设该考生“盲选1个选项”得分为，可取0，2，3， ； ； ． 所以的期望； 的方差 设该考生“盲选2个选项”得分为，则可取0，4，6， ； ； . 所以的期望； 的方差 所以“盲选1个选项”和“盲选2个选项”虽然得分期望值相同，但是， 所以应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式． 变式6．（24-25高二下·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $