7.3.1离散型随机变量的均值5题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.1离散型随机变量的均值5题型分类 一、离散型随机变量的均值或数学期望 1．若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望． 2．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 二、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 三、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n,则E(aX＋b)＝aE(X)＋b． （一） 求均值或数学期望 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定X的可能取值. (2)计算出P(X＝k). (3)写出分布列. (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 题型1：两点分布的均值 1．（2026高二·河北石家庄·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 2．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 3．（2026高二·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 4．（2026高二·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 题型2：求离散型随机变量的均值 5．（2026高二·陕西咸阳·阶段检测）随机变量的分布列如表所示，且，则______________. 0 1 2 3 0.1 0.1 6．（2026高二·河南郑州·期中）随机变量X满足，则随机变量X的期望______． 7．（2026高二·全国·专题练习）某射手射击所得环数的分布列如下: 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 若成等差数列，则（    ） A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4 8．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）已知的分布列如下表，则__________. 2 3 9．（2026高二·全国·课堂例题）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 10．（2026·湖北黄冈·模拟预测）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 11．（2026·安徽宿州·模拟预测）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 12．（2026高三·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 13．（2026高二·江苏镇江·期中）镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； (3)计算随机变量的分布列与数学期望． 题型3：根据均值或数学期望求参数 14．（2026高二·江苏无锡·期中）已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·山东临沂·期中）若随机变量取所有的值是等可能的，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 17．（2026高二·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·四川）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. （二） 离散型随机变量均值的性质 离散型随机变量性质有关问题的解题思路： 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)． 也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 题型4：数学期望的性质 19．（2026高二·广东广州·期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 20．（2026高二·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为_________． 22．（2026高二·黑龙江双鸭山·阶段检测）设的分布列如图，又，则___________. 1 2 3 4 P a 23．（2026高二·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 24．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 25．【多选】（2026高二·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． （三） 离散型随机变量均值的应用 解答实际问题的技巧： (1)把实际问题概率模型化； (2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； (3)利用公式求出相应均值． 题型5：离散型随机变量均值的应用 26．（2026·四川绵阳·模拟预测）流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 27．（2026·广东江门·模拟预测）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 28．（2026·贵州安顺·模拟预测）某高校人工智能实验室组织“AI编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为；系统乙：每次抽奖中奖概率为；系统丙：每次抽奖中奖概率为．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． (2)若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得AI学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案． 29．（2026·河北保定·模拟预测）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 30．（2026·河南·模拟预测）中国航天“十五五”规划核心是从航天大国迈向航天强国、从大国重器转向万亿级支柱产业、从近地领先走向深空领跑.为实现发动机科研突破，我国某航天研究院对甲、乙、丙三款新型发动机关键部件进行可靠性测试，单次测试中，部件连续稳定工作时长达到1200小时及以上，即可判定为“一级可靠性部件”.为预测本次测试中获评“一级可靠性部件”的数量及最优部件型号，收集了三款部件过往的测试数据（单位：小时），如下所示： 甲部件： 乙部件： 丙部件： (1)求收集到的甲部件测试数据的第分位数； (2)假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立.设为甲、乙、丙三款部件中获评“一级可靠性部件”的总数量，求的概率分布列和数学期望． 1．（2026高二·山东济宁·期中）若X的概率分布列为： X 0 1 P a 0.5 则等于（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.25 2．（2026高二·全国·课后作业）抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（    ） A．0 B． C．1 D．－1 3．（2026高二·全国·课堂例题）设，则______ 4．（2026高三·全国·一轮复习）袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 5．（2026高二·全国·课后作业）某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 6．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 若，则___________. 7．（2026高二·安徽六安·期末）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为 ξ 1 2 3 4 P m n A． B． C． D． 8．（2026高二·河南·月考）某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3．每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖．” (1)记随机变量为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由． 9．（2026·云南玉溪·模拟预测）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36． (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 10．（2026高二·北京怀柔·阶段检测）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 11．（2026高二·全国·课后作业）某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（    ） A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 12．（9-10高二·黑龙江鹤岗·期中）件产品，其中件是次品，任取件，若表示取到次品的个数，则等于（    ） A． B． C． D．1 13．（2026高二·全国·课后作业）对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，若该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，设检测次数为，则的数学期望为______． 14．（2026高二·吉林长春·阶段检测）已知随机变量的分布列，则（    ）. 0 1 2 A． B． C． D． 15．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高二·全国·课后作业）随机变量和，其中，且，若的分布列如表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026高二·全国·课后作业）设，随机变量的分布列如下： ξ 0 1 2 P 0.5 0.5－x x 则当x在内增大时（  ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 18．【多选】（2026高二·河南洛阳·阶段检测）设随机变量X的分布列为a为常数，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·海南·期末）王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）： 盈亏情况 获利 不赔不赚 亏损 概率 p (1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值． (2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？ 20．（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 21．（2026高二·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 22．（2026高三·广东广州·阶段检测）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.1离散型随机变量的均值5题型分类 一、离散型随机变量的均值或数学期望 1．若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望． 2．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 二、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 三、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n,则E(aX＋b)＝aE(X)＋b． （一） 求均值或数学期望 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定X的可能取值. (2)计算出P(X＝k). (3)写出分布列. (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 题型1：两点分布的均值 1．（2026高二·河北石家庄·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】/ 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 2．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 3．（2026高二·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 4．（2026高二·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 题型2：求离散型随机变量的均值 5．（2026高二·陕西咸阳·阶段检测）随机变量的分布列如表所示，且，则______________. 0 1 2 3 0.1 0.1 【答案】1.5/ 【分析】根据题意结合分布列的性质求得，进而求期望即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：1.5. 6．（2026高二·河南郑州·期中）随机变量X满足，则随机变量X的期望______． 【答案】 【分析】分别求出，解出的值，列出的分布列，求出数学期望即可. 【详解】因为， 所以，，； 所以， 所以的分布列为： 所以 故答案为：. 7．（2026高二·全国·专题练习）某射手射击所得环数的分布列如下: 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 若成等差数列，则（    ） A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4 【答案】B 【分析】根据随机变量的分布列特征及题设条件列出方程组，求出的值，代入均值公式计算即得. 【详解】由题意可得：，解得， 故. 故选：B. 8．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）已知的分布列如下表，则__________. 2 3 【答案】 【分析】先根据分布列的性质求出，再求期望即可. 【详解】由分布列的性质有，得，从而， 故答案为： 9．（2026高二·全国·课堂例题）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 【答案】分布列见解析， 【分析】结合题意写出分布列，再利用期望公式求解数学期望即可. 【详解】由题意得可取的值为1，2，3， 则，， 可得． 则抽取次数的分布列为 1 2 3 由期望公式得． 10．（2026·湖北黄冈·模拟预测）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 11．（2026·安徽宿州·模拟预测）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 12．（2026高三·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 13．（2026高二·江苏镇江·期中）镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； (3)计算随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列的分布列为： 150 200 250 300 数学期望为 【分析】（1）三个球的标号和为奇数有一个奇数两个偶数和三个奇数，有种，再由古典概型求概率； （2）根据条件概率求解； （3）随机变量的取值为：，计算出分布列，即可求解数学期望． 【详解】（1）记事件：取出的三个球的标号和为奇数， 则取出的三个球的标号和为奇数有两种情况，①三个奇数；②一个奇数和两个偶数， 则． （2）事件， 则． （3）随机变量的取值为：， ， ， 的分布列为： 150 200 250 300 ． 题型3：根据均值或数学期望求参数 14．（2026高二·江苏无锡·期中）已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由分布列性质求得，再由期望值求出，进而求得. 【详解】由分布列性质可得，解得， 则，又， 所以，解得， 所以. 15．（2026高二·山东临沂·期中）若随机变量取所有的值是等可能的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量取所有的值是等可能的，即， 所以，解得. 16．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 17．（2026高二·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 18．（2026·四川）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. （二） 离散型随机变量均值的性质 离散型随机变量性质有关问题的解题思路： 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)． 也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 题型4：数学期望的性质 19．（2026高二·广东广州·期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】套公式直接求出和. 【详解】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2， 所以, 所以. 故选：C 20．（2026高二·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 21．（2026高二·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为_________． 【答案】1 【分析】根据条件，求出，进而得到，即可求出结果. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，得到， 所以，故， 故答案为：. 22．（2026高二·黑龙江双鸭山·阶段检测）设的分布列如图，又，则___________. 1 2 3 4 P a 【答案】 【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出. 【详解】由分布列的性质得，得， 从而， 而， 所以. 故答案为：. 23．（2026高二·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 【详解】，， 所以 24．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）； （3）. 所以 25．【多选】（2026高二·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. （三） 离散型随机变量均值的应用 解答实际问题的技巧： (1)把实际问题概率模型化； (2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； (3)利用公式求出相应均值． 题型5：离散型随机变量均值的应用 26．（2026·四川绵阳·模拟预测）流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物能治愈疾病的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； 【详解】（1）设使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案痊愈为事件 则，， 不能杀灭致病菌的概率为， 不能杀灭致病菌的条件下，不能杀灭致病菌的概率为， 因此，既不能杀灭致病菌也不能杀灭致病菌的概率为， 所以， 即使用治疗方案痊愈的概率为. （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率， 则有，， 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为， 则，，， 所以， 同理得，，， 则有， 从而有，因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短. 27．（2026·广东江门·模拟预测）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 28．（2026·贵州安顺·模拟预测）某高校人工智能实验室组织“AI编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为；系统乙：每次抽奖中奖概率为；系统丙：每次抽奖中奖概率为．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． (2)若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得AI学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案． 【答案】(1) (2)选择方案一 【详解】（1）设“该同学中奖”为事件，“选择甲、乙、丙智能抽奖系统”分别为事件， 则， ，， 所以， 所以该同学中奖的概率为． （2）选择方案一： 设该同学获得AI学习包的价值为元，则的所有可能取值为60，35，0， 则， ， ， 所以． 选择方案二： 设该同学获得AI学习包的价值为元，则的所有可能取值为80，50，0， 则，， 所以． 因为，故该同学应选择方案一． 29．（2026·河北保定·模拟预测）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【详解】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 30．（2026·河南·模拟预测）中国航天“十五五”规划核心是从航天大国迈向航天强国、从大国重器转向万亿级支柱产业、从近地领先走向深空领跑.为实现发动机科研突破，我国某航天研究院对甲、乙、丙三款新型发动机关键部件进行可靠性测试，单次测试中，部件连续稳定工作时长达到1200小时及以上，即可判定为“一级可靠性部件”.为预测本次测试中获评“一级可靠性部件”的数量及最优部件型号，收集了三款部件过往的测试数据（单位：小时），如下所示： 甲部件： 乙部件： 丙部件： (1)求收集到的甲部件测试数据的第分位数； (2)假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立.设为甲、乙、丙三款部件中获评“一级可靠性部件”的总数量，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P 【分析】（1）先将甲部件10个测试数据从小到大排序，通过总数乘80%得整数8，按分位数规则取第8、9个数据的平均数，算出甲部件测试数据的第分位数； （2）先分别统计甲、乙、丙部件寿命不低于1200小时的个数，求出各自优秀频率并当作对应优秀概率，设出各部件优秀事件，依次算出随机变量取0、1、2、3时的概率，列出分布列，再依据数学期望公式计算出的数 学期望。 【详解】（1）将甲部件测试数据从小到大排列，得： 又为整数，所以数据的第80%分位数为第8个数据和第9个数据的平均数. 所以收集到的甲部件测试数据的第分位数为． （2）甲部件：数据共个，大于等于小时的是，共6个，频率为． 乙部件：数据共个，大于等于小时的是，共4个，频率为． 丙部件：数据共个，大于等于小时的是，共2个，频率为． 由频率估计概率得，甲部件获得优秀的概率为，乙部件获得优秀的概率为，丙部件获得优秀的概率为． 设甲部件获得优秀为事件，乙部件获得优秀为事件，丙部件获得优秀为事件，甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立. ， ， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望． 1．（2026高二·山东济宁·期中）若X的概率分布列为： X 0 1 P a 0.5 则等于（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.25 【答案】C 【分析】由分布列的性质求得a，再求数学期望. 【详解】由，得， ∴． 故选：C． 2．（2026高二·全国·课后作业）抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（    ） A．0 B． C．1 D．－1 【答案】A 【分析】利用随机变量的均值的定义即得. 【详解】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝， 所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0． 故选：A. 3．（2026高二·全国·课堂例题）设，则______ 【答案】3 【分析】由离散性随机变量均值的性质公式，可得答案. 【详解】． 故答案为：3 4．（2026高三·全国·一轮复习）袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 【答案】 【分析】由题可求得分X的分布列，再利用均值的公式即求. 【详解】取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝， 故X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 5．（2026高二·全国·课后作业）某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 【答案】 1 3 6 均值为： 【分析】根据题意写出的可能取值，计算概率，求解分布列即可. 【详解】根据题意，设表示“所得分数”，则的可能取值为，1，3，6. ， ， ， . 所以的分布列为： 1 3 6 所以. 6．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 若，则___________. 【答案】 【分析】根据概率综合为1求出m，再用分布列求出数学期望， 用公式即可求解. 【详解】由随机变量分布列的性质， 得，解得， ∴. 由，得，即. 故答案为： . 7．（2026高二·安徽六安·期末）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为 ξ 1 2 3 4 P m n A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案. 【详解】且，则 即 解得 故答案选A 【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键. 8．（2026高二·河南·月考）某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3．每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖．” (1)记随机变量为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2)参加活动，理由见解析 【分析】（1）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）由（1）中的期望判断即可； 【详解】（1）解：由题意可知随机变量的可能取值为、、， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （2）解：由（1）可得，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动； 9．（2026·云南玉溪·模拟预测）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36． (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，14.4万元. (2)当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.理由见解析. 【详解】分析：（Ⅰ）根据基地收益为万元的概率为，即基地无雨的概率为0.36，可求出周一无雨的概率为；根据独立性事件的概率，可求出另外几种情况下的概率．列出基地收益分布列，即可根据公式求期望来表示其预期收益． （Ⅱ）周一采摘完的预期收益为．所以和两天采摘相比，收益高出来了．这时讨论的情况确定是否外聘工人． 详解：（Ⅰ）设下周一无雨的概率为，由题意，，， 基地收益的可能取值为，，，，则，，，. ∴基地收益的分布列为： ， ∴基地的预期收益为万元. （Ⅱ）设基地额外聘请工人时的收益为万元， 则其预期收益（万元）， ， 综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以. 点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法．主要理解题意，正确判断无雨的概率，进而能够求出在各种情况下的概率，求出其分布列，属于简单题． 10．（2026高二·北京怀柔·阶段检测）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 11．（2026高二·全国·课后作业）某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（    ） A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，利用期望公式求解. 【详解】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8． 故选：B 12．（9-10高二·黑龙江鹤岗·期中）件产品，其中件是次品，任取件，若表示取到次品的个数，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用超几何分布的期望求解. 【详解】由题意得，随机变量的取值为，，， 则，，， 所以， 故选：. 13．（2026高二·全国·课后作业）对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，若该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，设检测次数为，则的数学期望为______． 【答案】 【分析】根据题意得到随机变量的取值为，求得相应的概率，利用公式求得期望. 【详解】由题意，检测次数可取， 则，， ， 所以． 故答案为：. 14．（2026高二·吉林长春·阶段检测）已知随机变量的分布列，则（    ）. 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解. 【详解】由分布列性质可知，， 解得， . 故选：B 15．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出的值，结合方差的性质可求得的值. 【详解】由分布列可得， 所以，， 又因为，则. 故选：A. 16．【多选】（2026高二·全国·课后作业）随机变量和，其中，且，若的分布列如表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先利用均值的性质根据求出，再根据分布列求出随机变量的均值和的值，联立即可求解. 【详解】根据分布列可知①， 因为，所以，解得， 又由分布列可得，整理得②， ①②联立解得，， 故选：BCD 17．【多选】（2026高二·全国·课后作业）设，随机变量的分布列如下： ξ 0 1 2 P 0.5 0.5－x x 则当x在内增大时（  ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】BD 【分析】根据分布列，利用公式得到和的算式，由函数思想判断变化情况. 【详解】，由随机变量的分布列， 得：， ， 当x在内增大时，增大，增大． 故选：BD. 18．【多选】（2026高二·河南洛阳·阶段检测）设随机变量X的分布列为a为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由分布列的性质即可求出的值，由此即可求出，，则可求出，的值. 【详解】因为随机变量的分布列为 由分布列的性质可知， 解得，A正确； ，，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选：ACD 19．（2026高三·海南·期末）王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）： 盈亏情况 获利 不赔不赚 亏损 概率 p (1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值． (2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？ 【答案】(1)（万元）． (2)用6万元投资产品B，4万元投资产品A，一年后投资收益的期望值最大为（万元） 【分析】（1）根据概率和为1求出，然后根据数学期望公式求解盈亏情况. (2)根据，，能分析到先投资产品B，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A． 【详解】（1）由已知得，所以， 如果王先生只投资产品B，他一年后投资收益的期望值为（万元）． （2）产品B的平均收益率为． 因为，，即产品B的平均收益率比产品A的收益率小，但加上鼓励金后平均收益率比产品A的收益率大，故要使投资收益的期望值最大，应优先投资产品B，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A． 因为（元），所以应该用6万元投资产品B，4万元投资产品A． 一年后投资收益的期望值最大为（万元）． 20．（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 【答案】(1) 16 17 18 19 20 21 22 ； (2)，理由见解析 【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列； （2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出、时费用的期望即可下结论. 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9， 10，11的概率分别为， 从而， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)， 当时， 当时， 因为， 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值， 故应选． 21．（2026高二·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（环）；（环）；；，应选拔甲射手参加奥运会 【分析】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【详解】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 22．（2026高三·广东广州·阶段检测）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)应该投资，理由见解析 【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明； （2）由（1）可得，分析即得解 【详解】（1）由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 所以的数学期望， 记， ， 作差可得，， 则； （2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元， 试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $