7.2 离散型随机变量及其分布列 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列、两点分布核心知识点，系统梳理从随机变量概念到离散型与连续型的区分，再到分布列定义、性质及两点分布的知识脉络，构建从一般到特殊的学习支架。 资料以“概念-性质-题型”结构化呈现，通过基础题（如分布列性质求参数）和实际情境题（如竞赛答题、水果抽样），培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）与数据观念（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力巩固应用，有效查漏补缺。

第7章第2节 离散型随机变量及其分布列 题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 两点分布（0-1分布） ▉题型1 离散型随机变量及其分布列 【知识点的认识】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 1．已知离散型随机变量X的分布列为，则P（X≥2）＝（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解答】解：根据题意，离散型随机变量X的分布列为， 则P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3）． 故选：C． 2．设离散型随机变量X的分布列如表，则x＝（　　） X 0 1 2 P x 2x x+0.2 A．0.2 B．﹣0.2 C．0.4 D．﹣0.4 【答案】A 【解答】解：离散型随机变量X的分布列如表， X 0 1 2 P x 2x x+0.2 由概率之和为1，得x+2x+x+0.2＝1， 解得x＝0.2． 故选：A． 3．已知随机变量X的分布列如表所示，则a＝（　　） X ﹣1 0 1 P 0.2 a 1.4a﹣a2 A．0.56 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【解答】解：根据分布列的性质，则0.2+a+1.4a﹣a2＝1，故a2﹣2.4a+0.8＝0， 解得a＝0.4或2，因为a∈（0，1），故a＝0.4． 故选：B． 4．如表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是（　　） X 3 4 5 6 P a A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据概率和为1，列方程得： ， 解得． 故选：C． 5．已知随机变量X的分布列为，则m＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，由随机变量X的分布列为， 则有P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1， 即，变形可得m． 故选：D． 6．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则实数m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，由X的分布列，有m1， 解可得：m． 故选：A． 7．若随机变量X的分布列为 X ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当P（X＜a）＝0.7时，实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．（1，2] D．（1，2） 【答案】C 【解答】解：因为随机变量X的分布列为： X ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 所以P（X＜﹣1）＝0.1，P（X＜0）＝0.3，P（X＜1）＝0.4，P（X＜2）＝0.7， 则当P（X＜a）＝0.7时， 实数a的取值范围是（1，2]． 故选：C． 8．盒中有4个球，其中有2个白球，2个黑球，从中随机取球，若每次取1个，不放回，取到黑球为止，则第2次取到黑球的概率P＝　　 ；若每次取1个，放回，取到黑球停止，且取球不超过3次，设此过程取到白球的个数为X，则P（X≥2）＝　　 ． 【答案】；． 【解答】解：若每次取1个，不放回，取到黑球为止，因为第二次取到黑球， 则第一次取到的一定是白球，所以概率． 若每次取1个，放回，此过程取到白球的个数为X， 则P（X＝2），P（X＝3）， 所以． 故答案为：；． 9．若随机变量X的分布列如表所示（ab≠0），则的最小值为　6+4　 ． X 0 1 2 3 P a b 【答案】6+4． 【解答】解：∵随机变量X的分布列如表所示（ab≠0）， X 0 1 2 3 P a b ∴，∴a+b， ∴2（a+b）（）＝2（12）＝6 ≥6+26+4.， 当且仅当时，取等号， ∴的最小值为6+4． 故答案为：6+4． 10．已知随机变量X的分布列为，则P（2≤X≤3）的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由分布列的性质可知，， 解得， 所以． 故答案为：． 11．为普及学生对AI工具的使用，某校开展了关于AI运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为． 【解答】解：（1）根据题意，设“甲抢到抢答题“为事件M，“抢答题被回答正确“为事件N， 甲、乙两人抢到的概率均为，则P（M）＝P（）， P（N|M），P（N|）， 故P（N）＝P（M）P（N|M）+P（）P（N|）； 所以抢答题被回答正确的概率为． （2）由题意可知：X的可能取值有：0，1，2， 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 期望． 12．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列． 【答案】（1）； （2）分布列详见解析． 【解答】解：（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则， 所以恰好抽到2个礼品果的概率为． （2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3， 则；；；， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 13．在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． （1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； （2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04） 【答案】（1）分布列见解析． （2）10． 【解答】解：（1）甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． 记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X， 依题意，X的可能值有0，1，2，3． 则， ， ， ． ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）设乙队在第n次获得发球权的概率为Pn， 则依题意有：，n≥3，即， ∵，且， ∴数列从第二项起构成公比为的等比数列， 则，即， 乙队在第n次获得发球权的概率大于，依题意，由，可得， 两边取常用对数，可得：，即， ∵，∴n＞9.85， ∵n∈N*，∴n的最小值为10． 14．现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1﹣p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中． （1）设2T结束后，X细胞的数量为ξ，求ξ的分布列； （2）设nT（n∈N*）结束后，X细胞数量为m的概率为Pm（n）． （ⅰ）求P2（n）； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）分布列见解析； （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明见解析． 【解答】解：（1）2T结束后，ξ的取值可能为1，2，3，4， 其中P（ξ＝1）＝p2， P（ξ＝2）＝p（1﹣p）+（1﹣p）p2＝p﹣p3， ， P（ξ＝4）＝（1﹣p）3， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 P p2 p﹣p3 2p（1﹣p）2 （1﹣p）3 （2）（i）P2（n）表示分裂nT结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞． 不妨设在第kT时分裂为2个X细胞，之后一直有2个X细胞， 此事件概率， 所以P2（n）＝P21+P22+...． （ii）P3（n）代表分裂nT后有3个细胞的概率， 设细胞X在kT后分裂为2个新的X细胞，这两个X细胞在剩下的（n﹣k）T中，其中一个分裂为2个X细胞，一个保持一直分裂为1个X细胞， 此事件的概率pn﹣k•P2（n﹣k）＝pk﹣1•（1﹣p）•2•pn﹣k•pn﹣k﹣1•（1﹣pn﹣k）， 得 P3（n）＝2p2n﹣2.（1﹣p）•p﹣k﹣2p3n﹣2.（1﹣p）•p﹣2k， P3（n）＝P31+P32+•+P3n＝2p2n﹣2.（1﹣p）•p﹣k﹣2p3n﹣2•（1﹣p）•p﹣2k ， 其中，pn∈（0，1）． 令x＝pn，， 记f（x）＝x（1﹣x）2，f′（x）＝（1﹣x）（1﹣3x），令f′（x）＝0，得． 当，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 故， 也就是． ▉题型2 两点分布（0-1分布） 【知识点的认识】 ﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率． 【解题方法点拨】 ﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式． 15．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p， ∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6． 故选：D． 16．设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a＝（　　） X 0 1 P a a+0.4 A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解答】解：根据题意，由X的分布列，有a+a+0.4＝1，解得a＝0.3． 故选：B． 17．设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.5，则P（X＝1）＝（　　） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【解答】解：随机变量X服从两点分布，P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.5， ∴， 解得P（X＝1）＝0.75． 故选：B． 18．篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（　　） A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52 【答案】C 【解答】解：得分X的期望E（X）＝3×0.4＝1.2，E（X2）＝32×0.4＝3.6， 故D（X）＝E（X2）﹣[（EX）]2＝3.6﹣1.44＝2.16． 故选：C． 19．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，则实数a的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【解答】解：因为随机变量X服从两点分布， 所以P（X＝0）+P（X＝1）＝1， 即12a2﹣1+3﹣7a＝1， 解得a或， 当a时，P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，符合题意， 当a时，P（X＝0）＝12a2﹣10，不符合题意，舍去， 综上所述，实数a的值为． 故选：A． 20．已知随机变量X服从两点分布，若E（X）＝0.2，则D（X）＝（　　） A．1.6 B．0.36 C．0.2 D．0.16 【答案】D 【解答】解：设P（X＝1）＝p， 因为随机变量X服从两点分布， 则E（X）＝p＝0.2， 所以D（X）＝0.2×（1﹣0.2）＝0.16． 故选：D． 21．若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（　　） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 【答案】C 【解答】解：因为随机变量服从两点分布，则随机变量X只能是0和1，且对应概率之和为1， 故A，B，D均不合题意． 故选：C． （多选）22．下列结论正确的是（　　） A．若随机变量X～N（3，4），则P（X≤﹣1）＝P（X≥7） B．已知随机变量X，Y满足X+2Y＝6，若X∼B（4，0.5），则E（Y）＝2，D（Y）＝0.25 C．这组数据：0，7，5，1，6，11，12的第70百分位数为6 D．离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝2﹣3P（X＝1）＝a，则 【答案】ABD 【解答】解：对于A选项，若随机变量X～N（3，4），则正态分布对称轴为X＝3， 根据对称性可知P（X≤﹣1）＝P（X≥7），故A选项正确； 对于B选项，已知随机变量X，Y满足X+2Y＝6，若X∼B（4，0.5）， 可知，则， 由X∼B（4，0.5），可知E（X）＝4×0.5＝2，D（X）＝4×0.5×（1﹣0.5）＝1， 则，所以D（Y）＝0.25，故B选项正确； 对于C选项，数据从小到大排列为0，1，5，6，7，11，12共7个数，可知7×70%＝4.9， 则第70百分位数是第5个数7，故C选项错误； 对于D选项，离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝2﹣3P（X＝1）＝a， 由P（X＝0）+P（X＝1）＝1，可得P（X＝0）＝a，， 可得，解得，故D选项正确． 故选：ABD． （多选）23．现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（　　） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数ξ，则ξ服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知E（X）＝3，则E（2X+1）＝7 【答案】ACD 【解答】解：从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数ξ，ξ的可能取值为0（白球）或1（黄球）， 因此ξ服从两点分布，其中成功概率p为黄球比例，A正确； 从盒子中不放回的依次取4个球，每次取到黄球概率不同，不是4重伯努利试验，B错误； 利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠，C正确； 用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，E（X）＝3，则E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，D正确． 故选：ACD． 24．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝2a2，P（X＝1）＝a，那么a＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可知或a＝﹣1， 由于a＞0，所以． 故答案为：． 25．设离散型随机变量X服从两点分布，若，则P（X＝1）＝　　 ． 【答案】 【解答】解：因为离散型随机变量X服从两点分布，且， 所以． 故答案为：． 26．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）． 【答案】（1）0.6； （2）Pi（）i﹣1； （3）E（Y）[1﹣（）n]，n∈N*． 【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P， 由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6； （2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲， 则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2， ∴Pn+10.4（Pn）， 又P10，则{Pn}是首项为，公比为0.4的等比数列， ∴Pn（）n﹣1，即Pn（）n﹣1， ∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi（）i﹣1； （3）由（2）得Pi（）i﹣1， ∴当n∈N*时，E（Y）＝P1+P2+...+Pn[1﹣（）n]， 综上所述，E（Y）[1﹣（）n]，n∈N*． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章第2节 离散型随机变量及其分布列 题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 两点分布（0-1分布） ▉题型1 离散型随机变量及其分布列 【知识点的认识】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 1．已知离散型随机变量X的分布列为，则P（X≥2）＝（　　） A． B． C． D．1 2．设离散型随机变量X的分布列如表，则x＝（　　） X 0 1 2 P x 2x x+0.2 A．0.2 B．﹣0.2 C．0.4 D．﹣0.4 3．已知随机变量X的分布列如表所示，则a＝（　　） X ﹣1 0 1 P 0.2 a 1.4a﹣a2 A．0.56 B．0.4 C．0.2 D．0.1 4．如表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是（　　） X 3 4 5 6 P a A． B． C． D． 5．已知随机变量X的分布列为，则m＝（　　） A． B． C． D． 6．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则实数m的值为（　　） A． B． C． D． 7．若随机变量X的分布列为 X ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当P（X＜a）＝0.7时，实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．（1，2] D．（1，2） 8．盒中有4个球，其中有2个白球，2个黑球，从中随机取球，若每次取1个，不放回，取到黑球为止，则第2次取到黑球的概率P＝　　 ；若每次取1个，放回，取到黑球停止，且取球不超过3次，设此过程取到白球的个数为X，则P（X≥2）＝　　 ． 9．若随机变量X的分布列如表所示（ab≠0），则的最小值为　　 ． X 0 1 2 3 P a b 10．已知随机变量X的分布列为，则P（2≤X≤3）的值为 　　 ． 11．为普及学生对AI工具的使用，某校开展了关于AI运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 12．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列． 13．在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． （1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； （2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04） 14．现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1﹣p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中． （1）设2T结束后，X细胞的数量为ξ，求ξ的分布列； （2）设nT（n∈N*）结束后，X细胞数量为m的概率为Pm（n）． （ⅰ）求P2（n）； （ⅱ）证明：． ▉题型2 两点分布（0-1分布） 【知识点的认识】 ﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率． 【解题方法点拨】 ﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式． 15．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 16．设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a＝（　　） X 0 1 P a a+0.4 A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7 17．设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.5，则P（X＝1）＝（　　） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 18．篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（　　） A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52 19．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，则实数a的值为（　　） A． B． C． D．或 20．已知随机变量X服从两点分布，若E（X）＝0.2，则D（X）＝（　　） A．1.6 B．0.36 C．0.2 D．0.16 21．若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（　　） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 （多选）22．下列结论正确的是（　　） A．若随机变量X～N（3，4），则P（X≤﹣1）＝P（X≥7） B．已知随机变量X，Y满足X+2Y＝6，若X∼B（4，0.5），则E（Y）＝2，D（Y）＝0.25 C．这组数据：0，7，5，1，6，11，12的第70百分位数为6 D．离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝2﹣3P（X＝1）＝a，则 （多选）23．现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（　　） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数ξ，则ξ服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知E（X）＝3，则E（2X+1）＝7 24．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝2a2，P（X＝1）＝a，那么a＝　 ． 25．设离散型随机变量X服从两点分布，若，则P（X＝1）＝　　 ． 26．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）． 学科网（北京）股份有限公司 $