随机变量及其分布：二项分布、超几何分布讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：二项分布、超几何分布讲义 随机变量及其分布：二项分布、超几何分布讲义 考点目录 二项分布 超几何分布 考点一 二项分布 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 适用模型：n 次独立重复试验 1. 条件：每次试验只有两种对立结果；各次试验相互独立；每次成功概率 恒定。 1. 符号： 1. 公式： · 概率： · 期望： · 方差： 二、解题原理 在独立、等概率、重复试验下，随机变量表示成功次数，利用固定概率公式刻画取值规律，用期望方差反映整体平均与波动水平。 三、解题思路 1. 判断是否满足：独立重复、两种结果、概率不变； 1. 确定参数：试验次数 、单次成功率 ； 1. 代入公式求指定取值概率； 1. 直接套用公式计算期望、方差。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津·阶段检测）某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知随机变量且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 例4．（25-26高二下·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 例5．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. (1)求员工经过培训能应用Sora的概率 (2)已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 例6．（2026·广东江门·二模）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建泉州·期中）设，则方差（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为，沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为，各次操作相互独立．记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且，则6次操作中“直线操作”次数的期望为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知每门大炮击中目标的概率都是，现有门大炮同时对某一目标各射击一次.若每次击中目标记分，记门大炮总得分的期望值为，则的值为________. 变式4．（25-26高二下·云南·期中）如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 变式5．（2026·河北·三模）某游戏公司推出抽卡活动，每次抽到稀有卡的概率为，抽到普通卡的概率为.若每位玩家连续抽卡5次，且每次抽卡结果互不影响. (1)求某位玩家恰好抽到2张稀有卡的概率； (2)设X为某位玩家抽到的稀有卡张数，求X的数学期望和方差. 变式6．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 考点二 超几何分布 【知识点解析】 考点二 超几何分布 一、核心知识点 1. 适用模型：不放回分层抽样 1. 条件：总体分两类；从中不放回抽取一定数量个体；关注抽到某类个体的个数。 1. 符号： 总体容量， 其中一类个体数， 抽取数量 1. 公式： · 概率： · 期望： 二、解题原理 不放回抽样无独立性，每次抽取概率变化；依靠总体分层数量，用组合数比值计算各类抽取个数的概率分布。 三、解题思路 1. 识别题型：不放回、总体分两类、抽取固定个数； 1. 找出 三个参数； 1. 代入组合概率公式计算对应概率； 1. 套用期望公式求均值。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）10件不同商品中含有3件次品，随机抽取5件，抽到的次品数的均值为（    ） A． B． C． D．2 例2．（25-26高二下·山西临汾·期中）某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 例4．（25-26高二下·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 例5．（25-26高二下·山东济宁·期中）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为． (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，设取出小城市的个数为，求的分布列． 例6．（25-26高二下·山东济宁·期中）老师要从7篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，至少要背出其中两篇才能及格．若某位同学只会背诵其中的4篇． (1)求抽到他会背诵的课文数量的分布列和均值； (2)求他能及格的概率． 【变式训练】 变式1．（26-27高二下·重庆·期中）已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 变式2．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 变式4．（24-25高三上·广东·开学考试）盒中有3个红球、个黄球、个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为，则______. 变式5．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别） (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. （i）求从乙箱中取出的球是白球的概率； （ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. 变式6．（2026·福建三明·二模）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球和3个白球，从中随机摸出2个球． (1)求摸到的两个球颜色相同的概率； (2)用表示摸出的球为白球的个数，求的分布列及均值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：二项分布、超几何分布讲义 随机变量及其分布：二项分布、超几何分布讲义 考点目录 二项分布 超几何分布 考点一 二项分布 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 适用模型：n 次独立重复试验 1. 条件：每次试验只有两种对立结果；各次试验相互独立；每次成功概率 恒定。 1. 符号： 1. 公式： · 概率： · 期望： · 方差： 二、解题原理 在独立、等概率、重复试验下，随机变量表示成功次数，利用固定概率公式刻画取值规律，用期望方差反映整体平均与波动水平。 三、解题思路 1. 判断是否满足：独立重复、两种结果、概率不变； 1. 确定参数：试验次数 、单次成功率 ； 1. 代入公式求指定取值概率； 1. 直接套用公式计算期望、方差。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津·阶段检测）某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用二项分布的数学期望及方差得出，再应用二项分布概率计算求解. 【详解】由题意得，因为，解得． 从这批芯片中再随机抽取2个，恰有1个良品的概率为． 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知随机变量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随机变量服从二项分布，用二项分布的期望和方差公式，写出关于的方程组即可求解. 【详解】已知随机变量，因此， 由于，则有，解得， 则，故B正确. 例3．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 例4．（25-26高二下·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】20 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果． 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为． 例5．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. (1)求员工经过培训能应用Sora的概率 (2)已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算可得结果； （2）设视频部调人至其他部门，，由二项分布可知培训后视频部门能应用Sora的人数，求出期望值再根据利润大小解不等式可求得结果. 【详解】（1）根据题意员工经过培训能应用Sora，即有两轮及以上获得“优秀”， 其概率为； 因此员工经过培训能应用Sora的概率为； （2）设视频部调人至其他部门，， 为培训后视频部门能应用Sora的人数， 则，则， 调整后视频部门的年利润为； 令，解得， 因为，所以， 因此视频部最多可以调23人到其他部门. 例6．（2026·广东江门·二模）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建泉州·期中）设，则方差（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 变式2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为，沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为，各次操作相互独立．记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且，则6次操作中“直线操作”次数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用二项分布概率公式与期望公式求解. 【详解】由题意知，若， 则，即，解得， 设为6次操作中“直线操作”次数，则，期望为 变式3．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知每门大炮击中目标的概率都是，现有门大炮同时对某一目标各射击一次.若每次击中目标记分，记门大炮总得分的期望值为，则的值为________. 【答案】10 【分析】根据题意得，利用其期望公式即可得到值. 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得，则， 因为每次击中目标记2分， 所以10门大炮总得分的期望值为. 变式4．（25-26高二下·云南·期中）如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 【答案】 【详解】每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立， 设事件：某单元正常工作，：某单元中有损坏元件， 则，， 由条件概率公式得， 所以，. 变式5．（2026·河北·三模）某游戏公司推出抽卡活动，每次抽到稀有卡的概率为，抽到普通卡的概率为.若每位玩家连续抽卡5次，且每次抽卡结果互不影响. (1)求某位玩家恰好抽到2张稀有卡的概率； (2)设X为某位玩家抽到的稀有卡张数，求X的数学期望和方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设该玩家抽卡5次抽到的稀有卡的张数为X，根据题意，得到，结合独立重复试验的概率公式，即可求解； （2）由（1）知：随机变量，结合二项分布的期望和方差公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意可知，玩家每次抽卡抽到稀有卡的概率为，且每次抽卡相互独立， 设该玩家抽卡5次抽到的稀有卡的张数为X，则， 则玩家恰好抽到2张稀有卡的概率为. （2）解：由（1）知：随机变量， 所以X的数学期望，X的方差. 变式6．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 考点二 超几何分布 【知识点解析】 考点二 超几何分布 一、核心知识点 1. 适用模型：不放回分层抽样 1. 条件：总体分两类；从中不放回抽取一定数量个体；关注抽到某类个体的个数。 1. 符号： 总体容量， 其中一类个体数， 抽取数量 1. 公式： · 概率： · 期望： 二、解题原理 不放回抽样无独立性，每次抽取概率变化；依靠总体分层数量，用组合数比值计算各类抽取个数的概率分布。 三、解题思路 1. 识别题型：不放回、总体分两类、抽取固定个数； 1. 找出 三个参数； 1. 代入组合概率公式计算对应概率； 1. 套用期望公式求均值。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）10件不同商品中含有3件次品，随机抽取5件，抽到的次品数的均值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题知，可取0，1，2，3，利用古典概型概率公式求出概率，进而可求期望. 【详解】记抽到的次品数为，由题意可取0，1，2，3， 则，，，， 所以抽到的次品数的均值为. 例2．（25-26高二下·山西临汾·期中）某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布求解即可. 【详解】由题可得服从超几何分布，且，，，所以． 例3．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 【答案】 【详解】∵ 从名学生（女男）中任选人，总选法数为 ， ∴ 随机变量 （抽到男生的人数）的可能取值为 . ∴ ，，. ∴ . 例4．（25-26高二下·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 【答案】1 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 例5．（25-26高二下·山东济宁·期中）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为． (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，设取出小城市的个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）结合组合数，利用古典概型概率公式列式求解即可； （2）求出的可能取值及对应的概率，即可求出超几何分布列. 【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为， 因为，所以，得或（舍），故． （2）由题知的可能取值为0，1，2，3 ， . 故的分布列为： 0 1 2 3 例6．（25-26高二下·山东济宁·期中）老师要从7篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，至少要背出其中两篇才能及格．若某位同学只会背诵其中的4篇． (1)求抽到他会背诵的课文数量的分布列和均值； (2)求他能及格的概率． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （2）根据互斥事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）抽到该生会背诵的课文数量的可能取值有0，1，2，3，则 ， ， ， ， 0 1 2 3 则； （2）， 即这位同学能及格的概率为. 【变式训练】 变式1．（26-27高二下·重庆·期中）已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】设10件产品中存在件次品，根据题意列出方程求出的值． 【详解】设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为， 由得，， 化简得，解得或； 又该产品的次品率不超过，； 应取. 变式2．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 变式3．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 变式4．（24-25高三上·广东·开学考试）盒中有3个红球、个黄球、个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为，则______. 【答案】 【分析】根据条件得到盒中共有个球，再由题知满足超几何分布，利用超几何分布的期望公式，即可求解. 【详解】设盒中共有个球，则，解得， 依题意满足超几何分布，故. 故答案为：. 变式5．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别） (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. （i）求从乙箱中取出的球是白球的概率； （ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. 【答案】(1) 0 1 2 ； (2)（i）（ii） 【分析】（1）通过超几何分布求出取到不同个数红球的概率以列出分布列，再直接代入公式计算数学期望； （2）（i）将“从甲箱转移到乙箱的2个球”按颜色分类作为互斥的条件事件，应用全概率公式求解最终摸出白球的总概率；（ii）在第（i）问已知结果的基础上，将“甲箱取出同色球”作为原因，应用贝叶斯公式进行逆向推算. 【详解】（1）由题意可能取值为， ， ， ， 0 1 2 期望. （2）（i）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”；“甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球” 由全概率公式： . （ii）设“从甲箱中取出2个同色球”，所以 由贝叶斯公式： . 变式6．（2026·福建三明·二模）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球和3个白球，从中随机摸出2个球． (1)求摸到的两个球颜色相同的概率； (2)用表示摸出的球为白球的个数，求的分布列及均值． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 . 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式分析计算即可； （2）利用古典概型概率，以及求随机变量均值公式分析计算即可. 【详解】（1）设事件“摸到的两个球颜色相同”，事件“摸到的两个球为红球”，事件“摸到的两个球为白球”，则． 因为，互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ． （2）的可能取值为， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 的均值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $