第七章 二项分布、超几何分布、正态分布讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学单元复习讲义以知识框架系统梳理二项分布、超几何分布、正态分布的核心内容，通过定义、公式、性质的逻辑递进呈现知识脉络，并用对比表格归纳三种分布的条件、期望方差公式及应用场景，突出重伯努利试验与二项分布的关联等重难点。 讲义亮点在于题型分类精准，方法提炼实用，如二项分布概率最大问题的“(n+1)p”判断法则，结合盲盒游戏、产品检验等真实情境设计练习，培养数学思维与应用意识。基础选择填空与综合解答题兼顾不同层次学生，助力教师实施精准化复习教学。

第七章 二项分布、超几何分布、正态分布 目录 题型1：重伯努利试验 3 题型2：二项分布 4 题型3：超几何分布 7 题型4：正态分布 9 1. 伯努利试验与二项分布 (1) 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为. 如果随机变量的分布列具有上述的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 若，则，. 2. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中， . 如果随机变量的分布列具有上述的形式，那么称随机变量服从超几何分布. 若，则，. 3. 正态分布 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，其图像称为标准正态曲线. 若，则，. (1) 正态曲线的性质 ①当无限增大时，曲线无限接近轴； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的区域的面积为1； ⑤当一定时,曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中，如图乙所示. (2) 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则. ①； ②； ③. 题型1：重伯努利试验 方法提炼 重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 (1) 符合重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立； (2) 在求重伯努利试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好，和的值，再准确利用公式求概率. 【例1.1.】 已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 【例1.3.】 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【例1.4.】 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 【例1.5.】 为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． (1)①求抽取次后，总积分为分的概率； ②求的值； (2)设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； (3)证明：当时，． 题型2：二项分布 方法提炼 (1) 与二项分布有关的期望与方差的求法: ①如果,则，. ②有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用以及求出,同样还可求出. (2) 二项分布概率最大问题的求解 若随机变量服从二项分布，即，其中，则有。要使，则当且仅当，在的左侧严格递增，在的右侧严格递减，故有： ①若，则取时最大； ②若是不超过的正整数，则当取和时，都达到最大值； ③若是不超过的非整数，由于，故（表示不超过的最大整数），当且仅当取时，最大. 【例2.1.】 已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【例2.2.】 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【例2.3.】 （多选）一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 阿郑操场跑圈，一周3次，一次跑4圈或5圈，第一次跑4圈或5圈的概率均为，若第次跑4圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为．若第次跑5圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为． (1)求阿郑一周跑圈的概率； (2)若一周至少跑圈为运动量达标， ①求阿郑一周运动量达标的概率； ②若阿郑连续跑4周，每周间的跑圈互不影响，记达标周数为，求随机变量的分布列及． 【例2.5.】 DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【例2.6.】 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 【例2.7.】 工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； (3)若，已知抽取检验的件产品中恰有2件不合格品，试给出的估计值.（表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.） 【例2.8.】 某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． (1)求居民第2天选择超市A购物的概率； (2)若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； (3)若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 题型3：超几何分布 方法提炼 1. 若随机变量服从超几何分布,则满足如下条件: ①该试验是不放回地抽取n次; ②随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)。 2. 求超几何分布的分布列的3个步骤 (1) 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值； (2) 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3) 用表格的形式列出分布列. 【例3.1.】 袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 【例3.2.】 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 【例3.3.】 3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【例3.4.】 某学校拟建立一座教学楼，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【例3.5.】 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【例3.6.】 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 题型4：正态分布 方法提炼 利用原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系,使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率. 【例4.1.】 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（   ） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【例4.2.】 某型号无人机在自动巡航模式下，其飞行高度X(单位：米)服从正态分布N(120,25).若规定飞行 高度在区间[110,130]内为“标准安全区”，一架该型号无人机在一次自动巡航中被监测到处于“标准安全区”内，那么其飞行高度不低于125米的概率约为（    ） 参考数据：若，则，，. A．0.159 B．0.142 C．0.136 D．0.022 【例4.3.】 （多选）我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 【例4.4.】 某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 【例4.5.】 某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【例4.6.】 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 二项分布、超几何分布、正态分布 目录 题型1：重伯努利试验 3 题型2：二项分布 8 题型3：超几何分布 19 题型4：正态分布 25 1. 伯努利试验与二项分布 (1) 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为. 如果随机变量的分布列具有上述的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 若，则，. 2. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中， . 如果随机变量的分布列具有上述的形式，那么称随机变量服从超几何分布. 若，则，. 3. 正态分布 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，其图像称为标准正态曲线. 若，则，. (1) 正态曲线的性质 ①当无限增大时，曲线无限接近轴； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的区域的面积为1； ⑤当一定时,曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中，如图乙所示. (2) 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则. ①； ②； ③. 题型1：重伯努利试验 方法提炼 重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 (1) 符合重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立； (2) 在求重伯努利试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好，和的值，再准确利用公式求概率. 【例1.1.】 已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】借助相互独立事件的概率公式计算即可得. 【详解】每次摸到红球的概率都为， 则摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是. 【例1.2.】 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】先分别求解甲获胜的总概率及甲3局获胜的概率，再代入条件概率公式计算即可. 【详解】设事件B为“甲获胜”，事件A为“比赛进行了3局”，则所求为条件概率. 甲获胜分为三类情况： 3局全胜：; 4局获胜：前3局甲胜2局，第4局甲胜，; 5局获胜：前4局甲胜2局，第5局甲胜，; 因此. . 【例1.3.】 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立重复试验的概率问题、互斥事件的概率加法公式 【分析】应用互斥事件概率和公式及独立重复事件概率公式计算求解. 【详解】记事件表示三次抛掷出的点数之积能被4整除， 则事件有两种情况：第一种是至少有一次掷出点数为4；第二种是没有掷出点数4，但点数2或6两者一共至少被掷出两次； 则. 【例1.4.】 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 【答案】 【难度】0.42 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、独立重复试验的概率问题 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算；分析与的递推关系建立递推式，通过构造等比数列的方法求解通项公式，进而代入计算. 【详解】每次抛骰子，事件发生的概率，不发生的概率为； 抛2次，发生奇数次即恰好发生1次，由二项分布概率公式：， 次中发生奇数次，可分为两种情况：①    前次发生偶数次，第次发生； ②    前次发生奇数次，第次不发生， 因此：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【例1.5.】 为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． (1)①求抽取次后，总积分为分的概率； ②求的值； (2)设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； (3)证明：当时，． 【答案】(1)①；② (2)，125 (3)证明见解析 【难度】0.38 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、递推法求概率、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）①由题意得总积分为分，应满足恰好抽到次号代币，次号代币，利用概率的乘法公式即可求解；②分类讨论次抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币的情况即可求解； （2）根据题意得出抽到号的次数与的关系即可求解； （3）将第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况讨论，得到即可判断. 【详解】（1）①由题意，抽到号的概率为，抽到号的概率为；抽取次后，总积分为分，应满足恰好抽到次号代币，次号代币． 总积分为分的概率为：， ②根据题意，次抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，有种情况 三次均未抽到号：， 三次中有一次抽到号：， 三次中有两次抽到号，只能第一次和第三次抽到号：， 则． （2）设抽到号次，则 ，得； 因为个号不连续，故至少有次抽到其他号码， 所以有 ，即，又， 联立解得． 故的最大值为，此时：共 种抽取方法． （3）第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况： 第一种情况：第次抽号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 第二种情况：第次抽号，其概率为，第次抽号，概率为， 前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 故， 则， 所以当时，， 当时，由（1）知，， 故，当时，． 题型2：二项分布 方法提炼 (1) 与二项分布有关的期望与方差的求法: ①如果,则，. ②有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用以及求出,同样还可求出. (2) 二项分布概率最大问题的求解 若随机变量服从二项分布，即，其中，则有。要使，则当且仅当，在的左侧严格递增，在的右侧严格递减，故有： ①若，则取时最大； ②若是不超过的正整数，则当取和时，都达到最大值； ③若是不超过的非整数，由于，故（表示不超过的最大整数），当且仅当取时，最大. 【例2.1.】 已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立重复试验的概率问题 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 【例2.2.】 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】二项分布的均值 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 【例2.3.】 （多选）一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.72 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、二项分布的方差 【详解】对于A，有放回的取4次，每次取到黄球的概率为，每次取球相互独立，因此取到黄球的个数服从的二项分布，即，故A错误； 对于B，由二项分布概率公式得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 【例2.4.】 阿郑操场跑圈，一周3次，一次跑4圈或5圈，第一次跑4圈或5圈的概率均为，若第次跑4圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为．若第次跑5圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为． (1)求阿郑一周跑圈的概率； (2)若一周至少跑圈为运动量达标， ①求阿郑一周运动量达标的概率； ②若阿郑连续跑4周，每周间的跑圈互不影响，记达标周数为，求随机变量的分布列及． 【答案】(1) (2)①；② 0 1 2 3 4 【难度】0.56 【知识点】利用全概率公式求概率、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）根据已知条件列出所有的可能情况，再计算所有可能情况的概率的和即为所求概率； （2）①先列出符合条件的所有情况，再计算所有可能情况的概率的和，从而求出达标概率；②利用二项分布概率公式求概率得出分布列，利用二项分布期望公式求期望． 【详解】（1）记阿郑一周跑圈为事件，则可能结果为，，， ， 阿郑一周跑圈的概率为． （2）①记阿郑一周运动量达标为事件，则可能结果为，，，， ， 阿郑一周运动量达标的概率为； ②由于每周间的跑圈互不影响， 达标周数符合二项分布：， ；； ；； ； 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 【例2.5.】 DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】(1)（i）（ii）分布列见解析，期望为 (2) 【难度】0.55 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的方差、二项分布方差与均值的关系 【分析】（1）（i）根据组合数求概率即可； （ii）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）法1：根据题意可知，，再根据二项分布的期望公式，期望与方差的线性关系求解即可；法2：每位职工培训合格与否相互独立，计算一位职工的期望与方差，可得总的期望与方差，利用方差公式求解． 【详解】（1）（i） （ii）由题意可知，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 （2）法1：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为培训合格的职工人数，则 所以 ，解得 则 从而 法2：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则 ， 所以 因为 所以 解得， 所以 ， 所以， 所以． 【例2.6.】 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望 (3) 【难度】0.63 【知识点】二项分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题、利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式计算求解； （2）由题意可得服从二项分布，根据二项分布求解分布列和数学期望； （3）根据二项分布的概率计算公式结合题意列不等式计算求解. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，；设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. （3）设升级后，4台机器人中性能合格的台数为，则. “至少有1台合格”的对立事件为“4台均不合格”，其概率为. 由题意：， 整理得：，又，解得：， 故实数的取值范围为. 【例2.7.】 工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； (3)若，已知抽取检验的件产品中恰有2件不合格品，试给出的估计值.（表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.） 【答案】(1)0.1 (2)490 (3)或 【难度】0.52 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）利用二项分布模型写出关于概率的函数，之后对其求导，利用导数在对应区间上的符号，确定其单调区间，从而得到其最大值点. （2）以（1）的结果为参考，构造包含固定费用和随机赔偿费用的总费用的随机变量，利用二项分布的期望公式及期望的性质计算总费用的数学期望. （3）方法一，通过比较任意相邻项的值，找出概率取得最大值时的样本量，体现了统计的估计思想，同时也避免了复杂的求导运算；方法二，因为在恒成立，利用作商法比较和的大小，进一步判断的单调性，从而得出值. 【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为：， 因此，， 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，的最大值点为. （2）由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知：， 则，，， . （3）方法一： 由题意得，， 由，得， 解得，故或. 方法二： 因为在恒成立， 由， 令，得， 当时，,递增， 当时，,递减， 故或. 【例2.8.】 某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． (1)求居民第2天选择超市A购物的概率； (2)若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； (3)若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 【答案】(1) (2)分布列 X 0 1 2 3 P ，数学期望为 (3)，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、递推法求概率、利用二项分布求分布列、利用全概率公式求概率 【详解】（1）记小区居民第天选择超市A，B分别为事件． 根据题意，， 则， 所以由全概率公式，得居民第2天选择超市A购物的概率为； （2）记第2天选择超市A购物的人数为X，X的可能取值为0，1，2，3，则由（1）得， 则，， ，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 故X的数学期望为； （3）当第n天选择超市A时，第天选择超市A的概率为， 当第n天选择超市B时，第天选择超市A的概率为， 所以．由此可得， 又，于是数列是首项为，公比为的等比数列． 因此，所以． 所以， ． 题型3：超几何分布 方法提炼 1. 若随机变量服从超几何分布,则满足如下条件: ①该试验是不放回地抽取n次; ②随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)。 2. 求超几何分布的分布列的3个步骤 (1) 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值； (2) 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3) 用表格的形式列出分布列. 【例3.1.】 袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】超几何分布的均值、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】X的取值为， 则，， ，， ， 所以． 【例3.2.】 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的方差 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以， . 【例3.3.】 3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的方差、方差的性质、超几何分布的均值 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 【例3.4.】 某学校拟建立一座教学楼，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】答案见详解 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、二项分布的均值、超几何分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】甲公司利用超几何分布进行求解，乙公司利用二项分布进行求解即可. 【详解】设甲公司答对题数为，则的取值为， ，，， 的分布列为 则， ； 设乙公司答对题数为，则的取值为， ，，，， 的分布列为 则， ； ，， 甲公司竞标成功的可能性更大. 【例3.5.】 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的方差 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出； （3）根据方差公式计算可知，． 【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ，， ， 所以． （3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布， ，，， ，，， 因为，， 可得， ， 所以． 【例3.6.】 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的方差、超几何分布的方差、利用二项分布求分布列 【分析】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 题型4：正态分布 方法提炼 利用原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系,使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率. 【例4.1.】 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（   ） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性和经验数值，将目标区间拆解为与区间差值的一半 【详解】由题，，则 【例4.2.】 某型号无人机在自动巡航模式下，其飞行高度X(单位：米)服从正态分布N(120,25).若规定飞行 高度在区间[110,130]内为“标准安全区”，一架该型号无人机在一次自动巡航中被监测到处于“标准安全区”内，那么其飞行高度不低于125米的概率约为（    ） 参考数据：若，则，，. A．0.159 B．0.142 C．0.136 D．0.022 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】计算条件概率、3δ原则、正态曲线的性质 【分析】由题意得出，，然后根据正态分布的概率性质求得，，然后由条件概率公式计算. 【详解】由已知，，， ， ， 所以. . 【例4.3.】 （多选）我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.72 【知识点】均值的性质、方差的性质、3δ原则、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性与区间概率计算，并利用期望与方差的线性性质计算 和即可. 【详解】对于A，由题意得 ，故A错误； 对于B，由题意得， ，故B正确； 对于C，由题意得， ，故C正确； 对于D，由题意得， 即，故D正确. 【例4.4.】 某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 【答案】39090 【难度】0.5 【知识点】正态分布的实际应用、正态曲线的性质、3δ原则、计算几个数的平均数 【分析】本题是正态分布的实际估计问题，用样本平均数估计总体均值；用估计总体方差；判断合格线对应均值左侧几个标准差；借助正态分布的对称性求合格概率，再乘总件数. 【详解】由题意，样本均值为 又因为 所以样本方差可估计为 用样本统计量估计总体参数，故可估计 于是质量指标值近似服从正态分布 因为合格标准是不小于，而 所以合格的概率为 由题给参考数据， 又正态分布关于均值对称，所以两侧尾部概率相等， 从而 因此 所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为 故估计该批产品中质量测评合格的产品件数为 【例4.5.】 某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【难度】0.72 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、3δ原则 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 【例4.6.】 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③； (2)； (3) 【难度】0.7 【知识点】相关系数的意义及辨析、离散型随机变量的方差与标准差、3δ原则、指定区间的概率 【分析】（1）由相关系数绝对值越大，相关性越强来判断排序； （2）的值可能为：，求出分布列，然后由方差公式计算； （3）由正态分布的性质求得，然后由10个零件都不小于或只有１个小于求出概率. 【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $