数学真题重组（山东青岛卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学真题重组卷精选山东等地近年中考真题，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，通过绿色能源、电影票房等真实情境，考查抽象能力、几何直观、运算能力等核心素养，适配中考模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|实数、图形对称、科学记数法等|第3题以绿色能源发电量考科学记数法，体现用数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|分解因式、统计量、分式方程等|第12题结合水费调整考分式方程，培养模型意识| |作图题|1/4|尺规作图|在△ABC中作满足条件的点，强化几何直观| |解答题|9/71|不等式组、概率统计、函数综合等|第24题以水上娱乐项目考二次函数应用，提升用数学思维解决实际问题能力|

null2026年中考真题重组卷 数学 .: : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 : 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.(2025山东济南·中考真题)下列各数中为负数的是() A.5 B.0 C.2 D.-1 2.(2025山东济南·中考真题)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 等边三角形 正方形 D : 平行四边形 正五边形 : 3.(2025山东淄博.中考真题)党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展.根据国家能源局报 : 道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时.将8160亿用科学记数法表示为() A.8.16×1011 B.81.6×1011 C.0.816×101 D.8.16×1013 : 4.(2025山东滨州中考真题)如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状.关于该圆锥的三视 : 图，下列说法正确的是() : A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 5.(2024山东青岛·中考真题)如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方 试题第1页（共8页） .: .: ⊙学科网·学易金卷做赶德：就限是格 形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D',则点A的对应点A的坐标是() 3 D -10 1234 A.（(-1,-2) B.（-2,-1) C.(2,1) D.(1,2) 6.(2025山东济南中考真题)下列运算正确的是() A.2.2=23 B.5÷m2= C.2m+3n=5mn D.(m2)=m 7.(2024山东日照中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以 点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF,点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积 为() 60 O A.π3 B.π-3 D.无法确定 24 4 C. 8.(2025山东德州中考真题)如图，矩形OABC的顶点O,A,C的坐标分别是(00)，(3,0)，(0,2)，GOADE 与矩形OABC周长相等，口OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为() A.（3+V31)B.(3+V2,W2 c.(51) D.(3+55） 9.(2025·山东烟台中考真题)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和 (-1,0)之间，顶点P的坐标为(1，n).下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,都有m2+b-a-b≥0： ③3b<2c:④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且。PAB是等边三角形，则n=-3.其中 所有正确结论的序号是() 试题第2页（共8页） 可学科网·学易金卷做赶汽：就限是普 -2F10 A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 10.(2025山东东营·中考真题)分解因式：2m2-12m2+18= 11.(2025山东东营·中考真题)电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别 是：4.94.86.27.38.18.48.6（亿元），那么这组数据的中位数是亿元. 12.（2024山东东营·中考真题)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证 从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的：，小丽家去年5月份的水费是28 元，而今年5月份的水费则是24.5元.己知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少33.设 该市去年居民用水价格为x元/m3,则可列分式方程为 13.(2025山东滨州中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为AB 的中点，反比例函数y=的图象经过点C.若点B的坐标为(0,6)，OC=5,则k=一 1 0 14.(2024山东泰安·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点 D为4C的中点，连接BD交AC于点B,延长BD与AH相交于点P,若DF=1,tanB=:则AB的 长为 H D 15.(2023山东日照中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P在对角线BD上，过点P作 MN⊥BD,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列 96 结论：①BM=BN:②四边形MBND的面积不变：③当AM:MD=1:2时，S=25:@ 试题第3页（共8页） BM+N+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是 : O E .: : B NC 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 兵 16.（2025·陕西·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°.请利用尺规作图法求作一点P,使得PA=PB且 : PC∥AB.(保留作图痕迹，不写作法) C 张 河 A B : 四、解答题（本大题共9个小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 游 雄 17.(本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分) 游 +2x<- 3 x+4 (1)(2024山东淄博中考真题)解不等式组： 2 并求所有整数解的和. x-3<1+2x S O ②)(2023山东淄博中考真题)先化简，再求值：(K-2妙+x5y-)-4少，其中x=Y5+1,y=V51 2 : 洲 : 18.(本小题满分6分)(2025江苏镇江·中考真题)一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、 3、5、7,这些球除数字外都相同.从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有 S 数字2和3的两个球的概率. E时 19.(本小题满分6分)(2025山东济南·中考真题)某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学 生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据 世 (成绩)进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： α.抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 0≤x<20 1 20≤x<40 5 C 40≤x<60 L 0 60≤x<80 16 E 80≤x≤100 20 : 试题第4页（共8页） : .·.… .: D B10% E ·: b.D组的数据：60,60,61,62,62,63,63,66,67,67,70,70,71,74,75,79 请根据以上信息完成下列问题： 舒 (1)求随机抽取的学生人数： (2)统计表中的m= 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为 度： (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为 分： (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达 到60分及以上的学生人数、 : 20.(本小题满分6分)(2024江苏准安中考真题)拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱的示意图如 : 图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为6Ocm,两节可调节的拉杆长度相等， 且与BC在同一条直线上.如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°，如图2， 当拉杆伸出两节(AM,MB)时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面 .: 高度相同.求每节拉杆的长度.($im53°≈ 5,in37 tan53° 3 3,tan 37 图1 图2 21.(本小题满分8分)(2025山东东营·中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销 店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数 量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍， 拟 (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ : (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100 : 个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进 : 货方案？ : 22.(本小题满分8分)(2025·贵州中考真题)如图，在口ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE, 且BE⊥AC,垂足为E,延长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. o 试题第5页（共8页） 可学科网·学易金卷做概费：限是普” (I)求证：口ABCD是菱形： (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 23.（本小题满分8分)(2025·福建中考真题)阅读材料，回答问题. 主题 两个正数的积与商的位数探究 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式 提出问题 46×2=92,35×21=735;663×11=7293,186×362=67332”,猜想：m位的正整数与n位的正整 数的乘积是一个(m+n-1)位的正整数， 分析探究 问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁 移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学 记数法表示为ax10,则称这个数的位数是n+1,数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A,B,C的位数分别为，n,p,数字分别为a,b,c,且A×B=C,则必有c≥a 且c≥b,或c<a且c<b.并且，当c≥a且c≥b时，p=m+n-1;当c<a且c<b时，p=m+n. 证明：依题意知，A,B,C用科学记数法可分别表示为a×10m-1,b×10”-1,c×102-1,其中a,b, c均为正数， 由AxB=C,得b×10r?=cx10,即地=102-H.（ 推广延伸 雪a≥aa2b时≤L,i心≤h<10,叉g≥&>所以b0.由) 10c ab =1,所以p=m+n-1: c 0) (absb<10 当c≥a且c<b时， 所以 以1<地<10， b >1 ab c >a≥1 c 与(*)矛盾，不合题意： 当c<a且c≥b时，①_： 当c<a且c<b时，_②_ 综上所述，命题成立 拓展迁移 问题2若正数A,B的位数分别为，n,那么 A 的位数是多少？证明你的结论 (1)解决问题1： (②)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2. 试题第6页（共8页） 可学科网·学易金卷做将卷：限美是鲁普 24.(本小题满分10分)(2024内蒙古赤峰中考真题)如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小 组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处 沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的 直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似 看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决。 y米 /米 A M Ex/米 米 图1 图2 (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离 为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为： (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距 离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称. ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式： ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）： (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑 道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架N,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需 要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点， 一端固定在钢架N上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）. 试题第7页（共8页） 25.(本小题满分10分)(2024·吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm,AD 是△ABC的角平分线.动点P从点A出发，以√3cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P : 作PQ∥AB,交AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧，设点P的运动时 : 间为t(s)(t>O),△POE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm) B B : 兵 D D : AOEC C 张 (I)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数 式表示). (2)当点E与点C重合时，求t的值. 样 (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. ..… 游 S .0 S : 世 : : : 试题第8页（共8页） 2026年中考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2025·山东济南·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10．（2025·山东东营·中考真题）分解因式：_____． 11．（2025·山东东营·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是______亿元． 12．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 14．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．    15．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．    三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． （2）（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 18．（本小题满分6分）（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 19．（本小题满分6分）（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 20．（本小题满分6分）（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 21．（本小题满分8分）（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 22．（本小题满分8分）（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 23．（本小题满分8分）（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时，_①_； 当且时，_②_． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 24．（本小题满分10分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 25．（本小题满分10分）（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考真题重组卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.(2025山东济南中考真题)下列各数中为负数的是() A.5 B.0 C.2 D.-1 2.(2025山东济南·中考真题)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A B 等边三角形 正方形 D 平行四边形 正五边形 3.(2025·山东淄博·中考真题)党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展.根据国家能源局报道， 2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时.将8160亿用科学记数法表示为() A.8.16×1011B.81.6×101 C.0.816×101 D.8.16×1013 4.(2025·山东滨州中考真题)如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状.关于该圆锥的三视图， 下列说法正确的是() 1/11 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 5.(2024山东青岛·中考真题)如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方 形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'CD,则点A的对应点A'的坐标是() y 4 3 B -4-32-1万 1234x A -2 -3 A A.（-1,-2) B.(-2,-1) C.(2,1) D.(1,2) 6.(2025山东济南·中考真题)下列运算正确的是( A.2.=m B.÷m2=m C.2m+3n=5m D.(m2)3=m 7.(2024山东日照.中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以 点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF,点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为 () E 60 24 B.元- 4 C. D.无法确定 2/11 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 8.(2025山东德州中考真题)如图，矩形OABC的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0)，(3,0)，(0,2)，口OADE 与矩形OABC周长相等，口OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为() A.(3+3 B.(3+V2, c.(5,1) D.(3+V3N5 9.(2025山东烟台·中考真题)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和 （-1,0)之间，顶点P的坐标为(1，n).下列结论：①abc<0:②对于任意实数m,都有awm2+b-a-b≥0： ③3b<2c:④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且APAB是等边三角形，则n=-3.其中 所有正确结论的序号是() 21o x=l A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10.(2025山东东营.中考真题)分解因式：2m-12m2+181= 11.(2025·山东东营·中考真题)电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是： 4.94.86.27.38.18.48.6(亿元)，那么这组数据的中位数是亿元. 12.(2024山东东营中考真题)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证 从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的子，小丽家去年5月份的水费是28元， 而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少33.设 该市去年居民用水价格为x元/m3,则可列分式方程为 13.(2025山东滨州中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为AB 3/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的中点，反比例函数y=二的图象经过点C.若点B的坐标为(0,6)，OC=5,则k= 14.(2024山东泰安.中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AH是OO的切线，点C为⊙O上任意一点，点D 为AC的中点，连接BD交AC于点E,延长BD与AI相交于点P,若DF-1,amB=子则A证的长 为 H D E B O 15.(2023山东日照.中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P在对角线BD上，过点P作 MN⊥BD,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列 96 结论：①BM=BV:②四边形MBD的面积不变：③当AM:MD=1:2时，Sam25:④BM+W+ND 的最小值是20.其中所有正确结论的序号是 P E 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 16.(2025·陕西·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°.请利用尺规作图法求作一点P,使得PA=PB且 PC∥AB.(保留作图痕迹，不写作法) C B 4/11 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 四、解答题（本大题共9个小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分) *2x< 1 3 x+4 (1)(2024山东淄博中考真题)解不等式组： 2并求所有整数解的和. x-3<1+2x 2023山东淄语中完化面，再求值G2妙+S妙抄，其中5，y,位 2 18.(本小题满分6分)(2025·江苏镇江中考真题)一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、 3、5、7,这些球除数字外都相同.从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有 数字2和3的两个球的概率. 5/11 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(本小题满分6分)(2025山东济南·中考真题)某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生 进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成 绩)进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： α.抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 0≤x<20 1 B 20≤x<40 c 40≤x<60 D 60≤x<80 16 E 80≤x≤100 20 D C B10% b.D组的数据：60,60,61,62,62,63,63,66,67,67,70,70,71,74,75,79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数： (2)统计表中的m= ,扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为 度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为 分： (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达 到60分及以上的学生人数： 6/11 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(本小题满分6分)(2024江苏准安·中考真题)拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱的示意图如图 所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为6Ocm,两节可调节的拉杆长度相等，且 与BC在同一条直线上.如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°，如图2， 当拉杆伸出两节(AM,MB)时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面 商度湘相同。求每节拉杆的长度.（sn58”:专sn37=m53手m37=子) 3 图2 21.(本小题满分8分)(2025山东东营·中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销 店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数 量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (I)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100 个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进 货方案？ 7/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(本小题满分8分)(2025·贵州中考真题)如图，在口ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE, 且BE⊥AC,垂足为E,延长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G, (I)求证：口ABCD是菱形； (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 8/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(本小题满分8分)(2025福建中考真题)阅读材料，回答问题. 主题 两个正数的积与商的位数探究 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式 提出问题 “46×2=92,35×21=735,663x11=7293;186×362=67332,猜想：m位的正整数与n位的正 整数的乘积是一个(m+n-1)位的正整数. 分析探究 问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁 移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字的概念进行推广，规定：如果一个正数用科 学记数法表示为a×10”,则称这个数的位数是n+1,数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A,B,C的位数分别为，n,p,数字分别为a,b,c,且AxB=C,则必有c≥a 且c≥b,或c<a且c<b.并且，当c≥a且c≥b时，p=m+n-1:当c<a且c<b时，p=m+n, 证明：依题意知，A,B,C用科学记数法可分别表示为a×10m-1,b×10-1,c×102-1,其中a,b, c均为正数. 由A×B=C,得abx10mt-2=Cx10P-1, 即 =102m-m1.(*) 推广延伸 当ee≥5所，1，所u210,又g品片兽0，由四如 c ab =1,所以p=m+n-1: c {0) c ≤b<1 c 当c≥a且c<b时， 所以 b ab 所以1<ab<10, >1 ->a≥1 c 与(*)矛盾，不合题意： 当c<a且c≥b时，①_： 当c<a且c<b时，_②_. 综上所述，命题成立. 拓展迁移 问题2若正数A,B的位数分别为m,,那么一的位数是多少？证明你的结论. B (1)解决问题1： (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2. 9/11 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(本小题满分10分)(2024内蒙古赤峰·中考真题)如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小 组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿 水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直 线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作 是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决， 米 个米 A M Ex/米 0 米 图1 图2 (①)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离 为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为： (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离 DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称。 ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式： ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）： (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑 道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM,现在需 要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点， 端固定在钢架N上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）. 10/11 高学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(本小题满分10分)(2024吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm,AD 是△ABC的角平分线.动点P从点A出发，以√3cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P 作PQ∥AB,交AC于点Q,以P吧为边作等边三角形POE,且点C,E在PO同侧，设点P的运动时间 为t(s)(t>O),△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm). B B D ◇ (1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数 式表示). (2)当点E与点C重合时，求t的值， (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. 11/11 2026年中考真题重组卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B A A A A A A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10． 11．7.3 12． 13．12 14． 15. ②③④ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16． 【详解】解：如图，点即为所求． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集，………………3分 ∴不等式组所有整数解的和为．………………4分 （2）原式 ,………………4分 当 时, 原式 ．………………5分 18．（本小题满分6分） 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则摸出标有数字2和3的两个球的概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为．………………6分 19．（本小题满分6分） （1）解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人；………………1分 （2）解：，………………2分 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：，………………3分 故答案为：8，144； （3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70；………………5分 （4）解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．………………6分 20．（本小题满分6分） 解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以；………………2分 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以．………………4分 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为．………………6分 21．（本小题满分8分） （1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：，………………2分 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；………………4分 （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：，………………5分 解得：，………………6分 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，，………………7分 ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案．………………8分 22．（本小题满分8分） （1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴，………………2分 ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形；………………3分 （2）解：如图： ∵， ∴，………………4分 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：………………5分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，………………7分 ∵， ∴， ∴， ∴．………………8分 23．（本小题满分8分） （1）解：小明的猜想不正确． 反例：．………………2分 （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；………………3分 ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以．………………5分 （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以；………………6分 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是，………………8分 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 24．（本小题满分10分） （1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为；………………2分 （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米， 人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；………………4分 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；………………6分 （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为，………………7分 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：，………………9分 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米．………………10分 25．（本小题满分10分） （1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，………………1分 ∵， ∴， ∴在中，；………………2分 （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴；………………4分 （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴；………………6分 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴；………………8分 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：．………………10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考数学真题重组卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（4分） 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）解不等式组：并求所有整数解的和． （2）先化简，再求值：，其中，． 18．（本小题满分6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本小题满分6分） 20．（本小题满分6分） 21．（本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（本小题满分8分） 23．（本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本小题满分10分） 24．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学真题重组卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）解不等式组：并求所有整数解的和． （2）先化简，再求值：，其中，． 18．（本小题满分6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本小题满分6分） 20．（本小题满分6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本小题满分8分） 22．（本小题满分8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（本小题满分8分） 24．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 9.[AJ[B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10 11. 12 13 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16.(4分) C B 四、解答题（本大题共9个小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分) 解不等式组：5十2x<-x+4 2 并求所有整数解的和. x-3<1+2x (2)先化简，再求值：(-2)2+x(5v-x)-4y,其中x=5+1,y=5-1。 2 18.(本小题满分6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分6分) 20.(本小题满分6分) A、 B >D D 图1 图2 21.(本小题满分8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(本小题满分8分) D E G B 23.(本小题满分8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(本小题满分10分) 个y/米 y/米 A A M B 0 D Ex/米 x米 图1 图2 25.(本小题满分10分) B 的 D D A C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2025·山东济南·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10．（2025·山东东营·中考真题）分解因式：_____． 11．（2025·山东东营·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是______亿元． 12．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 14．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．    15．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．    三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． （2）（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 18．（本小题满分6分）（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 19．（本小题满分6分）（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 20．（本小题满分6分）（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 21．（本小题满分8分）（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 22．（本小题满分8分）（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 23．（本小题满分8分）（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得，即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时，_①_； 当且时，_②_． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 24．（本小题满分10分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 25．（本小题满分10分）（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考真题重组卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 2．（2025·山东济南·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 6．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10．（2025·山东东营·中考真题）分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是______亿元． 【答案】7.3 【分析】本题考查中位数，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【详解】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3， ∴中位数为7.3； 故答案为：7.3． 12．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 14．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．    【答案】②③④ 【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④． 【详解】解：∵，， ∴， 在点P移动过程中，不一定， 相矛盾， 故①不正确；    延长交于点H, 则为矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴ 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， ， 即当的最小值，作B、D关于的对称点, 把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，, 这时， 即的最小值是20， 故④正确； 故答案为：②③④    【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． （2）（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2） ； 【分析】（1）本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． （2）直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集，………………3分 ∴不等式组所有整数解的和为．………………4分 （2）原式 ,………………4分 当 时, 原式 ．………………5分 18．（本小题满分6分）（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则摸出标有数字2和3的两个球的概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为．………………6分 19．（本小题满分6分）（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】(1)50人 (2)8，144 (3)70 (4)576人 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人；………………1分 （2）解：，………………2分 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：，………………3分 故答案为：8，144； （3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70；………………5分 （4）解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．………………6分 20．（本小题满分6分）（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以；………………2分 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以．………………4分 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为．………………6分 21．（本小题满分8分）（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：，………………2分 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；………………4分 （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：，………………5分 解得：，………………6分 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，，………………7分 ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案．………………8分 22．（本小题满分8分）（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴，………………2分 ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形；………………3分 （2）解：如图： ∵， ∴，………………4分 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：………………5分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，………………7分 ∵， ∴， ∴， ∴．………………8分 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 23．（本小题满分8分）（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时，_①_； 当且时，_②_． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：．………………2分 （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；………………3分 ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以．………………5分 （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以；………………6分 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是，………………8分 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 24．（本小题满分10分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析 (3)这条钢架的长度为米 【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可； （2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论； （3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为；………………2分 （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米， 人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；………………4分 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；………………6分 （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为，………………7分 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：，………………9分 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米．………………10分 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 25．（本小题满分10分）（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，………………1分 ∵， ∴， ∴在中，；………………2分 （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴；………………4分 （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴；………………6分 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴；………………8分 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：．………………10分 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $