数学（山东济南卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 9.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共20分） 11 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(8分) A D E 6 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(9分) 个人数 16 16 14 4 计算 思维 86430 ----- -=-一-+ 科创 亲 实践 计算 数字课程 409% 思维实践 艺 (1)①此次调查一共抽取了 名学生； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为度： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) o A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) CB 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) y2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D D E O(P) B C B () 图① 图② 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将亿用科学记数法应表示为（   ） A． B． C． D． 3.如图所示的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 4.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5.如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点O叠放在一起， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧， 与交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点， 作直线，分别交于点，则的面积为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 8.《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 9.已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10.如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程必有两个不相等实根； ⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.函数中自变量的取值范围是____． 12.若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 第12题图 第13题图 第14题图 13.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 14.已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地 _____． 15.如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接． 若，，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组： 18.（7分）先化简，再求值：，其中满足． 19．（8分）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 20．（8分）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 21.（9分）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 22.（10分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 23.（10分）小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式． (2)根据图象直接写出的解集． (3)把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值． 24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 25.（12分）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的相反数为． 2.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将亿用科学记数法应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿 3.如图所示的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得答案． 【详解】解：从上面看到的图形是一个长方形，靠近中间两侧各有一条竖直的实线，左边实线的左侧有一条竖着的虚线，右边实线的右侧有一条竖着的虚线，即俯视图如下： 4.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【详解】解：A选项：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 5.如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点O叠放在一起，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，角度的和差计算；根据两个锐角角和角的顶点叠放在一起，可知，，，再算出的度数即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，即， ∴． 故选：A． 6下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，同类项的概念，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同类项的概念判断A，根据幂的乘方运算法则判断B；根据同底数幂的除法运算法则判断C；同底数幂的乘法运算法则判断D． 【详解】解：A、、不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故答案为：C． 7.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，分别交于点，则的面积为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，由题意得，，直线为线段的垂直平分线，得到，证明，可得，求得，进一步求得三角形的面积即可． 【详解】解： ∵， 由题意得：，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ，， ， ∴， ， ， ， 故选：B． 8.《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意提取两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组. 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， ∵甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是乙的2倍，此时甲的羊数为，乙剩余羊数为， ∴可得方程 ； ∵乙得到甲的9只羊后，两家羊数相等，此时乙的羊数为，甲剩余羊数为， ∴可得方程 ； 因此列出的二元一次方程组为 ． 9.已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 10.如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 12.若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】/ 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 14.已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地 _____． 【答案】15 【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解决实际问题，关键在于理解题意，明白追击问题中追上就是路程相等，再利用待定系数法求出函数表达式，最后进行求解． 根据图象信息和已知条件，用待定系数法求出，，，再根据追上时路程相等，求出答案． 【详解】解：设，将代入表达式，得： ，解得：， 则， 当时，求得， 设， 将，，代入表达式，得：， 得：， ∴， ∴，， ∵乙在途中休息了半小时，到达B地时用半小时， ∴当时，设， 将，代入表达式，得到：， 得：， ∴， 则当时，， 解得：， ∴， ∴当乙再次追上甲时距离A地 所以乙再次追上甲时距离地． 故答案为：15． 15.如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为___________．    【答案】/ 【分析】如图，过点作于点，连接．则四点共圆，．由，可得．由，可知，且是定值，则点在射线上运动，当时，的值最小．由勾股定理得，，则．由，可求，由勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接．    ∵， ∴四点共圆， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，且是定值， 点在射线上运动， ∴当时，的值最小． 四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴． ∵， ∴， 由勾股定理得，， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查的是实数的运算,熟知运算法则是解题的关键． 【详解】解： . 17．（7分）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知不等式组的解法是解题的关键,分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 18.（7分）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 19．（8分）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 21.（9分）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 【答案】(1)①40；②见解析；③90 (2)280人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数（16人）和对应百分比（）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数． （1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以，求出对应扇形圆心角； （2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数． 【详解】（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，   ∴ 调查总人数为（名）．   故答案为：40；   ② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．   补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；   ③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为 故答案为：90； （2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为， ∵ 该校共有800名学生参加课程，   ∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．   答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人． 22.（10分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 23.（10分）小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式． (2)根据图象直接写出的解集． (3)把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为直线方程为 (2) (3)的值为4或6 【分析】（1）先说明是等边三角形，结合点，可得，进而得出，再根据勾股定理得，可得点代入，可得反比例函数的解析式；然后将点代入得出答案即可； （2）结合直线与双曲线的交点，再根据双曲线在直线上方的部分对应的自变量得取值即为不等式的解集来解答； （3）分两种情况讨论：点是的中点，由（1）得可得，把代入，得．然后根据得出答案；点是的中点，作轴，由题意得，，再解直角三角形得，把代入，得，进而得出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：， 是等边三角形， ． ， ， ． 在中，由勾股定理得． 把点代入，得． 反比例函数的解析式为； 直线过原点， ． 直线过点， 把点代入，得 ； （2）解：由图象得，当时，， ∴的解集是：； （3）解：分两种情况讨论： ①如图1，点是的中点，由（1）得 ， 把代入， 得． ． ②如图2，点是的中点，过点作轴于点． 由题意得，， 在Rt中，． 把代入， 得， ， 综上所述，的值为4或6． 24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵二次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 25.（12分）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 8 A A B 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） , 12025 1.6 14.15 15. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 解： -V9+2c0s45°+V2-2 =4-3+2× +2-V2(3分) =4-3+V2+2-2(5分) =3.(7分) 17.(7分) 5.x-1>3(x+1)① 解： 2x-1_X<1② 13 2 解不等式①得：x>2,(3分) 解不等式②得：x≤8，(6分) 所以原不等式组的解集为2<x≤8.(7分) 18.(7分) m(m-1).2m-(m+1) 解：原式= （m+1)2m(m+1) (2分) =m(m-m(m+1) （m+1)2m-1 (3分) 1/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 m2 ,(4分) m+1 :mm+4）=-4, .m2=-4m-4,(5分) 原式=二4m-4 m+1 =-4(m+1) (6分) m+1 =-4.(7分) 19.(8分) (1)证明：：E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC, .BE垂直平分AC, .BA=BC,(2分) :四边形ABCD是平行四边形， .口ABCD是菱形；(4分) (2)解：如图： EB=EF,CE=CF=4, .∠3=∠2=∠1， 设∠3=∠2=∠1=a ∠4=∠1+∠2=2a, :BE⊥AC, .∠3+∠4=90， .a+2a=90°， 解得：a=30° .14=60°，(5分) :BE⊥AC, BC=2CE=2×4=8, 2/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又：BC=BA, :.ABC为等边三角形， .∠ABC=∠BAC=60° :四边形ABCD是菱形， .AB∥CD,CD=BC=8,(6分) .∠FCG=∠ABC,∠ECG=∠BAC, ∴.∠FCG=∠ECG, .CF=CE=4, CG⊥EF, :∠2=30°， ..CG=-CF=2, 2 FG=VFC2-CG2=25,(7分) :5am-CDFG=8x25=85.(8分) 20.(8分) (1)解：设生产甲、乙两款服装分别为x件，y件， 根据题意得 x+y=300 1700x+800y=230000'(2分) x=100 解得： y=200'(3分) 答：生产甲、乙两款服装分别为100件，200件；(4分) (2)解：设生产甲款服装m件，则生产乙款服装(500-m)件， m≥2(500-m) 根据题意得 m≤500 解得1000 3 m≤500，(5分) 设获得的总利润为W元， :.W=(1000-700)m+(1200-800)(500-m)=-100m+200000,(6分) .-100<0,且m为正整数， .当m=334时，最大利润为W=-100×334+200000=166600(元)，(7分) 3/12 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则500-334=166（件）， 答：生产甲款服装334件，生产乙款服装166件，可获得最大利润.(8分) 21.(9分) (1)解：①.科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为40%， ∴.调查总人数为16÷40%=40（名). 故答案为：40；(2分) ②数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即40-14-16=10（人）. 补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）： 个人数 16 16 14 14 12 10 8 (4分) 6 2 0 计算 科创 数字课程 思维 实践 艺术 国扇形统计图中“数字艺术对应的圆心角为0×360°=90 40 故答案为：90；(6分) (2)样本中喜欢计算思维课程的人数占比为4=35%，(7分) 40 :该校共有800名学生参加课程， :.估计喜欢计算思维课程的学生人数为800×35%=280（人）.(8分) 答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人，(9分) 22.(10分) (1)证明：：AB=BC, ∠A=∠ACB.(1分) :0C=0D, .∠ACB=∠ODC, ∠A=∠0DC,(3分) .DF I AB;(4分) (2)解：如图，设⊙0的半径为r,连接CE, 4/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 FG切O0于点F, ∴.∠OFG=90°. 在Rt△0FG中，cos∠F0G=OF-,=2 0Gr+23’ 解得r=4, .BC=8,(5分) :DF∥AB, .∠FOG=∠ABC. :BC为O0的直径， ∠CEB=90°. 在Rt△CEB中，BE=BC.cos∠ABC=16 8v5 .(7分) 3 :AB=BC=8, AEAB-BES,(8分) 在Rt△CEA中，AC=VAE2+CE 828 8v6 3+ 3 .10分) 23.(10分) (1)解：：∠A0B=∠AB0=60°， △OAB是等边三角形， .OC =CB. B8,0, .0B=0A=8, .0C=4. 在Rta0AC中，由勾股定理得AC=V0A2-0C2=V82-42=4√5. 5/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 把点A4,4代入y=k,得k=165. ·反比例函数的解析式为y=165,(2分) :直线y=mx+n过原点， .n=0. :直线过点A4,4V5), :把点A4,4V3代入y=mx,得m=√5， y=V5x;(4分) (2)解：由图象得，当0<x<4时，r+n<k :r+n<的解集是：0<x<4:(6分) (3)解：分两种情况讨论： ①如图1，点D是A'C'的中点，由(1)得A'C'=43, CD=25, 把y=25代入y=16v3 得x=8. a=0C'-0C=8-4=4.(7分) OlO'C 图1 ②如图2，点E是A'O'的中点，过点E作EF⊥x轴于点F. D OO F C 图2 6/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意得A0'=8,LA'0'C'=60°，E0'=4, RaE0F中，EF=E0-sim∠E0F=4×号=26 把y=2V5代入y=165 x 得x=8, .0F=8, .0C=10, .a=0C'-0C=10-4=6.(9分) 综上所述，a的值为4或6.(10分) 24(12分)1)解：当=0时，-x-+1=0, 解得x=-1,x2=3, .A3,0),(1分) 将x=号代入片=-+1，得= 9 0-子-9 将A3,0),B(-3 716 )分别代入y2=ax2+c,得 9a+c=0 cs-16, 49 9 9 1 解得 9·(3分) c-2 答：点A的坐标为6,0)，，c的值分别为22 19 (2)①证明：如图， VA 7/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设直线AB的解析武为y=:+bk≠0，将A3,0),B-7,-1乌分别代入，得 -3’-9 3k+b=0 +b=-16,解得 k= 1 3 3 9 b=-1 1 :直线AB的解析式为y=3x-1, 1 设点E的坐标为(m,。m-1) 1 9 2 路代入y得Dmm号 2 将=n代入，得Cm,m2+m+马， 1 3、 2 41 CE=-m2+5m+3-m 1 ,(4分) 4 m+5m-)=m2+ 2 4 6 DE-(m-D-(w- 1 =2m+1m47 m+好，(5分) 6 .DE=2CE(6分) ②如图 x-m 2 当AC∥DB时，△ACE∽△BDE, DE_BE=2, ·CEAE 告产 1 m-1 即3 1 163,解得m= (7分 11 8/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当AD∥BC时，△BCE∽△ADE, .DE_AE=2, CE BE 指 1 m-12 16号解得m=弓(8分) 即 9 或m=9分) .m= 9 8):三次函数月=x-+〔号5x<与=次联数%=am2+x≥列组成新数 = 2 2(x23) 2 当- x≤1时，y随x的增大而增大；当1<x<3时，y随x的增大而减小 当x23时，y随x的塔大而增大，且当x时，⅓取得最小值，一 7 ·当≤xt-n时，函数⅓的最小值为。，最大值为氵-王 9 t 当=时，取得最小值为。，即-16 9 t ”9t9 解得1=（10分 :3≤x≤1-n时，函数⅓的最大值为84， 7 3 :当x=1时，函数y的最大值为8，即8-4=1， 3 3 解行1号1分 1 9 当⅓=1时，2-31， 解得，x=√1或-√11（舍去）， .1≤t-n≤11， 1m, 9/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得，}面s号12分 3 25.(12分)解：(1)在菱形ABCD中， .AB=BC CD=AD, :∠ABC=60°， .ABC为等边三角形， :点P与线段AC的中点O重合， :∠PBC=∠ABC=30°，(2分) BP⊥AC;(4分) (2)如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, D B BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, ∴.△BEQ为等边三角形， .∠BEQ=60°=∠BQE,BE=E0,(5分) :点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∠AEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， :.∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， .∠EQC=150°-60°=90°， ∴∠ECQ=90°-60°=30°，(6分) :CE=2EQ=2BE;(8分) (3)如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H/D :AH∥BC, 10/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠AHB=∠CBH, :∠ABC=60°， ∴.∠BAD=120°=∠BEG, △HABn△BEG, AHI_BE AB EG 设FG=x,则EF=BE=2x, .EG=3x, 2x AH 3x5 ·AH=10 :AD∥BC, ∴.△APH∽△CPB, 、AHAP BC PC 10 Pc=5=3 :ABC为等边三角形， .AC=AB=5, 2 AP=5×三=2，(9分) 5 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, D G 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， △BAH∽△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, :4B-6-m.1 ”AHBE2m2' .AH=10, 11/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 同理：△APH∽△CPB, AP AH =2, CP BC 210 33,(11分) .AP=5×2= 综上：4P的长为2或9.(12分) 3 12/12: 2026年中考考前最后一卷 数学 ·: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第I卷 : : 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 % 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 尽 尽 1.-2026的相反数是() .: A.2026 B.-2026 1 C.2026 D.1 2026 2.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，将499.5 O 亿用科学记数法应表示为() : A.4.995×101 B.4.995×100 C.0.4995×101 D.4.995×10 3.如图所示的几何体，其俯视图是（) : : 4.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() : : : : 5.如图，将一副三角尺的两个锐角(45°角和60°角)的顶点O叠放在一起， 若∠AOD+∠BOC=31°，则∠BOD的度数为() : A.37° B.40° C.31° D.28° : 试题第1页（共6页） .: ⊙学科网·学易金卷做赶德：就限是 6下列计算正确的是() A.a3ta4=a7 B.（←d}=-d C.-4a3÷a4=-4a4 D.a.a=a A 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,以点B为圆心，BC长为半径画弧， D 与AB交于点D,再分别以BD为圆心，大于号D长为半径画弧，两弧交于点M、N, 作直线MN,分别交AB、BC于点E、F,则△BEF的面积为() M C A.3 B.6 C.9 D.12 F 8.《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多 乙一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多）.设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元 一次方程组为() x+9=2y-9 「x-9=2y-9) A. B. y+9=x-9 y+9=x-9 「x+9=2(y-9) 「x-9=2y C. y+9=x-9 D.{y-9=x+9 9.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中-1<a<0,0<b<1.若a×b=c,数c在数轴上用点C表示， 则点AB,C在数轴上的位置可能是() A B A A. -1 0 0 A 2 B C. 》D. -1 0 0 10.如图，已知抛物线y=2+bx+c（abc为常数，且a≠0)的对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴 的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2<<3.有下列结论： m 27 ①abc<0; ②9a-3b+c>0: ④关于x的一元二次方程x+(b-1)x+c-2=0必有两个不相等实根： 4 ⑤若点A(:,乃)，B(5,乃)，C(s,)在抛物线y=2+bx+c上，且n<x<n+1<x3<n+2<x3<n+3,当 3 片<为<为时，则m的取值范围为2<<0.其中正确的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是普 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 11.函数y=2x3中自变量x的取值范围是一 x-1 12若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 y(km) 60----------- 50 D 40 30 ■ 60 B G 10 图(1) 图(2) 之3xh) 第12题图 第13题图 第14题图 13.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在AB上，AD=0.6m, D、E、F三点共线， DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH= 1m. 14.已知A,B两地相距60km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达， 乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30k处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程 y与甲行驶时间x的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地km, 15.如图，Rt△BEF的项点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE, 若∠EBF=∠ACD,AB=2,BC=4,则AE的最小值为 三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(7分)计算： .4 -V5+2c0s45°+V5-2. 5x-1>3(x+1)① 17.(7分)解不等式组： 2x-1_￥≤1② 32 18.(7分)先化简，再求值： 2-m (2-1 其中满足(+4)=-4. m2+2+1气+1 19.(8分)如图，在口ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE,且BE⊥AC,垂足为E,延长BC 至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. 试题第3页（共6页） E : B (1)求证：口ABCD是菱形； (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 20.(8分)2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众 的喜爱.某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，己知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件) 甲 700 1000 样 乙 800 1200 游 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款 : 服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求 甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ E时 21.(9分)为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字 世 时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制，每位学生只 能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查 结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图. 个人数 16 16 14 14 计算 思维 6 数 =====m=== 2 科创 艺术 0 实践 计算 科创 数字课程 40% 思维 实践 艺术 试题第4页（共6页） 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了 名学生： O O : ②请将条形统计图补充完整： ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为度： : (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数. 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作OO,分别交AC,AB于点D,E,连接DO 并延长，交⊙O于点F,过点F作OO的切线，交CB的延长线于点G. O : : (1)求证：DF∥AB: .: (若cos∠OGBG=2,求AC的长 常 O 23.(10分)小军将两个含有30°角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，己知三角板的 顶点A恰好在反比例函数y=x>0)的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点的坐标为（⑧，0）. 斟 拟 B O : (1)求反比例函数的表达式和线段OA所在直线的表达式y=x+n(≠0). : (2)根据图象直接写出x+n<二的解集. : : (3)把△OAC沿x轴向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'C,当反比例函数的图象经过△OA'C”一边的中点 时，求a的值. y .: 24.(12分)如图，在平面直角坐标系x0,中，二次函数%=-(x-1少+1的图象与x轴的正半轴相交于点 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是普 A,二次函数巧，=m2+c的图象经过点A,且与二次函数y的图象的另一个交点为B,点8的横坐标为-3 7 V2 (1)求点A的坐标及4c的值. 亿直线芯=m与二次函数y的图象分别相交于点C,D,与直线AB相交于点E,当大心<3时 ①求证：DE=2CE; ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值. 间=次至数片=-〔<可小与=次商激为=心+c之3到)维成新菌数为，当号s1时， 函数的最小值为 号最大值为，求的值范间。 25.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点 E与点B不重合). D D E (P) 图① 图② 备用图 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=_度，线段BP与线段AC的位置关系是_： 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC 的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 试题第6页（共6页）2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C1[D] 5[AJ[B][C][D] 9[A][B[G][D] 2[A][BJ[C][D] 6 [A][B][c][D] 10[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][c][D] 8[AJ[B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共20分) 11 12 13. 14 15 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(7分) 19.(8分) A E G B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(9分) 人数 16 14 14 =。。= 2 08 计算 思维 6 4 --- 数字 艺 0 计算 数字课程 实 0 思维 实践 艺 (1)①此次调查一共抽取了 名学生： ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为度； 22.(10分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) V2 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A D D E O(P) B 图① 图② 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(7分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(8分) D G B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(9分) 个人数 16 14 12 = 计算 = 思推 科创 实践 计算科 数字课程 40% 思 实践 (1)①此次调查一共抽取了 名学生； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为度； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) C D A E B G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. (12分) y2\ B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. (12分) D D D E O(P) B 图① 图② 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将亿用科学记数法应表示为（   ） A． B． C． D． 3.如图所示的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 4.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5.如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点O叠放在一起，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，分别交于点，则的面积为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 8.《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 9.已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10.如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.函数中自变量的取值范围是____． 12.若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 13.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 14.已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地 _____． 15.如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为___________．    三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组： 18.（7分）先化简，再求值：，其中满足． 19．（8分）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 20．（8分）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 21.（9分）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 22.（10分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 23.（10分）小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式． (2)根据图象直接写出的解集． (3)把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值． 24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 25.（12分）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.-2026的相反数是() A.2026 B.-2026 1 C. 2026 D.-1 2026 2.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，将499.5 亿用科学记数法应表示为() A.4.995×1011 B.4.995×1010 C.0.4995×1011 D.4.995×109 3.如图所示的几何体，其俯视图是() B D 4.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 当些 家《 5.如图，将一副三角尺的两个锐角(45°角和60°角)的顶点0叠放在一起，若∠AOD+∠BOC=31°，则∠BOD 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的度数为() A.379 B.40° C.31° D.28° 6下列计算正确的是() A.ata=a B.(-d)）2=-d C.-4a3÷a4=-4a D.d.d-d 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D,再分 别以BD为圆心，大于二D长为半径画弧，两弧交于点MN,作直线MW,分别交AB、BC于点B、F, 2 则△BEF的面积为() A A.3 B.6 C.9 D.12 8.《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙 一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多）.设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一 次方程组为() x+9=2y-9 x-9=2(y-9) A. B. y+9=x-9 y+9=x-9 x+9=2(y-9) [x-9=2y C. D. y+9=x-9 y-9=x+9 9.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中-1<a<0,0<b<1.若a×b=c,数c在数轴上用点C表示， 则点A,B,C在数轴上的位置可能是() 2110 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A A.- B C -1 0 1 -1 0 C.-I B D.C B 0 0 10.如图，已知抛物线y=2+bx+c(kbc为常数，且a≠0)的对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的 一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2<m<3.有下列结论：①bc<0;②9a-3b+c>0: 1 }ym行：关于的一元次方程公+6-+c-2=0必有两个不相等实根：者点 A(y1,),B(2,y),C(x,)在抛物线y=2+bx+c上，且n<x<n+1<x3<n+2<x3<n+3,当 马<y<为时，则”的取值范围为多<<0.其中正确的有(】 4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11函数y=2x-3中自变量x的取值范围是 x-1 12若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 13.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在AB上，AD=O.6m,D、E、F三点共线， DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH= m 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F DE 60 B G HC 图(1) 图(2) 14.已知A,B两地相距60km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达， 乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程y 与甲行驶时间x的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地k. y(km) 60 50 401 30 10 之3h) 15.如图，Rt△BEF的顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE.若∠EBF=∠ACD,AB=2,BC=4, 则AE的最小值为 D 三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分)计算： （4-5+2cos45+5-2斗 5.x-1>3(x+1)① 17.(7分)解不等式组： 2x-1_￥≤1② 、32 4/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(7分)先化简，再求值： 2-m (21) 2+2+1(+1 其中m满足m(m+4)=-4. 19.(8分)如图，在口ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE,且BE⊥AC,垂足为E,延长BC 至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. (I)求证：ABCD是菱形： (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分)2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众 的喜爱.某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服 装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求 甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 6/10 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(9分)为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时 代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制，每位学生只能参 加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果， 绘制了如下所示的两幅不完整的统计图 个人数 16 16-- 14 12 10 计算 思维 6 数字 2 科创 艺术 0 实践 计算 科创 数字课程 40% 思维 实践 艺术 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了 名学生： ②请将条形统计图补充完整： ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为度： (②)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数， 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙O,分别交AC,AB于点D,E,连接DO并 延长，交⊙O于点F,过点F作OO的切线，交CB的延长线于点G. (I)求证：DF∥AB; ②若cos∠R0G=2,BG=2,求4C的长. 3 23.(10分)小军将两个含有30°角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的 顶点A恰好在反比例函数y-x>0)的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且8点的坐标为8). B (1)求反比例函数的表达式和线段OA所在直线的表达式y=x+n(≠O). (2)根据图象直接写出mx+n<上的解集。 (3)把△OAC沿x轴向右平移a个单位长度，对应得到△OA'C',当反比例函数的图象经过△OA'C'一边的中点 时，求a的值. 8/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2412分)如图，在平面直角坐标系0y中，二次西数为=x-+1的图象与x轴的正半轴相交于点4， 二次函数与=2+c的图象经过点A,且与二次函数y的图象的另一个交点为8，点B的横坐标为-弓 7 V (1)求点A的坐标及a,c的值 ②直线x=m与二次函数：乃的图象分别相交于点CD,与直线AB相交于点B,当3m<3时， 7 ①求证：DE=2CE; ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值. 6)二次函数=x-+13 7 次函数=心+c(x23)组成新函数，当-号 画数的最小值为)子最大位为号(，求的取做范国。 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点 E与点B不重合)· E O(P) 图① 图② 备用图 【问题解决】 (I)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=_度，线段BP与线段AC的位置关系是_： 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC 的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 10/10