精品解析：内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三下学期5月诊断考试数学试题

2025-2026学年第二学期5月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“，使”的否定形式为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 2. 已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 有最小值1，无最大值 B. 有最大值1，无最小值 C. 有最小值0，无最大值 D. 有最大值0，无最小值 7. 在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 8. 已知椭圆，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点记为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 10. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若角的终边与单位圆相交于点，则______. 13. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 14. 数列满足，，则______．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 若角满足 （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． （1）求椭圆C和圆M的标准方程； （2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期5月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“，使”的否定形式为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以：，使的否定是：，使． 故选：D． 2. 已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由函数是奇函数，可求得，可得结论. 【详解】若函数是奇函数， 则恒成立，即， 而，得． 故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，然后由可得列方程可求得. 【详解】∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. 即，则. 故选：B 4. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算即可求出答案. 【详解】已知，则. 故选：C. 5. 如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】因为三棱锥中，，，，且点N为BC中点，点M满足， 所以 故选：B 6. 已知函数，则（ ） A. 有最小值1，无最大值 B. 有最大值1，无最小值 C. 有最小值0，无最大值 D. 有最大值0，无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数得到其单调性和最值即可. 【详解】因为，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为，无最大值. 故选：C. 7. 在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排乙、丙、丁三名同学，再用插空法排甲最后可计算所有排法. 【详解】先排乙、丙、丁三名同学共有种排法； 再从三人所产生的四个空中选两个空给甲，有种方法； 所以共有种安排方法. 故选：B 8. 已知椭圆，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点记为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，与椭圆方程联立解出点坐标，代入渐近线方程结合离心率公式即可得解. 【详解】设，由可得， 因为在椭圆上， 联立，两式相减得，解得， 所以， 双曲线经过第一象限的渐近线方程为， 将代入得，解得， 所以双曲线的离心率， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 10. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质得，再根据不等式的性质和指数函数的单调性即可判断各选项. 【详解】由得， 对于A，当时，显然不成立，故A错误； 对于B，指数函数则上是减函数，由得，故B正确； 对于C，因为，所以，， 所以，， 由得，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若角的终边与单位圆相交于点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义可得结果. 【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，所以. 故答案为：. 13. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 14. 数列满足，，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出的值，然后通过分析与的关系，判断数列的类型，进而求出其通项公式. 【详解】因为，为奇数， 根据，可得， 所以（因为为奇数）， 又因为（因为为偶数），所以， 所以，则，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式： 所以：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式； （2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以 16. 若角满足 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助两弦之积，先求，再开方即可； （2）先求两弦值，代入目标式即可. 【小问1详解】 因为角满足， 则， 所以，又因为，则且， 所以， 由且，有，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，则， 则. 17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． （1）求椭圆C和圆M的标准方程； （2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】（1）椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. 【小问2详解】 设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $