小升初应用题专项训练：立体图形（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

**基本信息** 聚焦立体图形体积与表面积综合应用，通过生活情境题构建从基础计算到拓展探究的知识逻辑链，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|1-3题|排水法求体积、比例尺应用、圆柱侧面积|从规则体体积公式推导到不规则体转化| |综合应用|4-8题|计时工具、组合图形、最值问题|结合生活场景深化体积公式灵活应用| |拓展探究|9-18题|旋转体、圆柱容球、分段注水|通过跨学科情境发展空间想象与模型意识|

小升初应用专练：立体图形（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．一个底面积150平方厘米的玻璃缸里有一块石头，如图所示，水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？ 2．学校要修建一个长方体水池，在比例尺是1：200的设计图上，水池的长为12cm，宽为10cm，深为2cm．按图施工，这个水池的长宽高各应挖多少米？这个水池的占地面积是多少平方米？ 3．现有3 支圆柱形蜡烛，其底面直径为2cm，高为10 cm。 （1）如果要给这3支蜡烛的侧面都缠上包装纸(包装纸接口处不计)，需要用多少平方厘米的包装纸？ （2）如果将这3支蜡烛按如图所示的方式捆成一捆，用一张包装纸将这捆蜡烛的侧面紧贴着包起来(包装纸接口处不计)，需要用多少平方厘米的包装纸？ 4．中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 5．某种植基地搭建一个半圆形的塑料蔬菜棚（如图）。 （1）这个蔬菜棚的种植面积是多少平方米？ （2）搭建这个蔬菜棚需要半圆支撑杆和塑料膜。如果在这个蔬菜棚两侧和顶面铺上塑料膜，需要塑料膜多少平方米？（接头忽略不计） （3）搭建这个蔬菜棚张叔叔单独做需要2小时完成，李叔叔单独做需要3小时完成，张叔叔和李叔叔一起做需要多少小时完成？ 6．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据从一个容器漏到另一个容器的沙量来计量时间的。如图所示，如果再过1分，沙漏上部分中的沙子就可以全部漏到下部分，那么现在已经计量了多少分？ 7．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？ 8．如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ 9．一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图。已知它的容积为26.4π立方厘米。当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 10．如图①所示，把一个底面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱，将这个圆柱横切成如图②所示的两个圆柱，表面积增加了25.12平方分米，如果将它纵切成如图③所示的两个半圆柱，表面积增加了48平方分米。 （1）原来长方体木料的体积是多少立方分米？ （2）如图④所示，若将这个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方分米？ 11．一款正方体玩具零件的棱长是2cm，圆孔的直径为1cm，奇奇打算用硬纸板做20倍大的模型，需要准备多少平方分米的硬纸板？(接口处忽略不计) 12．沙漏是古人用的一种计时仪器。下面这个沙漏里(装满沙子)的沙子一点点漏入下面空的长方体木盒中，若沙子漏完了，在长方体木盒中将沙子平铺后，沙子的高度是多少厘米？ 13．在科技手工大赛中，淘气准备制作一个创意作品。他拿到了一块长、宽、高的比是4∶3∶2长方体木块，木块的长恰好是24厘米。现在淘气打算把它削成一个高度相同的圆柱体，削好的圆柱体体积是多少立方厘米？ 14．如图，将直角梯形ABCD 以高AB 所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，这个圆台的体积是多少立方厘米？(可以利用圆锥体积来计算) 15．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“猝火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一长为6.28分米，宽为5分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米？ (损耗忽略不计) 16．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 17．同学们根据“圆柱容球”设计了如下图所示的三个模型，请你思考并想象。 圆柱容球是古希腊数学家阿基米德的伟大发现之一。当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。此时，球的体积是圆柱体积的三分之二。 （1）小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个　 　体，它的体积是　 　cm3。 （2）小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个　 　体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是　 　cm3。 （3）小萱将图3的模型绕轴快速旋转一周，能形成一个形状如圆柱挖去一个等底、等高圆锥的几何体。她认为这个几何体的体积和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同，你同意她的看法吗？请说明理由。 18．下面图甲中的容器由三个大小不同的圆柱A、B、C组装成，从容器的上方以均匀的速度向容器内注水，水面高度和注水时间的关系如图乙所示： （1）观察上面的图并结合生活实际，你能找出几组成正比例关系的量？至少写出一组。 （2）观察上面的图解决问题：已知容器C部分的底面半径3分米，高5分米，容器B部分的底面直径8分米，求容器B部分的高是多少分米？并求乙图中水面高度x的值。 答案解析部分 1．【答案】解：150×(18-15) =150×3 =450(立方厘米) 答：这块石头体积是450立方厘米。 2．【答案】解：12×200÷100 =2400÷100 =24（米） 10×200÷100 =2000÷100 =20（米） 2×200÷100 =400÷100 =4（米） 24×20=480（平方米） 答：这个水池的长、宽、高各应挖24米、20米、4米，这个水池的占地面积是480平方米。 3．【答案】（1）解：3.14×2×10×3 =62.8×3 =188.4(cm2) 答：需要用188.4平方厘米的包装纸。 （2）解：(2×3+3.14×2)×10 =12.28×10 =122.8(cm2) 答：需要用122.8平方厘米的包装纸。 4．【答案】解：根据题意，可得6－2＝4（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3×102×4 ＝3×100×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 1200立方厘米＝1200毫升 80÷20＝4（毫升） 1200÷4＝300（分钟） 1小时＝60分钟 300÷60＝5（小时） 10时＋5小时＝15时 答：此时大约是15时。 5．【答案】（1）解：10×4＝40（平方米） 答：这个蔬菜棚的种植面积是40平方米。 （2）解：[3.14×4×10＋3.14×（4÷2）2×2]÷2 ＝[3.14×4×10＋3.14×4×2]÷2 ＝[125.6＋25.12]÷2 ＝150.72÷2 ＝75.36（平方米） 答：需要塑料薄膜75.36平方米。 （3）解：1÷2＝ 1÷3＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝1.2（小时） 答：张叔叔和李叔叔一起做需要1.2小时完成。 6．【答案】解：2÷2=1（cm） 3.14×12×3× =3.14×3× =3.14（cm3） 8÷2=4（cm） 4÷2=2（cm） 12－6=6（cm） 3.14×42×12×－3.14×22×6× =200.96－25.12 =175.84（cm3） 175.84÷3.14×1 =56×1 =56（分） 答：现在已经计量了56分。 7．【答案】解：因为1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好，有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近； 它们的和为：6+9+37=52（厘米）。 答：它的长、宽、高的和的最小可能值是52厘米。 8．【答案】解：设 ，AC=b ，那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为 ，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，由此可得到两条等式： ，两条等式相除得到 ，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到 ，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB的长度为5 ，那么斜边上的高为 2.4 。 如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为 2.4 ，高的和为5，所以体积是 。 9．【答案】解：26.4×3.14× =82.896× =62.172（立方厘米） 62.172立方厘米=0.062172升 答：瓶内酒精的体积是62.172立方厘米，合0.062172升。 10．【答案】（1）解：底面半径的平方：25.12÷2÷3.14=4 4=2×2，半径为2分米 底面直径：2×2=4(分米) 48÷2=24(平方分米) 圆柱的高：24÷4=6(分米) 长方体木料的体积： 4×4×6 =16×6 =96(立方分米) 答： 原来长方体木料的体积是96立方分米。 （2）解： =12.56×6× =75.36× =50.24(立方分米) 答：削去部分的体积是50.24立方分米。 11．【答案】解：2×20=40(厘米)=4(分米) 1×20=20(厘米)=2(分米) 4×4×6-3.14x(2÷2)2×2+3.14×2×4 =96-6.28+25.12 =89.72+25.12 =114.84(平方分米)。 答：需要准备114.84平方分米的硬纸板。 12．【答案】解：12÷2=6（厘米） 3.14×6×6×10÷3 =1130.4÷3 =376.8（立方厘米） 376.8÷30÷20 =12.56÷20 =0.628(厘米) 答：沙子的高是0.628厘米。 13．【答案】解：24÷4=6（厘米），宽：6×3=18（厘米），高：6×2=12（厘米）， 3.14×（18÷2）2×12 =3.14×81×12 =3.14×972 =3052.08（立方厘米） 答：削好的圆柱体体积是3052.08立方厘米。 14．【答案】解： =527.52（ 立方厘米 ） 答：这个圆台的体积是527.52立方厘米. 15．【答案】解：6.28分米=62.8厘米 5分米=50厘米 62.8×50×1.5 =3140×1.5 =4710（立方厘米） 4710×3÷（3.14×102） =14130÷314 =6.45（厘米） 答：这个圆锥的高是6.45厘米。 16．【答案】解：3.14×8×12 =25.12×12 =301.44（平方厘米） 3.14×（8÷2）2 =3.14×16 =50.24（平方厘米） 3.14×6×7 =18.84×7 =131.88（平方厘米） 301.44+50.24×2+131.88 =301.44+100.48+131.88 =401.92+131.88 =533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 17．【答案】（1）圆柱；169.56 （2）球；113.04 （3）解：我同意小萱的看法。因为图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积是113.04cm3，图3的模型绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积是3.14× 113.04，所以体积相同。 18．【答案】（1）答：每一个容器的注水体积与注水时间成正比例关系。 （2）解：V=3.14×32×5 =3.14×45 =141.3（立方分米） （55-15）×（141.3÷15）÷[3.14×（8÷2）2] =40×9.42÷50.24 =376.8÷50.24 =7.5（分米） x=7.5+5=12.5（分米） 答：容器B部分的高是7.5分米，乙图中水面高度x的值是12.5。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $