抓分练1 二次根式&抓分练2 勾股定理-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材 河北专版）

河北专版·ZBR 八年级数学.下册 基础知识抓分练1二次根式 (已根据最新教材编写) 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列二次根式，属于最简二次根式的是( 的 密 A.√9 B. 3 C.√20a D.7 2.下列运算正确的是( ) A.√2+3=√5 B.25-√5=2 C.√2×√3=√6 D.√6÷√3=2 当 3.√24n是整数，则正整数n的最小值是() A.4 B.5 C.6 D.7 思 4.如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12 救 帕 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )cm2. 餐 A.16-83 ⑧封 B.-12+83 郴 C.8-43 D.4-23 爵 5.已知等腰三角形的两边长为23和5√2，则此等腰三角形的周长 为( ) 奢 A.45+52 B.23+102 C.4√3+10W2 D.43+5√2或2√3+10W2 二、填空题（每小题3分，共12分） 剂 6.若二次根式√x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围 线 是 1 7.比较大小： （填“>”“<”或“=”）. 6-5 7-√6 8.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：√(a-b)2- √/(c-b)2= a06 9.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公 河北专版·八年级数学第1页 式为T=2mg ，其中T表示周期（单位s),1表示摆针的摆长 (单位：m),g=9.8m/s2.若一台座钟的摆针的摆长为0.49m,则 该座钟摆针摆动的周期为 S. 三、解答题（共28分） 10.(8分)计算： (1)12+√32-2√2； (2)(5+2)(5-2)-(23-1)2. 1.(9分)小明在解决问题：已知a=,1,求22-8a+1的值.他 2+√5 是这样分析与解的： 1 2-√3 .a= =2-3,.a-2=-3,.(a-2)2 2+√3(2+√3)(2-√3) =3,a2-4a+4=3,∴.a2-4a=-1,∴.2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2× (-1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 √n+1+√m (2)化简1+1+1 1 √2+1√3+22+√/3√2024+√/2023 (3)若a= ，请按照小明的方法求出a3-11a2+9a+1的值. √/26-5 河北专版·八年级数学第2页 12.(11分)【再读教材】：我们八年级下册数学课本第17页介绍了 “海伦-秦九韶公式”；如果一个三角形的三边长分别为a,b,c, 记=2，那么三角形的面积为S=p(p-@)(-6(0-. 【解决问题】：已知如图在△ABC中，AC=4,BC=5,AB=7. (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求△ABC的面积 (2)设AB边上的高为h1,AC边上的高为h2,BC边上的高为 h3,求h1+h2+h3的值. 河北专版·八年级数学第3页 回头练 河北专版·ZBR 八年级数学·下册 基础知识抓分练2勾股定理 (已根据最新教材编写) 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列几组数中，是勾股数的是( A.1,2,3 B.3,4,5 C.13,15,20 D.6,8,11 2.△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,下列条件中不 能说明△ABC是直角三角形的是( A.c2-b2=a2 B.a:b:c=5:12:13 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.∠C=∠A-∠B 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17,则正方形AEDC和 正方形BCGF的面积之和为() A.225 B.289 C.324 D.170 E D C B B 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB 长为半径画弧交网格线于点D,则ED的长为( A.√5 B.3 C.2 D.√13 5.如图，一木杆在离地面8m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底 端6m的B处，则木杆折断之前的长度为( A.10m B.14m C.18m D.22m 6.生活情境·荡秋千荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种 运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立 柱AB的高度。如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂 直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE 的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面 的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为( A.3米 B.4米 C.4.4米 D.5.4米 回头练 河北专版·八年级数学第1页 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.文化情境·数学文化如图，是我国古代的赵爽在注解《周髀算 经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角 三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形 ABCD的面积为34，直角三角形较短的直角边长AH为3，则中间 小正方形EFGH的面积为 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，直角△ABC中，AC=7,AB=25,则内部五个小直角三角形 的周长为 9.如图，点A是正方体的一个顶点，点B是正方体一条棱的中点， 已知正方体的棱长为2cm.一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从 A点爬到B点，需要爬行的最短距离为 cm. 三、解答题（共18分） 10.(9分)《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城 街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城 市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m的C处，过了2s后，测得B处小汽车与车速 检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换： 1m/s=3.6km/h) 小汽车 小汽车 B 观测，点 河北专版·八年级数学第2页 11.学习情境·过程性学习(9分)著名的赵爽弦图（如图1，其中四 个直角三角形较长的直角边长都为α，较短的直角边长都为b, 斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4 燕父吲 ×b+(口-6)，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形 洲部沙鳞残 两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2 (1)图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利 用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有 密 两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已 经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH L AB.测 得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少 千米？ 图1 图2 图3 封 西 河北专版·八年级数学第3页答案详解详龙 基础知识抓分练1 (2)设AB=AC=x千米，.AH=(x-0.6)千米，CH⊥AB 1.D2.C3.C4.B ∴.∠CHA=90°，在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA=CH 5.B【解析】小2×23<5√2，.只能是腰长为52，.等腰三 +Af,=0.82+(x-0.6)2,解得x= 角形的周长=2×5√2+23=102+25.故选B. 6,即C4=干米. 6.x≥27.< 8.c-a【解析】根据图示，可得a<b,c<b,a-b<0,c-b<0, 60.8= 0(千米)，答：新路CH比原路C4少 0千米. √（a-b)2-√(c-b)2=(b-a)-(b-c)=b-a-b+c=c-a. 基础知识抓分练3 9 1.D2.A 3.A【解析】设多边形有n条边，则n-2=7,解得n=9.故 5 选A. 10.解：(1)原式=23+42-22=23+22； 【解题技巧】经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形 (2)原式=(W5)2-22-(12-45+1)=5-4-13+43=43 分成(n-2)个三角形. -12. 4.A【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD,CD= 11.解：(1)n+1-√m AB,AD∥BC,.∠ADE=∠DEC.DE平分∠ADC,∠ADE (2)原式=√2-1+√3-2+2-√3++√2024-√2023=-1 =∠CDE,∴.∠CDE=∠DEC,∴.EC=CD..'BE=2,∴.BC-CD +w2024=-1+2√/506： =2,.□ABCD的周长是20，∴.BC+CD= 2×20=10CD= √/26+5 (3).a= 26-5a= 4.故选A. √26-5（√26-5）（√26+5） 5.B √26+5，∴.a-5=√26，即(a-5)2=26,a2-10a+25=26. 6.B【解析】P、N是AB和BD的中点，AD=BC,BC=8, a2-10a=1,a3=a+10a2,∴.原式=a+10a2-11a2+9a+1=-a PN=2AD=2X8=4,PN/AD,.∠NPB=∠DAB=50°，同 +10a+1=-(a-10a)+1=-1+1=0. 理，PM=4,∠MPA=∠CBA=70°，.PM=PN=4,∠MPN= 12.解：(1)三角形三边长分别为4,57，p=4+5+7=8,: 180°-50°-70°=60°，∴.△PMN是等边三角形..MN=PM= PN=4,.△PMN的周长是12.故选B. S△Bc=√8×(8-4)×(8-5)×(8-7)=4,6； 【方法点拨】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形 (2)S=24B·%=74C=28CA=462× 的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 根据中位线定理求得PM和PN的长，然后证明△PMN是等 7h=2X4h,=2×56,=46,解得h,=8 边三角形即可求解. 7,h2=2V6,h3= 7.四边形的不稳定性8.BE=DF(答案不唯一)9.120° 861666 10.12【解析】：四边形ABCD是平行四边形，且AB=4,BC= 5°h+h+h=8v6 -+26+ 5,∴.CD=AB=4,BC=AD=5,0A=OC,ADBC,.∠OAE= 7 5 35 ∠OCF,∠OEA=∠OFC,在△OAE和△OCF中， 基础知识抓分练2 (LOAE=LOCF 1.B ∠OEA=∠OFC,∴.△OAE≌△OCF(AAS),∴.OF=OE= 2.C【解析】C.∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么∠A=45°，∠B LOA=OC 60°，∠C=75°，△ABC不是直角三角形，符合题意.故选C. 3 3.B【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB2 ,AE=CF,EF=OE+0F=3,则四边形CDEF的周长= =AC2+BC2=172=289,.SE方形ABDc+SE方形BcGF=AC2+BC2= CD+DE+EF+CF=CD+EF+DE+AE=4+3+5=12. 289.故选B. 11.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD= 4.A5.C BC,.'BD=BD,∴.△ABD≌△CDB(SSS); 6.D【解析】设绳索AD的长度为x米，则AE=x米，AB=(x+ (2)解：如图所示，EF即为所求： 0.4)米，：CD=1.4-0.4=1(米)，.AC=(x-1)米，由题意 E 得：∠ACE=90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得CE2+AC2 AE2,即32+(x-1)2=x2,解得x=5,.5+0.4=5.4(米)，即立 柱AB的高度为5.4米.故选D. 7.4【解析】：由勾股定理得，AH+DH=AD2,即32+DH= (3)解：：EF垂直平分BD,∠DBE=25°，.EB=ED,· AD2=34,DH=25,DH=5(负值舍去)，中间小正方形 ∠DBE=∠BDE=25°，∴.∠AEB=∠DBE+∠BDE=25°+259 EFGH的面积为(5-3)2=4. =50°. 8.569.√13 12.【教材呈现】证明：·四边形ABCD是平行四边形，.AB= 10.解：在Rt△ABC中，AC=30m,AB=50m;根据勾股定理可 CD,AB∥CD,∴.∠BAO=∠DCO,LAB0=∠CD0,在△AB0 '∠BAO=∠DCO 得：BC=√AB-AC=40m,小汽车的速度为0= 220 和△CDO中，{AB=CD ,.△ABO≌△CDO(ASA), (∠ABO=∠CDO (m/s)=72(km/h)..72>70,∴.这辆小汽车超速行驶 ∴.OA=OC,OB=OD(证明方法不唯一)： 2(a+b)(a+b)=2a2+ab+2b,又 【性质应用】证明：四边形ABCD是平行四边形，.OB= 11.解：(1)S梯形ABCD= OD,AD∥BC,.∠ED0=∠FBO,∠DEO=∠BFO,在△DEO 1 1 1 (∠EDO=∠FBO S特形cD=Saus+SaBc+SAmc=2b+2b+ ..u 和△BFO中 ∠DEO=∠BFO,∴.△DEO≌△BFO(AAS), OD=OB 名r++,即4=， .∴.OE=OF. 2 (拓展提升】26 河北专版·八年 斤·易错剖析 基础知识抓分练4 (AAS),∴.AF=CD,∴.AF=BD,.AFBD,.四边形AFBD 1.B 为平行四边形； 2.C【解析】.·CEBD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四边 (2)解：①菱②∠BAC=90°，AB=AC 形，四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4,OA=OC,OB= 基础知识抓分练5 0D,0D=0C=24C=2,四边形C0DE是菱形，4×2= 1.C 2.D【解析】随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量 8.故远C 是食盐量.故选D. 3.D4.B 1 3.C 5.B【解析】小：四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于 4.C5.x≤16y=-2+24 ,点0，BD=24cm,AB=15cm,∴.AC⊥BD,OA=OC,0B=OD= 7.12【解析】由图象分析可得当，点M在AB上运动时，AM不 2BD=12cm,在Rt△A0B中，由勾股定理得：0C=OM= 断增大，到达B点时，AM达到最大值，此时AM=AB=AC=5; 当M在BC上运动时，AM先减小再增大，作AH⊥BC于H, √AB2-0B=√/152-122=9(cm),AH⊥BC,0A=0C,∴ 当M,H重合时，AM最小，此时AB+BH=8,所以BH=3,AH= 0H=)AC=0A=9cm.故选B. 4,所以BC=2BH=6,所以S△ABc=7×6×4=12. 8.解：(1)反映了速度和时间之间的关系； 6.B (2)点A表示6分钟时的速度为60千米/时，点B表示18分 7.A【解析】连接CM,∠ACB=90°，AC=3,BC=4,.AB= 钟时的速度为0千米/时； WAC2+BC2=√32+4=5，.ME⊥AC,MF⊥BC,∠ACB= (3)0到6分钟速度随时间的增大而增大，6到12分钟速度 90°，.四边形CEMF是矩形，.EF=CM,:点P是EF的中 不变，12到18分钟速度随时间的增大而减小： 点，CP=2EF,当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小， (4)小明的爸爸驾车上班，前6分钟在加速行驶，加速到60 千米/时后，匀速行驶了6分钟，12到18分钟减速行驶至停 1 止.（答案不唯一） 则CP最小，：Sr=7AB·CM=号AC·BC,CM= 9.解：(1)下降海拔高度h (2)描点，连线，如图所示： AC·BC3×4 AB 5 2.4,CP=7EF=。CM=1.2,故选A 8.∠AEC=90°（答案不唯一）9.√/13 10.60 【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.OA=OD,∠BAD= 345 /千米 90°，连接0P,过A作AGLBD于G,则SAM=)0D·AC 2A0·PF+ 1 (3)由表格可知，海拔每上升1km,气温下降6℃，.t=20 SAAOP+S△POD= +D0·PE=)·D0x(PE+ 2 -6h. PF),SAAOD=SAOP+SAPOD,PE+PF=AG,AD=12,AB=5, (4)4千米 ÷BD=V12+5=13,AG=12x5_60 1313PE+PF-00 10.解：(1)时间路程(2)500乙(3)150 3 (4)甲队的速度为：500÷4=125（米/分钟），0.5分钟后乙队 的速度为：(500-50)÷(3.5-0.5)=150（米/分钟），设出发 11.3√13【解析】设FG=x,:四边形ABCD是正方形，.AB x小时后，两队相遇，则125x=50+150(x-0.5),解得x=1,1 =AD,∠BAD=90°，DG⊥AE,BF⊥AE,.∠AFB=∠DGA ×125=125(米)，故乙队出发后到达终点前，两队到终点距 =90°，.∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∴ 离相等时，甲队行驶的路程为125米. I∠AFB=∠DGA 基础知识抓分练6 ∠BAF=∠ADG,在△AFB和△DGA中 ∠BAF=∠ADG, 1.D2.C AB=DA △AFB≌△DGA(AAS),.DG=AF=3+x,由勾股定理得： 3.C【解析】A.当x=-1时，y=1+1=2;BD.k=-1<0,b=1> 0,∴y随着x增大而减小，函数y=-x+1的图象经过第一、 AD2=AG+DG,AB2=AE2-BE2,∴.32+(3+x)2=(3+x+1)2 二、四象限.故选C. (32+12),∴.x=6,DF=WDG+FG2=9+62=3√13. 【方法点拨】(1)由k,b的符号可以确定直线y=hx+b所经过 12.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AB∥DC且AB 的象限；反之，由直线y=x+b所经过的象限也可以确定k,b =DC,.∠ABE=∠DCF,在△ABE和△DCF中 的符号.(2)k决定一次函数y=kx+b的增减性，b决定函数 AB=DC 图象与y轴的交点位置 ∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌△DCF(SAS),∴.AE=DF 4.B5.D BE=CF 6.A【解析】作点D关于x轴的对称，点D',连接CD'交x轴于 ∠AEB=∠DFC,∴.AEDF,∴.四边形ADFE是平行四边形， 又：AE⊥BC,∠AEF=90°，.四边形ADFE是矩形； 点P,此时PC+PD值最小，最小值为CD'.令y=x+4中x=0, 则y=4,∴.点B的坐标为(0,4)；令y=x+4中y=0,则x+4= (2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，∴.EF=AD=4,EC =3,∴.BE=CF=1,.BF=5,Rt△ABE中，∠BAE=30°，. 0,解得x=-4,点A的坐标为(-4,0).点C,D分别为线 段AB,0B的中点，点C(-2,2),点D(0,2)点D'和点 AB=2BE=2,∴.DF=AE=√AB2-BE2=√3，.BD= D关于x轴对称，∴.点D'的坐标为(0，-2).设直线CD'的表 √BF2+DF2=√52+（√3）2=2√7，.·四边形ABCD是平行四 达式为y=kx+b.直线CD'过点C(-2,2),D'(0,-2),. 边形，OB=0D,.0F=BD=√7. {62h22,解得伦-子直线CD的表达式为y=-2x-2 b=-2 令y=0,则0=-2x-2,解得x=-1,.点P的坐标为(-1,0) 13.(1)证明：.：E为AD的中点，D为BC中点，..AE=DE,BD 故选A. =CD,.·AF∥BC,∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,在 7.-28.y=x-2(答案不唯一)9.< I∠AFE=∠DCE 10.-1【解析】根据题意得平移后的函数表达式为y=3x+b+ △AFE和△DCE中， {∠FAE=∠CDE,∴.△AFE≌△DCE 2.平移后过点(0,1)，.0+b+2=1,解得b=-1. AE=DE 级数学第1页