第六章 变量之间的关系（必备知识+3大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级下册

第六章 变量之间的关系 知识清单01 基本概念（三变量一常量） 1.变量：在变化过程中，数值发生变化的量。 2.常量：在变化过程中，数值始终不变的量。 3.自变量：主动发生变化的量（先变）。 4.因变量：随自变量变化而变化的量（后变）。 知识清单02 三种表示方法 1.表格法：一目了然，可直接查对应值，但数据有限。 2.关系式法：能准确反映数量规律，可求任意值，但不直观。 -写法：将因变量单独写在等号左边（如y=3x）。 3.图象法：直观显示变化趋势（增减、快慢），但读数有误差。 -识图：横轴是自变量，纵轴是因变量。 -趋势：线上升→因变量增大；线下降→因变量减小；线水平→不变。 易错点1 用表格表示的变量间关系 易错总结 1. 变量识别错误：混淆自变量与因变量（如误将时间当因变量，路程当自变量）。 2. 数据变化规律误判：未观察整体趋势，仅凭个别数据推断关系（如误以为增减恒定）。 3. 对应值取错：查找表格时，行或列对应错误，导致因变量值不准。 4. 隐含范围忽略：未注意自变量取值范围所对应的因变量状态（如未定义点）。 注意事项： - 明确谁随谁变：“自变量变化→因变量变化”。 - 整体分析：计算变化量或比值，判断是线性、周期或其他趋势。 - 精准对应：用尺子辅助对齐行列，避免看串行。 - 留意备注：检查表格下方注释中的特殊说明或限定条件。 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一辆汽车在公路上匀速行驶，其所走的路程和所用的时间可用如表表示： 时间/（分钟） … 路程/（千米） … (1)求汽车行驶的速度； (2)当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是多少千米？ (3)请简略描述随着时间逐渐变大，路程的变化趋势是什么？ 【答案】(1)千米/分钟； (2)56； (3)随着时间均匀变大，路程均匀增加． 【分析】（1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据路程速度时间计算即可； （3）根据随的变化情况描述即可． 本题考查函数的表示方法，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键 【详解】（1）解：汽车行驶的速度为千米分钟． （2）千米． 答：当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是千米． （3）随着时间均匀变大，路程均匀增加． 【变式】（24-25七年级下·山东威海·期末）小涵爸爸为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为________； (2)行驶________时，余油量为；行驶时，油箱中的剩余油量为________； (3)请你帮助小涵爸爸分析一下油箱剩余油量是怎样随着行驶路程的变化而变化的． 【答案】(1)50 (2)100，38 (3)油箱剩余油量是随着行驶路程每增加减少变化的． 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格解答即可； （2）根据表格直接解答空1，根据每千米的耗油量解答空2； （3）根据开始油箱中的油为，每行驶，油量减少解答即可． 【详解】（1）由表格可知，开始油箱中的油为， 故答案为：50； （2）由表格可知，行驶时，余油量为； 由表格可知，每行驶，油量减少 所以行驶时，油箱中的剩余油量为． 故答案为：100，38； （3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少． 即油箱剩余油量是随着行驶路程每增加减少变化的． 易错点2 用关系式表示变量之间的关系 易错总结 1. 关系式列错：未准确找出等量关系，误将自变量与因变量位置颠倒。 2. 取值范围忽略：写出关系式后，未注明自变量的实际约束（如边长>0、时间为非负整数）。 3. 代数变形错误：在化简或求值过程中，移项、去分母时符号或系数出错。 4. 多变量混淆：问题含多个变量时，未分清主次，关系式杂乱。 注意事项： - 找等量：根据题意列出等式，明确哪个量用其他量表示。 - 定定义域：结合实际背景写出自变量取值范围，常用不等式。 - 逐步推导：按运算顺序一步步化简，避免跳步。 - 检验特值：代入一组已知对应值验证关系式是否正确。 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·期中）天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． (1)小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 (2)当时，写出y与x之间的关系式； (3)若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 【答案】(1)90； (2) (3)她家这个月的用气量为36立方米 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出26立方米的费用和超过26立方米的费用，二者求和即可得到答案； （2）当用气量在第二档时，总费用等于第一档的最高费用与超出26立方米部分的费用之和，据此列出y与x的关系式并化简即可； （3）根据题意可推出该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴小丽家该月应交管道天然气费90元； （2）解：由题意得， ； （3）解：当时，， ， ∴该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米， 则，解得， 答：她家这个月的用气量为36立方米． 【变式】（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，变量是_________，常量是_________． (2)请直接写出梯形的面积（厘米2）与高（厘米）之间的关系式． (3)当梯形的高由8厘米变化到2厘米时，梯形的面积变化情况． 【答案】(1)变量是梯形的高和面积；常量是梯形的上底和下底 (2) (3)梯形的面积由72平方厘米减小到18平方厘米，减少了54平方厘米 【分析】本题考查了常量和变量，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据常量和变量的定义并结合题意即可得解； （2）根据梯形面积公式 (上底下底) 高即可得解； （3）分别计算出当和时的值，由此即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：变量是梯形的高和面积；常量是梯形的上底和下底； （2）解：梯形面积公式 (上底下底) 高， 代入上底，下底，得； （3）解：当时，（平方厘米） 当时，（平方厘米） 面积变化：（平方厘米） 答：梯形的面积由72平方厘米减小到18平方厘米，减少了54平方厘米． 易错点3 用图象表示变量之间的关系 易错总结 1. 坐标轴混淆：将横轴（自变量）与纵轴（因变量）含义颠倒，如误将时间当纵轴。 2. 趋势误读：陡峭程度与变化快慢关系判断错（越陡越快），或水平线误以为无变化。 3. 起点终点忽略：未关注图象起点、终点对应的实际意义，导致信息误判。 4. 分段理解出错：折线图中每段含义不清，拐点处变化类型判断错。 注意事项： - 明确轴含义：先看横轴、纵轴分别表示什么量及单位。 - 观察整体形状：上升/下降/水平分别表示增加/减少/不变。 - 关注关键点：起点、终点、拐点、交点对应的实际意义。 - 分段描述：将图象按趋势分段，逐段解释变量关系。 【例3】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (4)图中a表示的数是______；b表示的数是______； (5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h (2)5 (3)25 (4)2，15 (5)第14分钟时无人机的飞行高度是25米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程速度时间进行计算． （1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案； （2）根据图象直接计算即可得到答案； （3）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （4）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案； （5）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， ∵无人机高度随时间变化而变化， ∴自变量是操控无人机的时间（或t），因变量是无人机的飞行高度（或h）， 故答案为：操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h； （2）解：由图象可得， 分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟， 故答案为：5； （3）解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； （4）解：由（3）可得， ，， 解得：，， 故答案为：2，； （5）解：由（3）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 【变式】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点出发，小林先骑，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：    (1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ． (2)爸爸骑行 与小林相遇． (3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1？ 【答案】(1)18；. (2)小时 (3)小林的爸爸骑行小时或小时两人相距1． 【分析】（1）由图象可得：小林先走了3千米，然后利用速度等于路程除以时间可求出小林的骑行速度，爸爸减速前的速度，即可求解； （2）小林的爸爸骑行与小林相遇时两人离开出发点路程相等列方程即可求解； （3）分减速前、减速后两种情况讨论，根据路程差为分别列出方程，即可求解． 本题考查了函数的关系式运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题． 【详解】（1）解：由图象可得：小林先走了3千米， 小林的骑行速度是千米/小时， 爸爸减速前的速度是千米/小时， （2）根据题意，小林的爸爸骑行与小林相遇， ∴，解得， 所以，小林的爸爸骑行小时与小林相遇； （3）根据题意，分为两种情况： 小林的爸爸减速前： ， 解得： 或 ； 小林的爸爸减速后：减速后的速度是千米/小时； ∴爸爸减速后离出发点的距离（千米）与时间（小时）之间的关系式为 ， ∴ ， 解得： 或 ， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴在两人到达目的地之前，小林的爸爸骑行小时或小时两人相距1． 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量=原有水量-放出水量，推导与的函数关系式即可． 【详解】解：∵水池原有水量为500立方米，每小时放水2立方米， ∴t小时一共放出水量立方米， 剩余水量等于原有水量减去放出水量， 可得． 3．（24-25六年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（    ）准确地描述了这个过程． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化，容易看出数量的增减变化情况分析求解即可．本题考查了折线统计图的应用问题，熟练掌握折线统计图的特征是解题的关键． 【详解】解：根据六年级学生在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地； 准确地描述了这个过程． 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键． 【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【答案】 和 3和1 【分析】此题主要考查了常量与变量，规律型：数字变化类，正确得出棋子个数变化规律是解题关键． 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加 （或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：第一个图需棋子 ； 第二个图需棋子； 第三个图需棋子； 第个图需棋子枚． 其中变量是，常量是 1 和3． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是_________L． 【答案】10 【分析】本题考查用图象表示两个变量的关系，根据图象 【详解】解：根据图象，得汽车每行驶，油箱中的剩余油量减少， ∴当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是， 故答案为：10． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 三、解答题 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 【答案】(1)、、 (2)3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低 (3)时间和温度 【分析】本题考查了变量与常量、用图象表示变量之间的关系，解题的关键是： （1）根据图象即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）根据图象即可解答． 【详解】（1）解： 7时、10时、14时的气温是、、； （2）解：3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低； （3）解：变量是时间和温度． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量有如下的对应测量值． 所挂物体的质量/ 1 2 3 4 5 6 7 弹簧伸长的长度/ 0.5 1 1.45 2.2 2.6 3 3.4 (1)用趋势图描述所挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系； (2)在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量之间有什么关系？ (3)估计一下，挂的物体时，弹簧大约伸长多少厘米． 【答案】(1)见解析 (2)弹簧伸长的长度大致呈现逐渐上升的趋势 (3)挂的物体时，弹簧大约伸长． 【分析】本题考查用图象表示的变量之间的关系，解题的关键是画出函数的图象． （1）描点，连线，画出图象即可； （2）（3）根据函数图象回答即可． 【详解】（1）解：描点，连线，画出函数的图象如下， ； （2）解：由函数图象知，弹簧伸长的长度大致呈现逐渐上升的趋势； （3）解：由函数图象知，挂的物体时，弹簧大约伸长． 11．（24-25七年级下·全国·暑假作业）下表是学校气象兴趣小组记录某天一昼夜温度变化的数据． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/ 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)早晨8时和中午12时的气温各是多少？ (3)根据表格中的数据，说说一昼夜中什么时候气温最低？什么时候气温最高？温差是多少？ (4)你能粗略说一说一昼夜内气温随时间变化的大概情况吗？ 【答案】(1)上表反映了时间和温度两个变量之间的关系；时间是自变量，温度是因变量 (2)早晨8时的气温是，中午12时气温是 (3)早晨4时气温最低；午后14时气温最高；温差为 (4)0时到4时气温逐渐下降到，4时至14时气温逐渐升高到，然后14时至24时气温又逐渐下降到 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中数据即可求解； （3）根据表格中数据即可求解； （4）根据表格中数据即可求解． 【详解】（1）解：上表反映了时间和温度两个变量之间的关系； 时间是自变量，温度是因变量； （2）解：根据表格可得，早晨8时的气温是，中午12时气温是； （3）解：根据表格可知，早晨4时气温最低；午后14时气温最高； 温差为； （4）解：0时到4时气温逐渐下降到，4时至14时气温逐渐升高到，然后14时至24时气温又逐渐下降到． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）陕西美食风味独特，某工厂用现代生产工艺制作“榆林豆腐”和“榆林米线”，涉及原料与出品率（）如下表： 类别 原料 出品率 榆林豆腐 黑豆、水、酸浆等 榆林米线 大米，水等 工厂由于产能限制，榆林豆腐的原料和榆林米线的原料每天一共可加工 800 千克，设每天加工榆林豆腐的原料x千克，榆林豆腐和榆林米线的总成品量为y千克． (1)若，则榆林米线的成品量是多少千克？ (2)求出y与x之间的关系式（不需要写出自变量的取值范围）． (3)根据（2）中的关系式，试说明总成品量y与榆林豆腐的原料x之间的变化情况． 【答案】(1)320千克 (2) (3)y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查了求关系式． （1）求出榆林米线的原料量，根据出品率计算即可； （2）求出榆林豆腐的成品量和榆林米线的成品量，相加即可； （3）根据（2）作答即可． 【详解】（1）解：当时，榆林米线的原料量为（千克）， 出品率为，故榆林米线的成品量为（千克）， 答：榆林米线的成品量是320千克； （2）解：榆林豆腐的成品量为（千克）， 榆林米线的成品量为千克， 总成品量， 故y与x的关系式为； （3）解：由可知，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 变量之间的关系 知识清单01 基本概念（三变量一常量） 1.变量：在变化过程中，数值发生变化的量。 2.常量：在变化过程中，数值始终不变的量。 3.自变量：主动发生变化的量（先变）。 4.因变量：随自变量变化而变化的量（后变）。 知识清单02 三种表示方法 1.表格法：一目了然，可直接查对应值，但数据有限。 2.关系式法：能准确反映数量规律，可求任意值，但不直观。 -写法：将因变量单独写在等号左边（如y=3x）。 3.图象法：直观显示变化趋势（增减、快慢），但读数有误差。 -识图：横轴是自变量，纵轴是因变量。 -趋势：线上升→因变量增大；线下降→因变量减小；线水平→不变。 易错点1 用表格表示的变量间关系 易错总结 1. 变量识别错误：混淆自变量与因变量（如误将时间当因变量，路程当自变量）。 2. 数据变化规律误判：未观察整体趋势，仅凭个别数据推断关系（如误以为增减恒定）。 3. 对应值取错：查找表格时，行或列对应错误，导致因变量值不准。 4. 隐含范围忽略：未注意自变量取值范围所对应的因变量状态（如未定义点）。 注意事项： - 明确谁随谁变：“自变量变化→因变量变化”。 - 整体分析：计算变化量或比值，判断是线性、周期或其他趋势。 - 精准对应：用尺子辅助对齐行列，避免看串行。 - 留意备注：检查表格下方注释中的特殊说明或限定条件。 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一辆汽车在公路上匀速行驶，其所走的路程和所用的时间可用如表表示： 时间/（分钟） … 路程/（千米） … (1)求汽车行驶的速度； (2)当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是多少千米？ (3)请简略描述随着时间逐渐变大，路程的变化趋势是什么？ 【变式】（24-25七年级下·山东威海·期末）小涵爸爸为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为________； (2)行驶________时，余油量为；行驶时，油箱中的剩余油量为________； (3)请你帮助小涵爸爸分析一下油箱剩余油量是怎样随着行驶路程的变化而变化的． 易错点2 用关系式表示变量之间的关系 易错总结 1. 关系式列错：未准确找出等量关系，误将自变量与因变量位置颠倒。 2. 取值范围忽略：写出关系式后，未注明自变量的实际约束（如边长>0、时间为非负整数）。 3. 代数变形错误：在化简或求值过程中，移项、去分母时符号或系数出错。 4. 多变量混淆：问题含多个变量时，未分清主次，关系式杂乱。 注意事项： - 找等量：根据题意列出等式，明确哪个量用其他量表示。 - 定定义域：结合实际背景写出自变量取值范围，常用不等式。 - 逐步推导：按运算顺序一步步化简，避免跳步。 - 检验特值：代入一组已知对应值验证关系式是否正确。 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·期中）天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． (1)小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 (2)当时，写出y与x之间的关系式； (3)若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 【变式】（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，变量是_________，常量是_________． (2)请直接写出梯形的面积（厘米2）与高（厘米）之间的关系式． (3)当梯形的高由8厘米变化到2厘米时，梯形的面积变化情况． 易错点3 用图象表示变量之间的关系 易错总结 1. 坐标轴混淆：将横轴（自变量）与纵轴（因变量）含义颠倒，如误将时间当纵轴。 2. 趋势误读：陡峭程度与变化快慢关系判断错（越陡越快），或水平线误以为无变化。 3. 起点终点忽略：未关注图象起点、终点对应的实际意义，导致信息误判。 4. 分段理解出错：折线图中每段含义不清，拐点处变化类型判断错。 注意事项： - 明确轴含义：先看横轴、纵轴分别表示什么量及单位。 - 观察整体形状：上升/下降/水平分别表示增加/减少/不变。 - 关注关键点：起点、终点、拐点、交点对应的实际意义。 - 分段描述：将图象按趋势分段，逐段解释变量关系。 【例3】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (4)图中a表示的数是______；b表示的数是______； (5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【变式】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点出发，小林先骑，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：    (1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ． (2)爸爸骑行 与小林相遇． (3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1？ 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（    ）准确地描述了这个过程． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 6．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是_________L． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 三、解答题 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量有如下的对应测量值． 所挂物体的质量/ 1 2 3 4 5 6 7 弹簧伸长的长度/ 0.5 1 1.45 2.2 2.6 3 3.4 (1)用趋势图描述所挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系； (2)在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量之间有什么关系？ (3)估计一下，挂的物体时，弹簧大约伸长多少厘米． 11．（24-25七年级下·全国·暑假作业）下表是学校气象兴趣小组记录某天一昼夜温度变化的数据． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/ 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)早晨8时和中午12时的气温各是多少？ (3)根据表格中的数据，说说一昼夜中什么时候气温最低？什么时候气温最高？温差是多少？ (4)你能粗略说一说一昼夜内气温随时间变化的大概情况吗？ 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）陕西美食风味独特，某工厂用现代生产工艺制作“榆林豆腐”和“榆林米线”，涉及原料与出品率（）如下表： 类别 原料 出品率 榆林豆腐 黑豆、水、酸浆等 榆林米线 大米，水等 工厂由于产能限制，榆林豆腐的原料和榆林米线的原料每天一共可加工 800 千克，设每天加工榆林豆腐的原料x千克，榆林豆腐和榆林米线的总成品量为y千克． (1)若，则榆林米线的成品量是多少千克？ (2)求出y与x之间的关系式（不需要写出自变量的取值范围）． (3)根据（2）中的关系式，试说明总成品量y与榆林豆腐的原料x之间的变化情况． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $