第六章 变量之间的关系综合与实践：设计自己的运算程序 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系 综合与实践：设计自己的运算程序 【素养目标】 1．经历实验、观察、猜想、验证等数学活动过程，发展归纳、抽象与概括能力； 2．在制定运算程序及对程序的验证过程中，综合运用所学的运算知识，形成对数学运算整体性的认识，领会研究问题的策略和方法； 3．经历小组合作与交流的活动，进一步积累合作与交流的活动经验，增强合作意识，发展合作能力． 重点：总结归纳程序中蕴含的规律，设计具有创意的运算程序． 难点：能够综合运用各种运算设计自己的运算程序. 【复习导入】 2024年春晚，魔术师表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合．小亮同学运用数学知识也设计了个魔术节目，同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 小亮立刻说出同学想的那个数．想不想知道魔术师的秘密？ 【合作探究】 探究：设计自己的运算程序 活动1：任意写下一个四位数(四位数字不相同)，重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程……你得到了什么结果？你有怎样的猜想？ 活动2：任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……教师以生活场景提问导入：同学们，我们在生活中经常会遇到这样的情况——随着时间的推移，气温会发生变化；随着浇水次数的增加，植物会慢慢长高；随着行驶时间的延长，汽车行驶的路程会不断增加。这些变化的量之间，存在着怎样的联系呢？ 邀请学生自由发言，分享自己观察到的变化现象，教师点评总结：在这些场景中，都存在着两个或多个不断变化的量，它们之间相互影响、相互依存。今天我们就来学习“变量之间的关系”，本节课我们将探究变量、自变量、因变量的定义，掌握表示变量之间关系的三种基本方法，感受数学与生活的密切联系。 二、探究新知，突破重点（18分钟） （一）变量、自变量、因变量 1. 概念探究：出示3个生活实例，引导学生分组讨论，找出每个实例中变化的量和不变的量： 实例1：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化； 实例2：一个水池有100L水，打开水龙头后，水池中的水量随放水时间的变化而变化； 实例3：正方形的边长发生变化时，正方形的面积也会随之变化。 师生共同总结： （1）变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量； （2）常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量； （3）自变量与因变量：在变化过程中，主动发生变化的量叫作自变量；随着自变量的变化而发生变化的量叫作因变量。 2. 巩固辨析：结合上述实例，明确：实例1中，时间和路程是变量，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量；实例2中，放水时间和水池水量是变量，水池总水量（初始）是常量，放水时间是自变量，水池水量是因变量；实例3中，边长和面积是变量，没有常量，边长是自变量，面积是因变量。 强调：自变量和因变量是相对的，要结合具体的变化过程来判断，不能孤立地确定。 （二）变量之间关系的表示方法 1. 表格法：出示实例：某同学在做俯卧撑，每分钟做的个数固定，随着时间（分钟）的变化，做的总个数如下表： 时间（分钟）1 2 3 4 5 总个数（个）15 30 45 60 75 讲解：表格法是用表格的形式，清晰地呈现自变量和因变量的对应数值，优点是直观、简洁，能快速找到具体数值对应的关系。引导学生观察表格，说出自变量、因变量，以及两者的变化规律（每分钟做15个，总个数=15×时间）。 2. 关系式法：结合上述表格实例，引导学生推导：总个数=每分钟个数×时间，若用t表示时间（分钟），s表示总个数（个），则关系式为s=15t。 讲解：关系式法是用数学式子表示自变量和因变量之间的关系，优点是能准确反映两者的内在规律，可根据自变量的值求出对应的因变量的值，反之也可根据因变量的值求出自变量的值。 举例示范：若t=6，代入关系式s=15t，得s=15×6=90（个），即6分钟做90个俯卧撑；若s=120，由120=15t，得t=8（分钟）。 3. 图像法：结合上述关系式s=15t，引导学生在平面直角坐标系中，画出对应的点（1,15）、（2,30）、（3,45）……，再将这些点连接起来，得到一条直线。 讲解：图像法是用平面直角坐标系中的点和线，直观地呈现变量之间的变化趋势，优点是能清晰看出因变量随自变量的变化规律（上升、下降、不变）。强调：横轴表示自变量（时间t），纵轴表示因变量（总个数s），标注坐标轴名称和单位，点的坐标要准确。 （三）易错辨析：引导学生区分三种表示方法的优缺点，明确：表格法直观但不能反映整体规律，关系式法准确但不够直观，图像法直观且能反映变化趋势但不够精确，实际应用中可根据需求选择合适的方法。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量： （1）圆的周长随半径的变化而变化；（2）购买单价为3元的笔记本，付款金额随购买数量的变化而变化。 解析：（1）自变量：圆的半径；因变量：圆的周长；常量：圆周率π（约3.14）；（2）自变量：购买数量；因变量：付款金额；常量：笔记本单价3元。 例2：已知某长方形的长为5cm，宽为x cm，面积为y cm²，写出y与x之间的关系式，并求出当x=3cm时，y的值；当y=25cm²时，x的值。 解析：根据长方形面积公式，关系式为y=5x；当x=3时，y=5×3=15（cm²）；当y=25时，5x=25，解得x=5（cm）。 例3：某地区一天的气温随时间变化的图像（略），根据图像回答：（1）自变量和因变量分别是什么？（2）哪个时间段气温在上升？哪个时间段气温在下降？（3）最高气温是多少？出现在什么时间？ 解析：（1）自变量：时间；因变量：气温；（2）如6:00-14:00气温上升，14:00-24:00气温下降（结合图像具体说明）；（3）最高气温如32℃，出现在14:00（结合图像具体说明）。 补充说明：解决变量相关问题时，先确定自变量和因变量，再根据三种表示方法的特点，灵活运用表格、关系式或图像分析规律、计算数值。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量；（1）蜡烛燃烧时，剩余长度随燃烧时间的变化而变化；（2）高铁以300km/h的速度行驶，路程随时间的变化而变化。 2. 提升题：已知一个三角形的底为8cm，高为h cm，面积为S cm²，写出S与h之间的关系式，并求出当h=5cm时S的值。 3. 拓展题：根据某商店的销量表格（时间与销量对应），分析销量随时间的变化规律，并用关系式表示两者的关系。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如混淆自变量和因变量、关系式书写错误、图像分析不准确）进行重点讲解，强化对变量概念和三种表示方法的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 核心概念：变量（自变量、因变量）和常量，能准确区分三者；2. 变量关系的三种表示方法：表格法（直观简洁）、关系式法（准确规律）、图像法（直观趋势）；3. 应用技巧：根据实际问题确定自变量和因变量，灵活运用三种方法分析规律、计算数值。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调变量之间的关系是后续学习函数的基础，培养学生用数学眼光分析生活中变化现象的能力。 你得到了什么结果？你有怎样的猜想？ 思考1：联系两个活动，你有怎样进一步的猜想？ 如果可以，请你用信息科技课学过的流程图将以上用文字语言描述的运算程序表达出来，并与同伴进行交流． 活动3：请同学们设计自己的运算程序，使运算结果不超过三位数且出现循环． 1．用文字语言、流程图表达所设计的运算程序． 2．根据你设计的运算程序，会得到怎样的结果？与同伴一起验证所设计的运算程序． 要点归纳：设计运算程序的步骤： (1)阅读信息，明确输入与输出的限制条件； (2)由特殊到一般，分步探究设计恰当的程序； (3)验证程序的正确性，完善程序规则．　 思考2：对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算程序”，由此程序产生的数字总会停留在某个数字或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环．你认为会这样吗？试给出你的理由． 根据流程图中的程序，当输入x的值为－2时，输出y的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 当堂反馈 1．将2023×2024×2025×2026＋1表示成一个自然数的平方，结果是多少？请你任意选取四个连续整数，将它们的积再加上1，并用一个自然数的平方表示所得的结果．你能从中发现什么规律？ 2．输入任意一个三位数，如325，重复该数，得到325325，将该数除以7，然后除以11，再除以13，结果又回到原来输入的数．你能解释这个现象吗？假设我们从任意一个四位数开始，如3245，我们要把它乘以多少，才能够得到32453245？如果任意取一个五位数呢？ 参考答案 探究：设计自己的运算程序 活动1：例如选1，2，3，0，就用3210－1023＝2187；8721－1278＝7443；7443－3447＝3996；9963－3699＝6264；6642－2466＝4176，7641－1467＝6174.四个不同的数字，最多七步必得6174.仿佛掉进了黑洞，永远出不来． 活动2：例如，以832开始，运用以上的规则依次可以得到：766，669，999，999……如果，以123开始，运用以上的规则依次可以得到：326，963，999…… 思考1： B 当堂反馈 1．解：第1个算式为：1×2×3×4＋1＝(1＋1×3＋1)2＝52， 第2个算式为：2×3×4×5＋1＝(4＋2×3＋1)2＝112， 第3个算式为：3×4×5×6＋1＝(9＋3×3＋1)2＝192， …… 依此类推： 第n个算式为： n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2， 当n＝2023时，2023×2024×2025×2026＋1＝(20232＋3×2023＋1)2. 2．解：∵325325÷325＝1001，∴325325÷1001＝325. ∴325325÷7÷11÷13＝325. 对于一个四位数，∵32453245÷3245＝10001. ∴任意一个四位数，乘以10001，即可得到将它重复一次之后的八位数． 设一个任意的五位数为x，则重复一次得到的十位数为：100000x＋x＝100001x. ∴任意一个五位数乘以100001，得到将这个五位数重复一次后的十位数． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $