专题03 实际问题与一次函数（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用与几何综合，通过六大题型构建"问题情境-函数建模-求解验证"的完整思维链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配方案问题|5题|资源分配与费用优化|从二元一次方程组过渡到一次函数最值，渗透分类讨论思想| |最大利润问题|5题|成本利润与销售策略|建立利润函数模型，结合不等式约束求解最优方案| |行程问题|5题|运动过程与图像分析|通过路程时间关系构建函数，强化数形结合能力| |梯度计价问题|3题|分段计费与阶梯收费|分段函数应用，培养数据分析与分段处理能力| |其他问题|7题|跨学科与生活场景|拓展函数应用边界，提升数学抽象与模型意识| |几何综合|6题|函数图像与几何图形|融合坐标系、面积计算，发展空间观念与推理能力|

专题03 实际问题与一次函数（六大题型） 【题型1 一次函数的实际应用－分配方案问题】.............................................................1 【题型2 一次函数的实际应用－最大利润问题】.............................................................4 【题型3 一次函数的实际应用－行程问题】....................................................................6 【题型4 一次函数的实际应用－梯度计价问题】.............................................................9 【题型5 一次函数的实际应用－其他问题】....................................................................11 【题型6 一次函数与几何综合】......................................................................................15 【题型1 一次函数的实际应用－分配方案问题】 1．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 2．应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 3．某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变） (1)，两种树苗每棵的单价分别是多少元？ (2)若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 4．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 5．2022年3月，对广西和西南地区经济社会发展具有重大战略意义的平陆运河项目正式成立．在一航道建设中，南宁某渣土运输公司拟派出大、小两种型号的运输车运输土方．已知1辆大型运输车与3辆小型运输车共运输土方105吨，2辆大型运输车与1辆小型运输车共运输土方110吨． (1)求每辆大型运输车和每辆小型运输车各运输土方多少吨． (2)该公司决定派出大、小两种型号运输车共20辆，共运输至少510吨土方，且大型运输车不超过10辆，每辆大型运输车花费400元，每辆小型运输车花费300元，请你设计最省钱的运输方案． 【题型2 一次函数的实际应用－最大利润问题】 6．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 7．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 8．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 9．某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 10．某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【题型3 一次函数的实际应用－行程问题】 11．问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 12．某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 13．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 14．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的智能送餐机器人欢欢和乐乐从厨房门口出发给客人送餐，欢欢比乐乐先出发，设欢欢行走的时间为，欢欢和乐乐行走的路程分别为，，，与之间的函数关系图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)欢欢出发多长时间后被乐乐追上？ 15．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【题型4 一次函数的实际应用－梯度计价问题】 16．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 17．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 18．春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【题型5 一次函数的实际应用－其他问题】 19．在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积之间的关系如图所示．（提示：液体的质量液体的密度液体的体积） (1)求m关于V的函数解析式； (2)求空烧杯的质量及液体的密度； (3)当液体和烧杯的总质量为时，求液体的体积． 20．【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 (1)任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； (2)任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 21．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） （斤） (1)求出关于的一次函数解析式． (2)问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 22．某餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．已知在沙子漏下的过程中，沙漏上半部分沙子的剩余高度是漏沙时间的一次函数．当漏沙时间为时，剩余高度为；当漏沙时间为时，剩余高度为． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)该餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间． 23．项目化学习 【项目主题】探究桶装水打开后水中菌落变化情况． 【项目背景】桶装水打开后，空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移，水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究某桶装水打开后水中菌落变化情况”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数/天 0 1 2 3 菌落总数 8 20 32 44 【模型建立】根据此项目实施的相关材料，发现菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间满足一次函数关系． 【问题解决】 (1)求出菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间的函数关系式． (2)桶装水打开后第几天菌落总数为？ 24．超市为了方便市民购物，会给顾客准备足够的购物车．为了在收纳购物车时占地空间小，会将购物车整齐叠放在超市入口处．如图是某超市叠放的购物车示意图．小星尝试探究整齐叠放的购物车车身总长（单位：）与购物车数量（单位：辆）的变化关系．于是他通过叠放购物车的操作并测量，得到如下数据： 购物车的数量/辆 车身总长/ 根据上述表格，解答下列问题： (1)写出与之间的关系式______； (2)若该超市整齐叠放的购物车车身总长有，求该超市叠放的购物车有多少辆？ 25．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图①）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图②中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)求线段对应的函数表达式． (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值． 【题型6 一次函数与几何综合】 26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 28．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 29．综合运用． 如图，在平面直角坐标系中，放入一个矩形纸片，将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为．直线的关系式是，与轴相交于点，且． (1)求的长度； (2)求点的坐标； (3)求矩形的面积 30．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且．    (1)求k的值； (2)若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标． 31．如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实际问题与一次函数（六大题型） 【题型1 一次函数的实际应用－分配方案问题】.............................................................1 【题型2 一次函数的实际应用－最大利润问题】.............................................................7 【题型3 一次函数的实际应用－行程问题】....................................................................12 【题型4 一次函数的实际应用－梯度计价问题】.............................................................17 【题型5 一次函数的实际应用－其他问题】....................................................................21 【题型6 一次函数与几何综合】......................................................................................28 【题型1 一次函数的实际应用－分配方案问题】 1．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 2．应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 【答案】(1)15；30 (2)25元， (3)方案一，见解析 【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可； （2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值； （3）写出两个函数关系式，分别代入计算，并比较大小即可求解． 【详解】（1）将和带入， ， 解得：，故答案为：15，30. （2）由题意，得打折前的每次健身费用为（元），则． （3）选择方案一所需费用较少．理由如下： 由题意可知，． 当健身8次时，选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． 因为，所以选择方案一所需费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 3．某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变） (1)，两种树苗每棵的单价分别是多少元？ (2)若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】(1)种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元 (2)，购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用及其性质、不等式的解法及应用．解题的关键在于准确建立方程组求解树苗单价，利用一次函数模型结合实际问题中的约束条件，确定变量的合理取值范围，进而通过分析函数的单调性找到使总费用最小的购买方案． （1）设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据两次购买的总费用建立方程组，解方程组即可求出单价； （2）根据题意，设购买A种树苗t棵，则B种树苗为棵．由条件“B的数量不超过A的2倍”得，解得t的范围，总费用W由两种树苗的单价和数量计算得出，再结合一次函数的单调性确定最省费用的方案． 【详解】（1）解：设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据题意得： ， 解得， 答：种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元； （2）设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵， 种树苗的数量不超过种树苗数量的倍， ， 解得：， 是正整数， ， 设购买树苗总费用为， ， 随的增大而增大， 当时，元． 答：购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元． 4．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)见详解 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分类讨论：当，，时，分别算出对应的健身的次数，再进行作答即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：由（2）得当时，解得， 即去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 当时， 解得， 即去体育馆健身超过10次时，选择套餐二； 当时， 即去体育馆健身小于10次时，选择套餐一． 5．2022年3月，对广西和西南地区经济社会发展具有重大战略意义的平陆运河项目正式成立．在一航道建设中，南宁某渣土运输公司拟派出大、小两种型号的运输车运输土方．已知1辆大型运输车与3辆小型运输车共运输土方105吨，2辆大型运输车与1辆小型运输车共运输土方110吨． (1)求每辆大型运输车和每辆小型运输车各运输土方多少吨． (2)该公司决定派出大、小两种型号运输车共20辆，共运输至少510吨土方，且大型运输车不超过10辆，每辆大型运输车花费400元，每辆小型运输车花费300元，请你设计最省钱的运输方案． 【答案】(1)每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方45吨，20吨， (2)派出辆大型运输车，辆小型运输车，总费用为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方吨，吨，根据1辆大型运输车与3辆小型运输车共运输土方105吨，2辆大型运输车与1辆小型运输车共运输土方110吨，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）先设大型运输车辆，则小型运输车辆，再列出不等式，结合大型运输车不超过10辆，得出，然后列出，运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方吨，吨， 依题意，， 解得． 即每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方45吨，20吨， （2）解：设大型运输车辆，则小型运输车辆， 依题意， 解得， ∵大型运输车不超过10辆， ∴ ∵ 为正整数 ∴ 设总费用为元， 依题意，， ∵ ∴随的 增大而增大 ∴当时，有最小值，且， 即最省钱的运输方案为派出辆大型运输车，辆小型运输车，总费用为元． 【题型2 一次函数的实际应用－最大利润问题】 6．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 7．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种布料25件，乙种布料55件 (2)第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则： ， 解得： ∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件． （2）解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为件，则根据题意得： 解得： ∴的取值范围为 （且为整数）． 设第二次全部售完后获得的利润为W元，则： ∵ ∴W 随 m 的增大而增大， ∴ 当时， 元， 此时乙种布料为 件． ∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元． 8．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 9．某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 10．某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【答案】(1)x，y的值分别为8，12 (2)不能 【分析】本题主要考查了二元一次方程方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）先根据题意列出方程组，然后求解即可； （2）先根据题意列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， ∴x，y的值分别为8，12． （2）解：设甲种水果售出，则乙种水果售出，该平台利润为w元，则 ， ∵， ∴w随m增大而增大， ∵ ∴当时，w最大，且最大值为2400元． ∴每天售完1000kg水果获利无法达到2500元． 【题型3 一次函数的实际应用－行程问题】 11．问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 【答案】(1) (2)行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 【详解】（1）解：设函数解析式为：， 当时，，代入得， ∵汽车以平均时速匀速行驶，x小时行驶的路程为， ∴函数解析式为：； （2）解：令，代入解析式：， 解得：， 所以行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 12．某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 【答案】(1) (2)两个机器人还应继续向前走． 【分析】（1）设函数解析式为：，根据待定系数法，即可； （2）由表格可得，走了的距离为，要使它们的距离再增加，得到两个机器人的距离，求出总的时间，用总时间减去，即可． 【详解】（1）解：设两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式为： 把，；，代入， ∴， 解得：， ∴函数表达式为：． （2）解：由表格可得，当时，两个机器人的距离为：，要使它们的距离再增加， ∴两个机器人的距离为：； ∴当时，， 解得：， ∴还应继续向前走：． 答：两个机器人还应继续向前走． 13．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 【答案】(1)3，50 (2)甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可直接进行求解； （2）分别求出的解析式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲比乙先出发3分钟，乙的速度为； 故答案为3，50； （2）解：设直线的解析式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：， 联立，解得， 答：甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米． 14．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的智能送餐机器人欢欢和乐乐从厨房门口出发给客人送餐，欢欢比乐乐先出发，设欢欢行走的时间为，欢欢和乐乐行走的路程分别为，，，与之间的函数关系图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)欢欢出发多长时间后被乐乐追上？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了函数图象，利用待定系数法求出函数关系式，理解函数图象中坐标点的意义以及待定系数法的运用是解题的关键． （1）利用待定系数法，设出函数表达式，再代入已知点坐标求解； （2）求与函数图象交点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． 的图象过点，， 解得 ； （2）解：设与之间的函数关系式为． 的图象经过点， ，解得， ． 令，解得． 故欢欢出发后被乐乐追上． 15．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【答案】(1)， (2) (3)11时或13时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可． （2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， （2）解：∴， 解得， ∴， 则， 故乙到达A地时，甲距B地的距离为． （3）解：设经过，甲、乙相距90千米， ①甲乙相遇前， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． ②甲乙相遇后， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距． 【题型4 一次函数的实际应用－梯度计价问题】 16．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 17．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 【答案】(1)①；② (2)这个家庭本月的实际用电量200度 (3)实付金额分别为60元、232元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及表格可进行求解①②； （2）由（1）可把代入代入进行求解即可； （3）根据题意分别计算电费即可． 【详解】（1）解：①当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； （2）解：因为第一档最高电费为元，而， 所以用电量超过180度。 假设用电量在第二档，将代入得，解得。 因为，假设成立， 所以该家庭本月实际用电量为200度， 答：这个家庭本月的实际用电量200度； （3）解：由题意得： 小强家的电费为（元）； 小华家的电费为（元）； 答：实付金额分别为60元、232元． 18．春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数表达式、由函数图象解不等式等知识，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，列式计算可得的值； （2）由超出流量每收费3元，可得出，化简即可得到每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式； （3）先求出套餐每月使用的流量不少于，每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式，再求出当套餐的收费等于套餐收费时的值，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，则超出流量每收费， ∴， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， ∴每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， 当套餐的收费等于套餐收费时，， 解得， ∴结合函数图象知，当且时，每月使用的流量的取值范围是， 故答案为：． 【题型5 一次函数的实际应用－其他问题】 19．在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积之间的关系如图所示．（提示：液体的质量液体的密度液体的体积） (1)求m关于V的函数解析式； (2)求空烧杯的质量及液体的密度； (3)当液体和烧杯的总质量为时，求液体的体积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并正确计算是解题的关键． （1）设，将，分别代入求出、的值即可得到关于的函数解析式； （2）当液体体积为时液体和烧杯的总质量即为空烧杯的质量，当时，求出液体和烧杯的总质量，据此求出液体的质量，利用，求出液体的密度； （3）当时，求出即可． 【详解】（1）解：设，将，分别代入， 得，解得， 故． （2）解：对于，当时，， 故空烧杯的质量为． 易知当时，，所以此时液体的质量为，， 所以液体的密度为． （3）解：对于，当时，，即此时液体体积为． 20．【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 (1)任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； (2)任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 【答案】(1) (2)结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升 【分析】（1）设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为，然后根据题意及待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知，则有随的增大而减小，然后问题可进行求解． 【详解】（1）解：设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为， ，解得， ； （2）解：， 随的增大而减小， ， 当时，． 答：结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升． 21．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） （斤） (1)求出关于的一次函数解析式． (2)问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 【答案】(1) (2)斤 【分析】（）设一次函数的表达式为，利用待定系数法求解析式即可求解； （）将代入（）的解析式即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：当时，． 22．某餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．已知在沙子漏下的过程中，沙漏上半部分沙子的剩余高度是漏沙时间的一次函数．当漏沙时间为时，剩余高度为；当漏沙时间为时，剩余高度为． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)该餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设y与t之间的函数表达式为，利用待定系数法解答即可； （2）令，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设y与t之间的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， 与t之间的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得． 答：触发免单优惠的最短等待时间为． 23．项目化学习 【项目主题】探究桶装水打开后水中菌落变化情况． 【项目背景】桶装水打开后，空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移，水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究某桶装水打开后水中菌落变化情况”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数/天 0 1 2 3 菌落总数 8 20 32 44 【模型建立】根据此项目实施的相关材料，发现菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间满足一次函数关系． 【问题解决】 (1)求出菌落总数（单位：）与试验天数（单位：天）之间的函数关系式． (2)桶装水打开后第几天菌落总数为？ 【答案】(1) (2)桶装水打开后第9天菌落总数为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数值的计算，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设菌落总数与试验天数之间的函数关系式为，利用待定系数法解方程组即可． （2）根据函数的解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：设菌落总数与试验天数之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 故菌落总数与试验天数之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得， 故桶装水打开后第9天菌落总数为． 24．超市为了方便市民购物，会给顾客准备足够的购物车．为了在收纳购物车时占地空间小，会将购物车整齐叠放在超市入口处．如图是某超市叠放的购物车示意图．小星尝试探究整齐叠放的购物车车身总长（单位：）与购物车数量（单位：辆）的变化关系．于是他通过叠放购物车的操作并测量，得到如下数据： 购物车的数量/辆 车身总长/ 根据上述表格，解答下列问题： (1)写出与之间的关系式______； (2)若该超市整齐叠放的购物车车身总长有，求该超市叠放的购物车有多少辆？ 【答案】(1) (2)辆 【分析】（）根据购物车的数量每增加辆，车身总长增加，列出函数关系式即可； （）把代入（）所得函数关系式求出的值即可求解； 本题考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据可知，购物车的数量每增加辆，车身总长增加， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：当时，, 解得， 答：该超市叠放的购物车有辆． 25．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图①）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图②中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)求线段对应的函数表达式． (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据慢充和快充所充的电量加上原本的电量等于充满的电量建立方程求出a的值，再画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴线段对应的函数表达式为； （2）解：， 解得， 如图所示，即为所求： 【题型6 一次函数与几何综合】 26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据平行可得，再代入点即可求解； （2）先求出点坐标，得到，再利用，可得，结合点写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与直线平行， ， 又过点， ，解得， 一次函数的解析式； （2）解：时，，则，， 设，如图， ， ，解得， 又， 点的坐标为或． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）代入点到，求出的值，再代入点的坐标到，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， 代入，到， 则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于，令，则， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：由图象得，当时，， ∴的解集为． 28．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)(4，0)或(-4，0) (3)或 【分析】本题考查了一次函数交点问题，三角形面积问题，坐标与图形； （1）将代入，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，设点的坐标为，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设点的坐标为，则点的坐标为．根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． 将代入，得，解得． （2）解：由题意，得点的坐标为，则． 设点的坐标为，则． 解得． 所以，点的坐标为或 （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 29．综合运用． 如图，在平面直角坐标系中，放入一个矩形纸片，将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为．直线的关系式是，与轴相交于点，且． (1)求的长度； (2)求点的坐标； (3)求矩形的面积 【答案】(1) (2)点 (3)矩形的面积为． 【分析】本题考查矩形与一次函数的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理的应用，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据一次函数的性质，求出点的坐标，即可； （2）根据矩形的性质，可得，，，根据折叠的性质，得到，，根据勾股定理求出，设，再根据勾股定理得，解出，即可得到点的坐标； （3）根据，，矩形的面积公式，即可． 【详解】（1）解：∵直线的关系式是 ∴当时， ∴点 ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点． （3）解：∵，， ∴矩形的面积为：． 30．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且．    (1)求k的值； (2)若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为，或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值； （2）根据，可以求出的长，即可求得C的坐标； （3）分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ∵， ∴， 即． ， ， ， 点的坐标为． （3）解：∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵是轴上任意一点， ∴设点P的坐标为， 则，， ①当时，即， 解得（舍去），，此时点的坐标为． ②， 即， 解得或， 此时点的坐标为或， 综上：点的坐标为，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的是待定系数法求函数解析式，勾股定理、三角形的面积，等腰三角形的性质等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 31．如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）先求出，联立求解即可． （2）设，过点B作，先求出三角形的高，通过面积求出的长度，进一步求出坐标即可． （3）分情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：设，过点B作， ∵， ∴， 由题意可得：为等腰直角三角形， ， ， 解得（舍去），或 （3）解：根据题意设， ①当为两组对角线时， ， 解得 ． ②当为两组对角线时， ， 解得 ． ③当为两组对角线时， ， 解得 ． 综上所述，N点的坐标或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $