第3章 图形的平移与旋转&第4章 因式分解（课本知识集锦）-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材 河南专版）

第三章 图形的平移与旋转 心)考点1图形的平移 1.平移的性质 (1)一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相 等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。 (2)平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小和形状。 2.平移作图的方法 (1)找出图中的关键点；(2)从某一个关键点按平移方向画一条虚线，然后截取符合平移距离 的线段，即可画出第一个关键点的对应点；(3)过其他关键点作上述虚线的平行线，截取符合 平移距离的线段，即可画出其他关键点的对应点；(4)顺次连接各对应点即可。 3.图形的平移与点的坐标变化 (1)点的平移规律：点(x,y)沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得(x+a,y);点(x,y)沿x 轴向左平移a(a>0)个单位长度，可得(x-a,y);点(x,y)沿y轴向上平移b(b>0)个单位长 度，可得(x,y+b);点(x,y)沿y轴向下平移b(b>0)个单位长度，可得(x,y-b); (2)图形的平移可转化为点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移。 ○考点2图形的旋转 1.旋转的三要素：(1)旋转中心：（2)旋转方向：(3)旋转角。 2.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相 等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对 应角相等。 3.旋转作图的方法 (1)在已知图形上找出各个关键点；(2)作出关键点的对应点：将各关键点与旋转中心连接， 以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，根据旋转方向作角的另一边（虚线），使这些角都等 于旋转角，且使另一边的长度都等于关键点到旋转中心的长度，则这些“另一边”的端点就是 对应点；(3)顺次连接（实线）各对应点，得到旋转后的图形。 ⊙)考点3)中心对称 1.中心对称的性质 (1)成中心对称的两个图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 (2)成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 【拓展延伸】(1)两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P(x,y) 关于原点的对称点为P'(-x,y)。(2)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点P(x,y)对称，则 Y-_ 2,y “2,点P是线段PA的中点。 x1+x2y1+y2 2.中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那 么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 3.画一个图形关于某一点成中心对称的图形 (1)确定对称中心；(2)确定原图形的各个关键点（如三角形的各顶点）；(3)作出这些关键点 关于对称中心的对称点：(4)顺次连接对称点即可。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第5页 针对练习 1.文化情境·传统文化我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活 的向往，良辰佳节的祝贺。比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对 称图形，但不是中心对称图形的是( B 2.在平面直角坐标系中，将点A(-2,3)先向右平移4个长度单位，再向下平移5个单位长 度得到点B,则点B的坐标是( A.(4,5) B.(2,2) C.(2,-2) D.(-2,2) 3.如图，△ODC是由△OAB绕点0顺时针旋转30°后得到的图形，若 A D ∠A0C的度数为100°，则∠D0B的度数是( ) A.30° B.36° C.45° D.40° 第四章 因式分解 心)考点1因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。 2.因式分解与整式乘法的关系：多项式 因式分解几个整式乘积的形式。 整式乘法 ⊙考点2提公因式法 1.公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。 2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。 【注意】提取公因式后，另一个因式的项数与多项式的项数相同，不能漏项。特别注意，当多 项式中的某一项与公因式相同或互为相反数时，公因式被提出后，应在该项的相应位置补上 “1”或“-1”，而不是“0”。 3.用提公因式法因式分解的一般步骤 (1)确定多项式的公因式；(2)提出这个公因式；(3)确定另一个因式（用多项式除以公因式， 所得多项式即为另一个因式)：(4)写成乘积的形式。 ⊙考点3)公式法 1.用平方差公式因式分解：a2-b2=(a+b)(a-b)。 2.用完全平方公式因式分解：a2+2ab+b=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2。 图针对练习 1.下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是() A.x3-x=x(x2-1) B.m2+m-6=(m+3)(m-2) C.(a+4)(a-4)=a2-16 D.x2+y2=(x+y)(x-y) 2.已知二次三项式x+mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值为 3.多项式“3m3-5m2+▲”分解因式的结果为m(3m2-5m-2),则原多项式中“▲”处所缺的 项为 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第6页答案详解详 十一十4十g十+十一4十n十一十十n4n十十一口十 《课本知识集锦》答案 第一章三角形的证明及其应用 1.D2.BC=DC或AB=AD 第二章不等式与不等式组 1.D【解析】D.当m≥0时，不等式不成立。故选D。 2.C3.60+(3-0.5)x≥500 4.7<a≤8【解析】解不等式组，得4.5<x<a。:不等式组 恰有3个整数解，∴.这三个整数解是5,6,7，.7<a≤8。 第三章图形的平移与旋转 1.C2.C 3.D【解析】由题意，得∠A0D=∠BOC=30°，∴.∠D0B= ∠A0C-∠A0D-∠B0C=100°-30°-30°=40°。故选D。 第四章因式分解 1.B 2.±6 【解题技巧】根据完全平方公式，第一个数为x,第二个数 为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍。 3.-2m【解析】.m(3m2-5m-2)=3m3-5m2-2m,而3m3- 5m2+▲=m(3m2-5m-2),∴.▲=-2mo 第五章分式与分式方程 1.x≠3 2.a≥1且a≠2【解析】解方程，得x=2a-2。关于x的 分式方程0=的解为非负数，x-2≠0， x-22 仔822040解得a≥1且a2 第六章平行四边形 1.BE=DF(答案不唯一)2.36 3.4【解析】.D,E分别是△ABC边AB,AC的中，点，.DE 是△ABC的中位线，DE=)BC,DE/BC,又DE=2 .∴.BC=4。.∠AED=∠C,.∠AED=∠BEC,∴.∠BEC= ∠C,∴.BE=BC=4。 十十十十十+十十十w十”十十十 《课本回头练》答案 基础知识抓分练1 1.D2.C 3.A【解析】设多边形边数为n,由题意得：180°(n-2)=4 ×360°，解得n=10,.∴.这个多边形的边数为10。故选A。 4.A【解析】连接AP,延长BP交AC于D,.点P是AB, AC的垂直平分线的交点，.PA=PB=PC,∠ABP= ∠BAP,∠ACP=∠CAP,∴.∠BPC=∠BDC+∠ACP= ∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=2X50° =100°。故选A。 5.A 6.△ABC是直角三角形 7.90°【解析】.·AD=CD=BD,∴.∠A=∠ACD,∠DCB= ∠B,∴.∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠A+∠B,∠ACB+∠A +∠B=180°，∴.∠ACB=90°。 8.20 9.4或36【解析】.·△ABC为等边三角形，.∠BAC= 60°，AC=AB=10,①当点M在AB的延长线上时，作MD ⊥AC于D,在Rt△AMD中，：∠ADM=90°，∠A=60°， 追梦之旅·初中期末真题篇·河南 斤·易错剖析 ∠AMD=30°，AM=16,.AD=2AM=8,CD=AC-AD =2,:MW=MC,MD⊥CN,.DN=CD,.CN=2CD=4;② 当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D,在 Rt△AMD中，∠ADM=90°，∠DAM=∠BAC=60°，. 乙AMD=30,xAM=16,AD=2AM=8,六CD=AD+A0 =18,.MN=MC,MD⊥CN,∴.DN=CD,∴.CN=2CD=36。 B4 图1 图2 10.解：(1)设这个多边形为n边形，由题意得，(n-2)×180° =1080°，解得：n=8,即该多边形的边数为8； (2)由于该多边形每个内角都相等，所以该多边形为正 多边形，所以这个多边形的每一个外角的度数为360 =45°。 11.解：(1)①如图，点D即为所求； ②如图，射线AE即为所求； D (2)DF垂直平分线段AB,∴.DB=DA,.∠DAB=∠B =30°，∠C=40°，∠BAC=180°-30°-40°=110°， ∠CAD=110°-30°=80°，：AE平分∠DAC,∴.∠DAE= 1 ∠DAC=40。 12.解：(1)(16-t)cm (2)由题意，得BP=BQ,即16-t=2t,解得t= 5出发 L秒后，△PQB是等腰三角形； (3)11或12【解析】①当△BCQ是以BC为底边的等 腰三角形时：CQ=BQ,则∠C=∠CBQ,.'∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴.∠A=∠ABQ, ..BO=AQ,..CO=AQ=10cm,..BC+CO=22(cm),..= 22÷2=11(秒)；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角 形时：CQ=BC,则BC+CQ=24(cm),.t=24÷2=12 (秒)，综上所述：当t为11或12秒时，△BCQ是以BC 或BQ为底边的等腰三角形。 基础知识抓分练2 1.B【解析】③是等式，④是代数式，①②⑤是不等式， 共有3个不等式。故选B。 2.C3.B4.A5.A 6.a+2≤0 7.7【解析】设小明答对了x道题，则答错（或不答）（10- x)道题，由题意得5x-(10-x)>30,解得x>,,又x为 正整数，∴.x的最小值为7。 854【解析】解不等式4k-m≤0得，≤空，不等式的正 整数解是123,3≤<412≤m<16,m=12,13, 14或15，∴.12+13+14+15=54。 专版ZBB·八年级数学下第1页