第2章 不等式与不等式组（课本知识集锦）-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材 河南专版）

第二章 不等式与不等式组 ⊙考点1不等式（组）的相关概念 1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫作不等式。用“≠”连接 的式子也是不等式。 2.不等式的解：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式 的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1， 像这样的不等式，叫作一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一 元一次不等式组。 6.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一 元一次不等式组的解集。 【注意】(1)公共部分是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集，如果组成不等式组的各 个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解；(2)不等式组的解集中的每一个解 均满足不等式组中的每一个不等式。 ⊙考点2不等式的基本性质 1.不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不 变。如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c;如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c。 2.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果a> b,c>0,那么ac>bc,a÷c>b÷c;如果a<b,c>0,那么ac<bc,a÷c<b÷co 3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如果α> b,c<0,那么ac<bc,a÷c<b÷c;如果a<b,c<0,那么ac>bc,a÷c>b÷c。 【拓展】不等式的其他性质：（1)对称性，也叫互逆性：若a>b,则b<a;若a<b,则b>a。（2) 传递性：若a>b,b>c,则a>c ⊙考点3解一元一次不等式（组） 1.不等式的解集在数轴上的表示方法 不等式的解集 x>a x<a x≥a x≤a x≠a 用简易数轴表示 名→ 2→ → ☒ 【注意】在数轴上表示不等式的解集时，要注意区分“>”“<”和“≥”“≤”，“>”“<”在数轴上 表示为空心圆圈，“≥”“≤”在数轴上表示为实心圆点。 2.解一元一次不等式的步骤 (1)去分母（根据不等式的性质2或性质3）；(2)去括号（根据乘法分配律、去括 号法则)；(3)移项（根据不等式的性质1）、合并同类项（根据合并同类项法则）； (4)系数化为1（根据不等式的性质2或性质3）。 【注意】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，不同的是解一元一次不等式系数化为1 时，要注意观察未知数的系数是正数还是负数，以确定不等号的方向是否发生改变。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第3页 3.一元一次不等式组的解集的四种情况 不等式组(a>b) (x>a x<a x<a x>a lx>b lx<b lx>b lx<b 不等式组的解集 x>a x≤b b<x<a 无解 不等式组的解集在数轴上的表示 b a b a b a 4.解含参数、有特殊解的一元一次不等式组 (1)利用一元一次不等式组的解集确定未知字母的值或取值范围：先求不等式组的解集，再结 合数轴把解集看成数轴上的动点来确定未知字母的值或取值范围，要注意临界值的确定。 (2)求不等式组的特殊解：先求出不等式组的解集，再根据题干要求求出不等式组的特殊解。 (3)由不等式组的特殊解求未知字母的取值范围：先解不等式组，用未知字母表示不等式组 的解集，再根据特殊解求未知字母的取值范围。 (4)不等式组和方程的综合应用：先用未知字母表示出方程的解，再将解代入不等式组，进而 求未知字母的取值范围。 (5)不等式组和方程组的综合应用：先解二元一次方程组，用未知字母表示解，将方程组的解 代人不等式组，解不等式组，求未知字母的取值范围。 ⊙)考点4一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤 (1)审：分析题目中的已知条件和未知条件之间的关系； (2)设：设未知数； (3)列：找出能够包含未知数的所有不等关系，列不等式（组）； (4)解：解不等式（组），求出解集； (5)答：在解集中找出符合题意的解，再写出答案。 心)考点5)一元一次不等式与一次函数 1.一次函数与一次方程的关系：一元一次方程x+b=0的解是一次函 数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标。 2.一次函数与一元一次不等式的关系：一元一次不等式x+b>0(或x+b<0)的解集是一次函数 y=x+b(k≠0)的图象在x轴上方（或下方）的所有点的横坐标所构成的集 合。 ”心针对练习 1.已知a<b,则下列式子不一定成立的是() A.a-1<b-1 B.-2a>-2b C.2a+1<2b+1 D.ma>mb 2.数学思想·数形结合如图，已知一次函数y1=k1x+b,与y2= k2x+b2交于点A,根据图象回答，y1>y2时，x的取值范围 =kx+4 是()》 A.x>-1 B.x≥-1 C.x<-1 D.x≤-1 3.某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地 500m2,学校要求完成全部任务的时间不超过3小时。开始的半小时，由于操作不熟练， 只平整了60m.若设他们在剩余时间内每小时平整土地xm2,则根据题意可列不等式 为 0 2x+3>12 4.若关于x的不等式组 x-a<0 恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第4页答案详解详 十一十4十g十+十一4十n十一十十n4n十十一口十 《课本知识集锦》答案 第一章三角形的证明及其应用 1.D2.BC=DC或AB=AD 第二章不等式与不等式组 1.D【解析】D.当m≥0时，不等式不成立。故选D。 2.C3.60+(3-0.5)x≥500 4.7<a≤8【解析】解不等式组，得4.5<x<a。:不等式组 恰有3个整数解，∴.这三个整数解是5,6,7，.7<a≤8。 第三章图形的平移与旋转 1.C2.C 3.D【解析】由题意，得∠A0D=∠BOC=30°，∴.∠D0B= ∠A0C-∠A0D-∠B0C=100°-30°-30°=40°。故选D。 第四章因式分解 1.B 2.±6 【解题技巧】根据完全平方公式，第一个数为x,第二个数 为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍。 3.-2m【解析】.m(3m2-5m-2)=3m3-5m2-2m,而3m3- 5m2+▲=m(3m2-5m-2),∴.▲=-2mo 第五章分式与分式方程 1.x≠3 2.a≥1且a≠2【解析】解方程，得x=2a-2。关于x的 分式方程0=的解为非负数，x-2≠0， x-22 仔822040解得a≥1且a2 第六章平行四边形 1.BE=DF(答案不唯一)2.36 3.4【解析】.D,E分别是△ABC边AB,AC的中，点，.DE 是△ABC的中位线，DE=)BC,DE/BC,又DE=2 .∴.BC=4。.∠AED=∠C,.∠AED=∠BEC,∴.∠BEC= ∠C,∴.BE=BC=4。 十十十十十+十十十w十”十十十 《课本回头练》答案 基础知识抓分练1 1.D2.C 3.A【解析】设多边形边数为n,由题意得：180°(n-2)=4 ×360°，解得n=10,.∴.这个多边形的边数为10。故选A。 4.A【解析】连接AP,延长BP交AC于D,.点P是AB, AC的垂直平分线的交点，.PA=PB=PC,∠ABP= ∠BAP,∠ACP=∠CAP,∴.∠BPC=∠BDC+∠ACP= ∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=2X50° =100°。故选A。 5.A 6.△ABC是直角三角形 7.90°【解析】.·AD=CD=BD,∴.∠A=∠ACD,∠DCB= ∠B,∴.∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠A+∠B,∠ACB+∠A +∠B=180°，∴.∠ACB=90°。 8.20 9.4或36【解析】.·△ABC为等边三角形，.∠BAC= 60°，AC=AB=10,①当点M在AB的延长线上时，作MD ⊥AC于D,在Rt△AMD中，：∠ADM=90°，∠A=60°， 追梦之旅·初中期末真题篇·河南 斤·易错剖析 ∠AMD=30°，AM=16,.AD=2AM=8,CD=AC-AD =2,:MW=MC,MD⊥CN,.DN=CD,.CN=2CD=4;② 当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D,在 Rt△AMD中，∠ADM=90°，∠DAM=∠BAC=60°，. 乙AMD=30,xAM=16,AD=2AM=8,六CD=AD+A0 =18,.MN=MC,MD⊥CN,∴.DN=CD,∴.CN=2CD=36。 B4 图1 图2 10.解：(1)设这个多边形为n边形，由题意得，(n-2)×180° =1080°，解得：n=8,即该多边形的边数为8； (2)由于该多边形每个内角都相等，所以该多边形为正 多边形，所以这个多边形的每一个外角的度数为360 =45°。 11.解：(1)①如图，点D即为所求； ②如图，射线AE即为所求； D (2)DF垂直平分线段AB,∴.DB=DA,.∠DAB=∠B =30°，∠C=40°，∠BAC=180°-30°-40°=110°， ∠CAD=110°-30°=80°，：AE平分∠DAC,∴.∠DAE= 1 ∠DAC=40。 12.解：(1)(16-t)cm (2)由题意，得BP=BQ,即16-t=2t,解得t= 5出发 L秒后，△PQB是等腰三角形； (3)11或12【解析】①当△BCQ是以BC为底边的等 腰三角形时：CQ=BQ,则∠C=∠CBQ,.'∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴.∠A=∠ABQ, ..BO=AQ,..CO=AQ=10cm,..BC+CO=22(cm),..= 22÷2=11(秒)；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角 形时：CQ=BC,则BC+CQ=24(cm),.t=24÷2=12 (秒)，综上所述：当t为11或12秒时，△BCQ是以BC 或BQ为底边的等腰三角形。 基础知识抓分练2 1.B【解析】③是等式，④是代数式，①②⑤是不等式， 共有3个不等式。故选B。 2.C3.B4.A5.A 6.a+2≤0 7.7【解析】设小明答对了x道题，则答错（或不答）（10- x)道题，由题意得5x-(10-x)>30,解得x>,,又x为 正整数，∴.x的最小值为7。 854【解析】解不等式4k-m≤0得，≤空，不等式的正 整数解是123,3≤<412≤m<16,m=12,13, 14或15，∴.12+13+14+15=54。 专版ZBB·八年级数学下第1页