抓分练6 分式及分式的运算（课本回头练）-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材 河南专版）

11.解：(1)由旋转可知：∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE, ∠CAE=∠BAD=15°，.∠ADE=∠AED=45°，.∠AFD =∠AED+∠CAE=45°+15°=60°； (2).AD=AE=6√2，在Rt△ADE中，利用勾股定理可 得：DE=√AD+AE=12,△ADE中DE边上的高为 62×62 =6; 12 (3)过A作AH⊥DE于H,则∠AHF=90°，由(1)知 ∠AFD=60,∠FMH=90-60=30°，Hf=2AR,由(2) 知AH=6,在Rt△AFH中，利用勾股定理可得：HF2+62= (2HF)2,解得HF=2√3，∴.AF=43,.∴.CF=AC-AF= 105-45=6V3。 12.解：(1)∠EDC=90°，∠DEC=60°，∴.LDCE=90°- 60°=30°，.AC平分∠DCE,.∴.∠ACE= 2∠DCE=15°， .t=15÷5=3(秒)： (2)∠DCA与∠ECB的数量关系是：LECB-∠DCA= 15°；理由是：由旋转得∠ACE=5t,∴.∠DCA=30°-5t, ∠ECB=45°-5L,.∠ECB-∠DCA=(45°-5t)-(30°- 5t)=15°： (3)15或33或24秒【解析】分三种情况：①当AB∥ DE时，如图1，∠ACE=45°+30°=75°，t=75÷5=15 (秒)；②当BC∥DE时，如图2，则∠DCB=∠D=90 ∠ACE=30°+90°+45°=165°，t=165÷5=33(秒)：③当 AC∥DE时，如图3，∠ECA=120°，.t=120÷5=24(秒)； 综上，t的值是15或33或24秒。 ME 图1 图2 图3 基础知识抓分练5 1.B2.C 3.D【解析】设x2+mx-12=（x-6)(x+a)=x2+(a-6)x- 6a,可得m=a-6,6a=12,解得a=2,m=-4。故选D。 4.D5.B6.B 7.C【解析】小x3-y2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y）。x= 50,y=20,则各个因式的值为x=50,x+y=70,x-y=30, 产生的密码不可能是307040。故选C。 8.x2-1(答案不唯一) 9.-2m 10.150【解析】由题意，得ab=6,a+b=10÷2=5,∴原式= ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=150。 11.解：(1)原式=y(4xy-4x2-y2)=-y(2x-y)2; (2)原式=a2(x-y）-16(x-y)=(x-y)(a2-16)=(x-y) （a+4)(a-4)。 12.解：(1)不是 (2)是；理由如下：（2n)2-(2n-2)2=(2n+2n-2)(2n 2n+2)=2×(4n-2)=4(2n-1),∴.这两个连续偶数构造 的“神秘数”是4的倍数。 (3)设这两个连续奇数为：2n-1,2n+1(n为正整数)，. (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n ·2=8n,而由(2)知“神秘数”是4的奇数倍，.不是8 的倍数，.两个连续奇数（取正整数）的平方差不是“神 秘数”。 13.解：(1)原式=a2-4a+4-b2=(a-2)2-b2=(a+b-2)(a-b -2)； (2)原式=x2-6x+9-7-9=(x-3)2-16=(x-3+4)(x-3- 4)=(x-7)(x+1); (3).a2-ab-ac+bc=O,..a(a-b)-c(a-b)=O,..(a-b) 追梦之旅·初中期末真题篇·河南 (a-c)=0,∴.a-b=0或a-c=0或a-b=0,a-c=0,∴.a= b或a=c或a=b=c,∴.△ABC是等腰三角形或等边三 角形。 基础知识抓分练6 1.B 【知识回顾】从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分 式无意义台分母为零；(2)分式有意义台分母不为零；(3) 分式值为零台分子为零且分母不为零。 2.C 3.C【解析】将分式3x+y中的x和y都扩大2倍可得 xy 烫-愿会大瑞小到原来的分收 选C。 4c【标】原式=o汤得8。g0a必时，原支- ,应落在第③段，故选© 5.A【解析P-Q=(x-1)-x1=x-1,÷当1<<2 时，x-1>0,>0,-2<0,则t(x-2 2<0,即P<Q,.结论① x-1 不对；当<0时，1<0，-2<0，则(x-2）<0,即P<0, x-1 结论②对。故选A。 6(答案不电-）7 b 8.+:【解析1由题意得头立】兰·(-1) 2-1x--1 △-r 9.解：（1)二 (2)原式=(3-4)÷（+20-2》=31. x+1x+1 x+2 x+1 x+22-x11 = (x+2)(x-2)x+1x-2x+1° 10.解：(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变 35 3 (2)原式= (3x-5xy-3）y=Y （x+6xy-y）÷xy 11 -+6- y 311)-5 、yx 11 11 11一。 =2,. -=-2,∴.原式= x y y x -+6 3×(-2)-511 -2+6 4； (3)rb=ab+a,a-b=-ab,.原式=-5(a-b)-7a6 a-b-ab -5x(-ab)-7ab-2ab -2ab =10 n解：(1)号068>0,46o0.6b0 -ab-ab 。0所得分式的值是增大了 800×2 （2)D甲，800m+800n专m其”（元千克）；乙：80080o= 800x2 m n 专版ZBB·八年级数学下第3页 2m(元/千克)： m+n ②m+n_2mn-(m-m)2 2m+n2(m+n)“m,n是正数，且m≠n, (m-n) 2(m+n) >0空叠乙所药饲的平均单价低。 基础知识抓分练7 1.D 3+ 2.C【解析】解关于x的分式方程，得x= 2。“该分式 (3+m0 方程的解为负数，且分式方程有意义， 2 3*m+-1 ( m<-3且m≠-5。故选C。 3.A 4.B【解析】.分式方程有增根，∴.x=4;分式方程两边同 时乘(x-4),得3-x+m=x-4,整理得m=2x-7,当x=4 时，m=1。故选B。 【技巧点拨】要准确理解分式方程有增根的意义，即分式方 程有增根→最简公分母为零→对应的x的值即为相应的 整式方程的增根。 5.D 6.x(x+2)（x-2) 【技巧点拨】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一 步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的 两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘最简 公分母后，结果为-1。 7.2【解析】解不等式组，得-“≤3-0。“关于：的 (x-2 元一次不等式组3<x+1至少有2个整数解，则该不等 (x+a≤3 式的整数解至少包含：-2，-1，.3-a≥-1，解得：a≤4，解 分式方程，得y=。≤4y a+37 2≤2。“y是正 整数，且y≠2，∴y=1或y=3,.a=-1或a=3,∴.满足条 件的整数a的和为-1+3=2。 x5 8.解：(1)原方程化为2x-52x一51。方程两边都乘(2x- 5),得x-5=2x-5,解这个方程，得x=0。检验：当x=0 时，2x-5≠0，.x=0是原方程的解； (2)方程两边都乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-(x2-1)=4, 解这个方程，得x=1。检验：当x=1时，x-1=0,因此x= 1不是原分式方程的解。，原分式方程无解。 12 12 9.解：(1).x x-2 =-6为“十字分式方程”，x-2 x-21 -8∴x-2+-2)×(-6 x-2 =(-2)+(-6),∴x-2=-2或x- 2=-6,.x1=0,x2=-4; (2):“十字分式方程”x-3 =-6的两个解分别为x,= n m m,x2=n,.x1x2=mn=-3,x1+x2=m+n=-6,∴. m n m2+n2(m+n)2-2mm_36+6-14。 mn mn -3 10.解：(1)设在该果园采摘明5-5的单价是x元/千克，则 在该果园采摘布鲁克斯的单价是(x-3)元/千克。根据 题意得20-120×1.25，解得x=15,经检验，x=15是所 x-3 x 追梦之旅·初中期末真题篇·河南 列方程的根，且符合题意。答：在该果园采摘明5-5的 单价是15元/千克； (2)根据题意得：30+(8-6)m=42,解得：m=6。答：m 的值为6； (3)78 基础知识抓分练8 1.D 2.C【解析】四边形ABCD是等腰梯形，AB=6,DC= AB=6,AD∥BC,DE∥AB,.四边形ABED是平行四边 形，∴.AD=BE=5,AB=DE=6,BC=8,.CE=8-5=3, .∴.△DEC的周长是DE+EC+DC=6+3+6=15。故选C。 3.D4.C 5.D【解析】延长EG交CD于M。EF⊥DF,FG=FE, △EFG是等腰直角三角形，∴.∠EGF=45°，·.∠DGM= ∠EGF=45°。：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ CD,.∠AEG=∠CMG=105°，∴.∠CDH=105°-45°= 60°。CH⊥DF,.∠HCD=90°-∠CDH=30°。故选D。 6.B【解析】由作法得DE平分LADC,.∠ADE=∠CDE。 :四边形ABCD为平行四边形，.CD=AB=5,AD∥BC。 ∴.∠ADE=∠CED,∴.∠CED=∠CDE,∴.CE=CD=5,. BE=BC-CE=8-5=3。.AE⊥BC,∴.∠AEB=90°，.AE =√AB2-BE2=4。故选B。 7.3(答案不唯一) 8.20【解析】小：AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形ABCD为平行 四边形，∴BC=AD=5,CE=8-5=3。AD∥BE,∴.点A 和点D到BC的距离相等，设，点A到BC的距离为h。: △DCE的面积为6，：.)×3Xh=6,解得h=4,Sm这形cD =5×4=20。 9.2 10.24【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴.CD=AB= 8,AD=BC=10,OA=OC,AD∥BC,∴.∠EA0=∠FC0, ∠AE0=∠CF0。在△AOE和△C0F中， I∠EAO=∠FC0 ∠AE0=∠CF0,∴.△AOE≌△COF(AAS),∴.OE=OF OA=OC =3,AE=CF。故四边形EFCD的周长=8+3+3+10=24。 1.4s或子【解析J①当点F在线段BM上，即01<2，以 A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=4 2,解得=号②当F在线段CM上，即2≤1≤5，以A、 M、E、F为顶，点的四边形是平行四边形，则有t=2t-4,解 得1=4。综上所述，=4s或子，以A,ME,F为顶点的 四边形是平行四边形。 12.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB CD,.LABE=∠CDF。AE⊥BD,CF⊥BD,AE∥ CF,∠AEB=∠CFD=90°，在△AEB和△CFD中， I∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠CFD,∴.△AEB△CFD(AAS),∴.AE=CF, AB=CD ..四边形AECF是平行四边形； (2)解：由(1)知，四边形AECF为平行四边形，.AC= 2A0,0B=EF=3。AE1BD,.∠AE0=90°，A0= √AE+0E=√/4+32=5，.AC=2A0=10,故AC的长 为10。 13.解：(1)∠DAP=∠DEC AP=CEAP∥CE (2)在的值发生变化的过程中，（1)中的结论仍然成 立。理由如下：由折叠，可得∠CED=∠CEF,ED=EF。 专版ZBB·八年级数学下第4页基础知识抓分练6 一、选择题（每题3分，共15分） 1.下列代数式中，属于分式的是( B、1 x+2 2(x+y) 1 C D. 2.已知M表示-个整式若智是放简分式，则 整式M可以是( A.8 B.7x C.x-5 D.x-x2 3.若把分式3x+y中的x和y都扩大2倍，那么 XY 分式的值( A.扩大2倍 B.不变 C.缩小到原来的 D.缩小到原来的 2 a2-ab 4如图，若a=26,则表示的值的点 落在( -2-1 012 A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段 5设P=x-1,Q=-x≠1，有以下2个结论： ①当x>1时，P>Q;②当x<0时，P<Q。下列 判断正确的是( ) A.①错②对 B.①对②错 C.①②都错 D.①②都对 二、填空题（每题3分，共9分） 6.新考法·开放性试题写出一个x取任意实 数时，一定有意义的分式 0 追梦之旅真题·课本回头练 分式及分式的运算 7.化简，a+a6b a-b "a-b 的结果是 8.学习情境·墨迹覆盖数学课上，老师讲了分 式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂 笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然 发现一-道题：化简云，其中公”处被 墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果 为，则△”所表示的式子为 三、解答题（共27分） 9.学习情境·过程性学习(8分)下面是小 亮化简分式(3 1)4 的部分运算 x+2 过程： 解：原式=(3+x+2)(x-2） x+1x+1 x+2 …第一步。 -3-x+11 +12第二步。 (1)小亮运算过程中第 步出现了 错误； (2)请写出正确且完整的解答过程。 ZBB·八年级数学第11页 10.(10分)如图所示的是小婷同学的数学日 记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这 样一道题：已知】1=2（对≠0），求分式 x y 3x-5xy-3y的值。该题没有给出x,y的 x+6xy-y 值，怎样求出分式的值？数学课外书上 介绍了这两种方法： 方法1：1=2，=2，y-x= x Y y 2y,x-y=-2y,原式=3(x-y)-5 （x-y)+6xy _3×(-2y）-5xy--11y-_11 -2xy+6xy 4xy 4 方法2：xy≠0，将分式的分子、分母 同时除以y得，原式=（3x-5y-3y) （x+6xy-y）÷xy =… (1)“方法1”中运用了“分式”这一章的数 学依据是 (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补 充完整。 (3)若b=ab+a(a,b都不为0)，请求出 5b-7ab-50的值。 a-ab-b 追梦之旅真题·课本回头练 1.(9分)(1)已知6>>0，分式5的分子分母 都加上1，说明所得分式的值是增大了 还是减少了？ (2)甲、乙两位采购员两次同去一家饲料 公司购买饲料。两次饲料的价格有变化， 第一次的价格为m元/千克，第二次的价 格为n元/千克，(m、n是正数，且m≠n); 甲每次购买800千克；乙每次用去800元， 而不管购买多少饲料。 ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ ZBB·八年级数学第12页