8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 基础过关练 题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.(2025河北唐山滦南期中)圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形,则此圆柱的侧面积为(　　) A.4　　B.6　　C.6π　　D.4π 2.(2023福建漳州模拟)已知某圆锥的底面半径为1,高为,则它的侧面积与底面积的比值为(　　) A.　　B.1　　C.2　　D.4 3.(2025山东菏泽第一中学月考)四等分切割如图所示的圆柱,再将其重新组合成一个新的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则原圆柱的侧面积是(　　) A.10π　　B.20π　　C.10　　D.20 4.(2025湖南沅澧共同体期中)已知某圆台的轴截面如图所示,则该圆台的侧面积为(　　) A.3.6π m2　　B.3.8π m2　　C.4.2π m2　　D.5.4π m2 题组二　圆柱、圆锥、圆台的体积 5.(2025浙江衢州五校联盟期中)已知圆锥的底面周长为2π,侧面积为4π,则该圆锥的体积为(　　) A.π　　B.π　　C.π　　D.π 6.(2025安徽合肥六校联盟期中)某水平放置的平面图形的直观图是梯形A'B'C'D'(如图所示),已知∠A'B'C'=45°,A'D'=A'B'=B'C'=1,将该平面图形绕AB所在直线旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为(　　) A.π　　B.7π　　C.π　　D.14π 7.(2025山东百师联盟期末)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为9π,则该圆锥的体积为　　　　.  8.已知圆柱O1O2的体积为2π,侧面积为4π. (1)求圆柱O1O2的底面半径和母线长; (2)以上底面圆的圆心O1和下底面圆构成圆锥O1O2,求此圆锥的表面积. 题组三　球的表面积和体积 9.(2025重庆南开中学期中)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球的表面积与圆柱的表面积之比为(　　) A.1∶1　　B.1∶2　　C.2∶3　　D.3∶2 10.(2025天津五区县重点校期中联考)若球的表面积扩大到原来的9倍,那么该球的体积扩大到原来的(　　) A.9倍　　B.27倍　　C.81倍　　D.729倍 11.(2025湖南名校联合体期中)如图,正方形ABCD的边长为20,分别以边AB和CD的中点E,F为圆心画弧AO和CO,以直线EF为轴,弧AO,CO和线段AE,CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是　　　　.  12.(2025安徽阜阳期中)已知球心到过球面上三点A,B,C的截面的距离等于球半径的,且AC=8,BC=6,AB=10,则球的表面积是　　　　,体积是　　　　.  题组四　简单组合体的表面积和体积 13.(2025河北邯郸五校期中联考)某文物酒杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体(假设内壁光滑,杯壁厚度可忽略),如图,已知球的半径为r,酒杯内壁的面积为,则球的半径与圆柱的高的比值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 14.(2025山东聊城第一中学期中)图1为北宋影青盏托,我们不妨将该花口盏及盏托看作两个圆台与一个圆柱的组合体,如图2,三个部分的高相同,均为6 cm,上面的花口盏是底面直径分别为8 cm和10 cm的圆台,下面的盏托由底面直径为8 cm的圆柱和底面直径分别为12 cm和8 cm的圆台组合而成,则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为(　　) 　　 A.248π cm3　　B.274π cm3　　 C.354π cm3　　D.370π cm3 15.(2025广东实验中学期中)如图,一个几何体是由一个正三棱柱挖去一个倒圆锥得到的,该正三棱柱的底面边长为2,高为3.圆锥的底面圆内切于该三棱柱的上底面三角形,顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求该几何体的体积; (2)求该几何体的表面积. 能力提升练 题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1.(2025河北石家庄第一中学期中)某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5,则该圆锥的体积为(　　) A.　　B.　　 C.250π　　D.250π 2.(多选题)(2025浙江杭州重点中学期中)已知圆台形水杯盛有牛奶(不计厚度),杯口的直径为4,杯底的直径为2,杯高为4,当杯底水平放置时,牛奶面的高度为水杯高度的一半,若加入37颗大小相同、质量相等的球形椰果(椰果沉入杯底),牛奶恰好充满水杯,则(　　) A.该水杯的侧面积为12π B.该水杯里牛奶的体积为π C.放入的椰果的体积为π D.放入的椰果的半径为 3.(2025浙江嘉兴八校期中联考)如图所示,已知母线长为4的圆锥AO,其侧面展开图为半圆,BC为底面圆的直径. (1)求圆锥的底面积; (2)在该圆锥内按如图所示的方式放置一个圆柱OO1,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积. 题组二　球的表面积和体积 4.(2025浙江浙里特色联盟期中)已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°,且BC=40,则根据测得的数据可计算出球体建筑物的体积为(　　) A.1 600π　　B.π　　 C.π　　D.π 5.(2025四川乐山一中月考)某艺术吊灯如图1所示,图2是其示意图.底座ABCD是边长为4的正方形,垂直于底座且长度为6的四根吊挂线AA1,BB1,CC1,DD1一头连着底座,另一头连在球O的表面上(底座厚度忽略不计),若该艺术吊灯的总高度为14,则球O的体积为(　　) 　　 A.36π　　B.　　C.　　D.288π 题组三　简单组合体的表面积和体积 6.(多选题)(2025山西太原期中)球面被平面所截得的一部分叫做球冠,截得的圆面叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球体被平面截下的一部分叫做球缺,球缺是旋转体,可以看作球冠和其底所围成的几何体.如图1,一个球面的半径为R,球冠的高是h,球冠的表面积S=2πRh,与之对应的球缺的体积V=πh2(3R-h).如图2,已知点C是以AB为直径的圆上的点,∠AOC=,扇形AOC的面积为,将扇形AOC绕直线AB旋转一周得到一个几何体,则下列结论正确的是(　　) 　　 A.该几何体是一个球缺 B.该几何体中球冠的高为1 C.该几何体的体积为π D.该几何体的表面积为(4+2)π 7.(多选题)(2025河北邢台卓越联盟期中)如图,一个几何体是由一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是边长为6的正方形,圆柱的上、下底面圆分别内切于正三棱柱的底面三角形,则下列说法正确的是(　　) A.△ABC内切圆的半径为 B.被挖掉的圆柱的侧面积为12π C.该几何体的表面积为18+54+(12-6)π D.该几何体的体积为54-18π 8.(多选题)(2025福建师范大学附属中学期中)《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1垂直于底面,AA1=5,底面扇环所对的圆心角为,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,CD=2,则下列说法正确的是(　　) A.弧AD的长度为 B.曲池的体积为 C.曲池的表面积为20+14π D.三棱锥A-CC1D的体积为5 9.(2024浙江嘉兴当湖高级中学月考)如图所示,以线段AB为直径的半圆上有一点C,且BC=1,AC=,将图中阴影部分绕AB所在直线旋转180°得到一个几何体,则该几何体的体积为　　　　;该几何体的表面积为　　　　.  答案与分层梯度式解析 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 基础过关练 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 9.C 10.B 13.A 14.D 1.D　由题意可知圆柱的底面直径和高均为2,所以圆柱的底面周长为π×2=2π,故圆柱的侧面积为2π×2=4π. 2.C　圆锥的侧面积S1=π×1×=2π,底面积S2=π×12=π,故==2. 3.A　设原圆柱的底面半径为r,高为h,依题意可得2rh=10,所以原圆柱的侧面积为2πrh=10π. 4.B　圆台的上底面直径为3 m,下底面直径为4.6 m,高为0.6 m, 过点A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F, 故DE=CF==0.8 m,故AD=BC==1 m, 故该圆台的侧面积为π×1=3.8π m2. 5.A　设圆锥的底面半径为r,母线长为l, 则解得 则该圆锥的高h==, 故该圆锥的体积为πr2h=π. 6.C　作出梯形A'B'C'D'的平面图形ABCD,如图,在平面图形中,AD=1,AB=BC=2,∠ABC=90°, 则圆台的上底面半径r=AD=1,下底面半径R=BC=2,高h=AB=2, 则上底面面积S1=πr2=π,下底面面积S2=πR2=4π, 故圆台的体积V=(S1++S2)h=×2=π. 7.答案　9π 解析　设该圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得h=r,l=r, 则圆锥的侧面积为πrl=πr2=9π,所以r=3, 所以圆锥的体积为πr2h=π×32×3=9π. 8.解析　(1)设圆柱O1O2的底面半径为r,母线长为l, 则由圆柱O1O2的体积为2π,侧面积为4π得 解得 所以圆柱O1O2的底面半径为1,母线长为2. (2)由(1)知,圆锥O1O2的底面半径为1,高为2, 所以圆锥O1O2的母线长为=, 所以圆锥O1O2的表面积为π×12+π×1×=(1+)π. 9.C　设球的半径为r, 则S圆柱表=2πr2+2πr·2r=6πr2,S球=4πr2, 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为2∶3. 10.B　设扩大前、后球的半径分别为r1,r2, 由表面积之比为===9,得=3, 则体积之比为===33=27. 11.答案　600π 解析　以直线EF为轴,弧AO,CO和线段AE,CF旋转一周形成的面所围成的几何体是两个半径均为10的半球, 故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积, 即几何体的表面积S=4π×102+2π×102=600π. 12.答案　400π;π 解析　由题意得AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC,故△ABC外接圆的半径r==5, 设球的半径为R,则球心到截面的距离为R, 故R2+r2=R2,所以R2=4r2=100, 故球的表面积是4πR2=400π,体积为πR3=π. 13.A　设圆柱的高为h,则酒杯内壁的面积为2πr2+2πrh=,整理得=. 14.D　花口盏体积V1=π×6×(42+52+4×5)=122π cm3, 盏托体积V2=π×42×6+π×6×(42+62+4×6)=248π cm3, 所以组合体的体积V=V1+V2=370π cm3. 15.解析　(1)由已知得正三棱柱的上底面面积为×2×2×sin 60°=, ∴正三棱柱的体积为×3=3. 设正三棱柱底面三角形的内切圆的半径为r, ∴×r×(2+2+2)=,∴r=, ∴圆锥的体积为π××3=, 故该几何体的体积为3-. (2)易得倒圆锥的母线长为=, ∴倒圆锥的侧面积为×=. 又正三棱柱的表面积为2+2×3×3=2+18, 倒圆锥底面圆的面积为π×=, ∴该几何体的表面积为2+18+. 能力提升练 1.B 2.BCD 4.D 5.C 6.BCD 7.BD 8.ACD 1.B　设圆锥的母线长为l,则圆锥绕顶点S滚动至原位置时所形成的圆的半径为l,周长为2πl, 又圆锥底面半径为5,所以底面圆的周长为2π×5=10π, 因为首次转回到原位置时,圆锥恰好滚动了3周, 所以3个底面圆的周长的和等于所形成圆的周长,即3×10π=2πl,解得l=15, 所以圆锥的高h==10, 所以圆锥的体积V=×π×52×10=. 2.BCD　由题意可知圆台的上底面半径R=2,下底面半径r=1,高h=4, 设圆台的母线长为l,则l===, 故圆台的侧面积为π(r+R)l=π×3×=3π,故A错误; 牛奶面形成的圆的半径r0=(R+r)=×(2+1)=, 故水杯中牛奶的体积为(πr2+π+)×=×π++×2=π,故B正确; 水杯的体积为(πr2+πR2+)×4=×(π+4π+)×4=π, 故37颗椰果的体积为π-π=π,故C正确; 设椰果的半径为R0,则π=37×π,解得R0=,故D正确. 3.解析　(1)由题意得圆锥的侧面展开图是以4为半径的半圆,设OB=R,易得半圆的弧长为4π, 所以2πR=4π,所以R=2, 故圆锥的底面积为πR2=12π. (2)设圆柱的高OO1=h,OD=r, 在Rt△AOB中,AO==6, 易知△AO1D1∽△AOB, 所以=,即=,所以h=6-r, 所以圆柱的侧面积S=2πrh=2πr(6-r)=-2π×(r2-2r)=-2π(r-)2+6π,易得0<r<2, 所以当r=时,圆柱的侧面积最大, 此时h=3,所以V圆柱=πr2h=9π. 4.D　如图,设球的球心为O,半径为R,连接OA,OB,OC,易得AB==R,AC=, ∵BC=-R=40, ∴R== ===20, 故该球体建筑物的体积为π×203=. 5.C　过B,D,O作几何体的截面,如图所示,连接B1D1, 由题意得四边形A1B1C1D1是边长为4的正方形,则B1D1=8, 设正方形A1B1C1D1的外接圆圆心为O1,则D1O1=B1O1=4, 连接O1O并延长,交球面于点E, 则OO1⊥B1D1, 因为该艺术吊灯的总高度为14,DD1=6,所以O1E=8, 设球O的半径为R,则OO1=8-R, 连接OB1,在Rt△OO1B1中,(8-R)2+42=R2,解得R=5, 所以球O的体积为πR3=π×53=. 6.BCD　对于A,易得将扇形AOC绕直线AB旋转一周得到的几何体是组合体,下方为一个倒置的圆锥,上方为球缺,故A错误. 对于B,如图,过点C作AB的垂线,垂足为O'. 因为扇形OAC的面积为,且∠AOC=, 所以×·OA2=,解得OA=2. 又∠AOC=,所以OO'=OC·cos =1,所以O'A=1,所以该几何体中球冠的高为1,故B正确. 对于C,易得O'C=,该几何体的体积是球缺的体积加圆锥的体积,所以V几何体=×12×(3×2-1)+×()2×1=,故C正确. 对于D,该几何体的表面积为球冠的面积加圆锥的侧面积,所以S几何体=2π×2×1+π××2=(4+2)π,故D正确. 7.BD　对于A,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是边长为6的正方形,则正三棱柱底面正三角形ABC的边长为6,设正三角形ABC内切圆的半径为r,则×3×6×r=×62,所以r=,所以A错误. 对于B,由A可知圆柱的底面半径为, 因为正三棱柱的高为6(即圆柱的高), 所以被挖掉的圆柱的侧面积为2π××6=12π,所以B正确. 对于C,正三棱柱的底面积为2××62=18,侧面积为3×6×6=108,圆柱的底面积为2πr2=2π×()2=6π,侧面积为12π, 则该几何体的表面积为18+108-6π+12π=18+108+(12-6)π,所以C错误. 对于D,V三棱柱=×62×6=54,V圆柱=π×()2×6=18π, 所以该几何体的体积V=V三棱柱-V圆柱=54-18π,所以D正确. 8.ACD　设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r, ∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍,∴R=3×r,即R=3r,∴CD=R-r=2r=2,∴r=1,R=3, ∴弧AD的长度为,故A正确; 曲池的体积为×AA1=π×32-π×12×5=10π,故B错误; 曲池的表面积为×2+×5+2×5×2=×2+×3+×1×5+20=20+14π,故C正确; ==××2×3×5=5,故D正确. 9.答案　;π- 解析　所得几何体为半球挖掉两个同底的半圆锥,过点C作CO1⊥AB,垂足为O1,如图. 因为AC=,BC=1,所以AB=2,故CO1=. 故该几何体的体积V=×π×13-×××AO1-×××BO1=-××(AO1+BO1)=-××2=. 两个半圆锥的侧面积之和S1=×π××+×π××1=+π,半球的表面积S2=×4π×12=2π, 该几何体的表面中非曲面的部分为一个圆去掉两个三角形,其面积S3=π×12-2××1×=π-, 故该几何体的表面积S=S1+S2+S3=π+π+2π+π-=π-. 易错警示 　　这个几何体是旋转180°得到的,在计算体积的时候,不要忘记乘;在求表面积的时候,需要求四个部分,即两个半圆锥的侧面积,半球的表面积,圆挖掉两个三角形后的面积,在计算的时候S3容易被忽略,需要注意. 7 学科网（北京）股份有限公司 $