精品解析：重庆市第一中学2026届高三下学期适应性训练5数学试题

重庆一中高2026届高三下高考适应性训练5 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，求得即可判断元素个数. 【详解】因为集合，所以，有6个元素. 故选：D 2. 已知复数满足，则等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法化简，再根据复数模的计算公式计算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入抛物线方程得出，结合抛物线定义及准线计算求解. 【详解】为抛物线上一点，则，即， 且抛物线的准线为， 则点到其焦点的距离为. 故选：B. 4. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）. A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即. 故选：C 5. 已知第一组数据的平均数为，方差为，第二组数据的平均数为，方差为，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式计算即可. 【详解】由已知可得， ， 第二组数据， 所以， 当且仅当，即第一组数据中所有数据相等时取等号， 故选：A 6. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得，由周期性探讨函数在上的最大值中的最小值，建立不等式求出范围，然后否定结论即得答案. 【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为： ，对，不等式恒成立， 而，，令， 函数，函数的最小正周期为，不妨令， 当时，，此时，则； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，， 由，对，不等式恒成立，得， 即，而，解得， 因此当，存在，使得成立时，， 所以的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 与的夹角为 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 10. （多选）已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（ ）. A. 直线过一定点 B. 直线与圆相切 C. 点到的最大距离为 D. 的面积恒小于8 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线系方程判断直线是否过定点判断A，利用圆与直线的位置关系结合点到直线的距离判断BC，利用弦长公式得到的面积，求出面积的最大值判断D即可. 【详解】对于选项A：将直线方程变形为 ， 假设直线  过定点 ，则  对任意  恒成立， 当  时，得 ，解得 ；当  时，得 ， 将  代入方程，得 ，即 ，此式不恒成立，故假设不成立，直线  不过定点，A说法错误； 当，时，直线为， 当，时，直线为， 因为没有交点，所以直线不过定点，A说法错误； 对于选项B：圆，即，圆心为，半径， 该圆圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，B说法正确； 对于选项C：圆的圆心为，半径， 圆到直线的距离， 所以，即点到的最大距离为，C说法正确； 对于选项D：因为， 的面积， 令，由C选项可得， 因为函数在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以的面积不恒小于，D说法错误； 故选：BC 11. 已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（ ） A. 若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若为“数列”且，则 C. 若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D. 若为“2k数列”，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，所以此数列为0，1，0，1，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以至少有2项，至多有4项，且恰有两项为1， 故所有的和为：，故C正确； 对于D，因为且， 所以， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算. 【详解】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得， 所以. 13. 圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用垂直的坐标表示可得底面为矩形进而得到面积，利用点到平面的距离公式求出四棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即可得解. 【详解】因为为下底面圆的直径，点为下底面圆周上的一点，所以， 因为是圆柱的轴截面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，四边形为正方形，， 则由解得， 以分别为轴，过点垂直于平面为轴建立如图所示坐标系， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以四棱锥的体积， 故答案为： 14. 记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求得的最小值，最后应用不等式的性质即可求最大值. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与，则， 即，与矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为， 则的最大值为. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在某次数学测试中. （1）甲､乙两位同学回答同一道单项选择题，记他们的最终得分分别为.已知随机变量的分布列如下图.若，求； （2）若甲同学在此次测试中取得班级第五名，且甲同学的分数处于第90百分位数（该班每位同学的分数不同），求该班人数的取值集合. 0 5 0 5 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求得，进而求得，利用条件概率公式可求得； （2）记，分为整数和不为整数讨论可得，求解即可. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 记，将该班学生的成绩从小到大排列，若为整数， 则应取第个与第个数据的平均值作为第90百分位数， 而题干中说明该班每位同学的分数不同，所以上述平均值不在原始成绩中， 这与第90百分位数为第五名的成绩不符.故不为整数， 所以应选取第个数据作为第90百分位数 因此，即， 解得 16. 在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值2 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 由，得， 此时，即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，，得，． 所以 ．即为定值2. 【点睛】 17. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，可证得平面，利用线面垂直的性质可证结论； （2）利用体积可得，进而可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 取中点，连接，， 又因为是等边三角形，所以， 又因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1． 即, 解得，即，所以，又， 所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 又 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， . 即平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知函数，记等差数列的前n项和为，记． （1）证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； （2）证明：“”是“”的充要条件； （3）时，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）由可得答案； （2）由已知得，再由（1）可得充分性；①假设，即，利用导数判断出函数在上单调递增，得出矛盾.②假设，同①理得，矛盾.③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立.必要性得证； （3）的周期，分、、讨论，即可得. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以曲线是中心对称图形，且对称中心为，得证； 【小问2详解】 （i）先证明充分性：若，则， 所以， 所以. 所以，充分性得证； （ii）再证明必要性：若， ①假设，则，即， ，所以函数在上单调递增， ， 同理， 所以，矛盾，假设不成立. ②假设，同①理得，矛盾，假设同样不成立. ③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立. 综上，必要性得证， 所以“”是“”的充要条件； 【小问3详解】 由题设， ①时，（等号不可同时取得），此时，函数无零点. ②时，，所以此时，函数无零点， ③时，， 令， 由复合函数的性质可得函数在区间上单调递增， 时，，， 由零点存在定理：，使得， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 因为，所以， 因为在上单调递减， 由零点存在定理：，使得. 综上所述，在上有2个零点，分别为. 19. 已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为． （1）求数列的通项公式； （2）当数列的项数为时，求的值； （3）若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出的值，由得，两式作差得出，再利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）列出数列的项，对的取值进行分类讨论，列举出、、的取值，即可得出的值； （3）由题意可得，可得出，，然后对为奇数和偶数两种情况进行讨论，列举出符合条件的数列，可得出的最小 【小问1详解】 由题，，解得， 由得，两式作差得，即， 所以，，，……，， 累乘得：，即， 因为，符合上式，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 当数列的项数为4时，可知，，，， 若数列为数列的“异位数列”，则：当时，，，；或，，；或，，共3种情况． 同理当或时，对应的排列各有3种情况，所以． 【小问3详解】 因为数列为数列的“异位数列”， 所以，即，所以，所以， 当，时，若对任意的，都有，取等号， 此时，，…，，， 所以当，时，的最小值为， 当，时，的不可能取到等号，因为存在，使得， 将，，，，分为组， 不妨为，，……，，时， 可以取到等号， 此时，，……，，，，，， 此时， 所以当，时，的最小值为， 综上，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三下高考适应性训练5 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数满足，则等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 4. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）. A. 0 B. C. 2 D. 1 5. 已知第一组数据的平均数为，方差为，第二组数据的平均数为，方差为，则（ ）. A. B. C. D. 6. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 与的夹角为 D. 存在，使得 10. （多选）已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（ ）. A. 直线过一定点 B. 直线与圆相切 C. 点到的最大距离为 D. 的面积恒小于8 11. 已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（ ） A. 若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若为“数列”且，则 C. 若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D. 若为“2k数列”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 13. 圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为___________. 14. 记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在某次数学测试中. （1）甲､乙两位同学回答同一道单项选择题，记他们的最终得分分别为.已知随机变量的分布列如下图.若，求； （2）若甲同学在此次测试中取得班级第五名，且甲同学的分数处于第90百分位数（该班每位同学的分数不同），求该班人数的取值集合. 0 5 0 5 16. 在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数，记等差数列的前n项和为，记． （1）证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； （2）证明：“”是“”的充要条件； （3）时，求函数在区间上的零点个数． 19. 已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为． （1）求数列的通项公式； （2）当数列的项数为时，求的值； （3）若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $