精品解析：重庆市礼嘉中学校2026届高三下学期适应性考试（二）数学试题

重庆市礼嘉中学校高2026届适应性考试（二） 数学试题 全卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在的展开式中常数项为6，则（ ） A. B. 1 C. D. 6 4. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 7. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 的极大值为 10. 已知在中，.设函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 在区间上有且仅有3个零点 11. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 13. 甲、乙两名游客慕名来到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率________. 14. 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，点为正方形的中心，若点为直线上一动点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 16. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 17. 如图甲所示，四边形为正方形，，S为的中点.将沿直线翻折使得平面，如图乙所示. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数； （3）对于恒成立，求实数的取值范围. 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市礼嘉中学校高2026届适应性考试（二） 数学试题 全卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得集合，集合， 根据交集的定义得. 2. 复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】由得：, ∴，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D. 3. 在的展开式中常数项为6，则（ ） A. B. 1 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为0即可求解. 【详解】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 4. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】对于直线的方程为，令，则， ，， 即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得， . 5. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解. 【详解】因为，，所以. 由，得，即， 整理得， 解得，或（舍去）． 故选：C． 6. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台、圆柱及球的体积计算公式可得. 【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9， 所以该瓷器的体积为, 故选：D 7. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 8. 已知实数满足，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，且，构造函数，则为单调递增的奇函数，可得，从而求解. 【详解】， ，且， 令函数，因为其定义域为，且，且在上均单调递增， 则为单调递增的奇函数， 且， ，即， 显然. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 的极大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故B错误； 当时，，则，根据奇函数的性质，故A正确； 当时，，则有，又函数为奇函数，，故C正确； 当时，，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 是在上的极小值点，， 当时，，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 是在上的极大值点，，故D正确. 10. 已知在中，.设函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 在区间上有且仅有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 则在中，，故A正确； ， 若，则， 因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 若，则， 因为正弦函数在上存在个零点， 所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误. 11. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即. 圆：的圆心为，半径为. 由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得. 取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得，，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【解析】 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 13. 甲、乙两名游客慕名来到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率________. 【答案】## 【解析】 【详解】事件：甲和乙选择的景点不同，从个景点中任选个排列给甲乙二人种． 事件:甲和乙选择的景点不同，甲选洪崖洞，乙可任选另外个景点，同理乙选洪崖洞，甲可任选另外个景点，共种． 所以． 14. 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，点为正方形的中心，若点为直线上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件先确定点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（在平面内），通过将平面翻折到平面，与的对应点为与.由几何性质可知，而的最小值即可由余弦定理和二倍角公式计算得到. 【详解】如图，在正方体中，平面，直线与平面所成的角为（是在底面的射影）， 在中，，则 ，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（在平面内）． 将平面沿着翻折至平面，使其与平面共面，翻折后与的对应点为与.如图所示） 由几何性质可知（当且仅当在与的交点时取等号）． 在中，， 则， 由余弦定理， ， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足 ，且. （1）求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明：，因为，所以， 则. 设 相减得到； 则， 因为，所以，因此，得证. 【解析】 【分析】（1）先利用赋值思想，得出数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求解； （2）首先利用数列放缩思想将扩大成，进行错位相减求和即可比较出与的大小关系. 【小问1详解】 已知，令，则，因为 ，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则. 【小问2详解】 略 16. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 【答案】（1）“联网搜索”模式的测评得分最高，理由如下： 设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为， ， 因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高． （2） 0 2 3 0.108 0.648 0.244 【解析】 【分析】（1）根据题中统计表，结合均值的定义进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 “联网搜索”模式的测评得分最高，理由略. 【小问2详解】 三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3 ， , ， 所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为： 0 2 3 0.108 0.648 0.244 17. 如图甲所示，四边形为正方形，，S为的中点.将沿直线翻折使得平面，如图乙所示. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直得到，又，从而平面，得到面面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取PQ的中点为O，MN的中点为E，为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，如图建立空间直角坐标系， 设，则，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以，显然平面的法向量为， 设平面与平面所成二面角为，从图中可以看出为锐角， 则. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的零点个数； （3）对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数，结合零点存在性定理，分段探讨函数的零点即可. （3）构造函数，利用导数分类讨论的最值情况求解. 【小问1详解】 函数，求导得，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，函数和都为增函数，则函数为增函数， 而，，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，， 因此函数在上无零点； 当时，，当时，， 即当时，，函数在上单调递增，又， 于是函数在上有1个零点， 所以函数在上有1个零点. 【小问3详解】 令，，， 求导得， 令，求导得， 函数，即在上单调递增， ①当，即时，， 函数在上单调递增，，在上恒成立； ②当，即时，，由函数在上的图象连续不断， 知，当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以实数m的取值范围是. 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）数列是等比数列，公比为 （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 故E的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. 【小问3详解】 直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $