精品解析：重庆市礼嘉中学校2025-2026学年高三下学期适应性考试一数学试题

重庆市礼嘉中学校高2026届适应性考试一 数学试题 全卷满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上. 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项. 3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知数列与均为等差数列，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 148 B. C. D. 196 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B. 设X为随机变量,则 C. ,则, D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，则________. 13. 已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的前项和的最大值为___________． 14. 双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）若是奇函数，求； （2）当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 17. 四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线与平面MAB所成角的正弦值. 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 19. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市礼嘉中学校高2026届适应性考试一 数学试题 全卷满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上. 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项. 3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 3. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 4. 已知数列与均为等差数列，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即 ， 根据等差数列的性质可知， 所以. 故选:B. 5. 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】由可得 ， 故选：C 7. 如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 148 B. C. D. 196 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设线段，，，的中点分别为，，，，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段，的中点分别为，， 则，设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为，则，， 所以，则该方斗杯可盛水的总体积为. 故选:D. 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定的代入判断，对于C，可通过构造函数，由其单调性和最值，确定方程有解判断，对于D，取，通过和分析方程无解，可判断. 【详解】对于A， ，定义域为， 取，，即，A可能， 对于B， ，定义域为， 取，，即，B可能， 对于C，，定义域为， 由， ， ， ， 构造函数，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值，且当时，， 即存在，使得，即， 也即存在，使得，C可能， 对于D，，定义域为， 由得， 取，方程为：， 当时，不成立， 当时，两边取对数得， 即，因为，显然此方程无解， 综上可知：当时，不存在满足条件，即D不可能. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B. 设X为随机变量,则 C. ,则, D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机事件的独立性、随机变量的方差与期望的关系、二项分布的期望与方差、正态分布的对称性逐一严格推导每个选项的正确性，排除错误选项. 【详解】对于A，先证必要性：若相互独立，则， 所以， 再证充分性：若，则， 所以，即，说明与相互独立， 所以随机事件A,B相互独立的充要条件是，故A正确； 对于B，由于，则， 所以， 即，所以B正确； 对于C，由,则,，故C错误； 对于D，因为,记函数,, 所以对任意，有， 由正态分布的对称性：， 因此， 即的图象关于点对称，故D正确. 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时，，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当时，曲线C：，即，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时，，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，则________. 【答案】 【解析】 【详解】， 又，为单位向量，故，解得， 又，所以. 13. 已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的前项和的最大值为___________． 【答案】36 【解析】 【分析】先根据成等比数列求等差数列的公差，进而确定数列的通项公式，根据确定最大时的值，再利用等差数列的求和公式求. 【详解】设数列公差为，由成等比数列， 得， 又，所以. 所以. 由. 所以的前项和取得最大值，且. 14. 双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率. 【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以. 由直线与的一条渐近线平行可得，所以， 又由双曲线定义可得，所以，得，所以. 由得，即，整理得， 所以，，离心率. 【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）若是奇函数，求； （2）当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用奇函数的定义得出恒成立，则，由此可得出的取值；解法二：利用奇函数的性质得出，可得出的取值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）解法一：由，得，可得出或， 解出的表达式，令，，可得出，结合等差数列的求和公式可求得结果； 解法二：由，可得，所以或，解出的表达式，令，，可得出，结合等差数列的求和公式可求得结果； 解法三：分析可知是的一个周期，由，可得，求出该方程在的解，，则是以为首项，为公差的等差数列，可得出，结合等差数列的求和公式可求得结果. 【小问1详解】 解法一：因为为奇函数，所以， 即恒成立． 得恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得． 解法二：因为为上的奇函数，所以， 所以，解得， 经检验，是奇函数，所以． 【小问2详解】 解法一：因为，所以， 令，则， 所以或， 解得或， 令，， 所以，， 又因为，故， 所以， 所以． 解法二：因为，所以， 令，则， 所以，所以或， 所以或， 解得或， 令，， 所以，， 又因为，故， 所以， 所以． 解法三：因为，所以， 因为，所以是的一个周期， 当时，令，则， 所以，所以或， 当时，解得， 所以在区间的零点之和为， 令， ， 所以， 且， 则是以为首项，为公差的等差数列， 所以． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 当时，因为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去； (ii)当时，显然成立； (iii)当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述，的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以； (ii)当时，恒成立，所以； (iii)当时，可得． 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以． 综上所述，的取值范围为． 17. 四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线与平面MAB所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用边长关系可得，结合线面垂直的判定定理可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取的中点，连接，可得平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,过点作，可得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，求出平面MAB的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为菱形，， 由棱柱得平面平面， 所以。 因为是​ 中点，所以， 由于在 中：， 所以，解得：， 则 所以 ​，即 因为侧面 是矩形， 由，都在平面内， 平面， 因为，平面， 平面  因为平面， ⇒平面 平面. 【小问2详解】 取的中点，连接 因为分别为的中点，，且， 所以四边形为平行四边形， 所以 因为侧面是矩形,所以， 则平面与平面所成二面角的平面角为, 过点作， 因为平面平面，平面平面， 由，所以平面， 因为，则，， 以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 所以， ，， 设平面MAB的一个法向量为, 则，取，则， 设与平面MAB所成角为， 则 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 【小问2详解】 （i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 19. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【答案】（1）； （2）（i）或；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等差椭圆的定义，结合构造齐次式即可得解； （2）（ⅰ）设切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，利用判别式求解即可；（ⅱ）利用点差法求，利用韦达定理求出点坐标，然后可解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c， 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. 【小问2详解】 （ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得. 故，. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；① 联立消去得， 则，得，② 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或. （ⅱ）证明：设l与相交于，， 线段CD的中点，则，， 两式相减，得， 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 联立得， 又，则， 故， 所以中点的坐标为，可得， 所以，为N定值. 【点睛】关键点睛：本题关键在于灵活利用点差法求出，降低计算量，再由中点坐标公式和韦达定理求点N坐标即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $