精品解析：宁夏银川外国语实验学校2025-2026学年第二学期阶段性检测八年级数学试卷

银川外国语实验学校2025-2026学年第二学期阶段性检测 初二数学试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形是解决问题的关键． 2. 设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，，本选项式子错误； B，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，，本选项式子错误； C，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，本选项式子错误； D，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，不等式两边同时加同一个正数，不等号不变，，本选项式子正确． 3. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意． B、∵， ∴ ∴是直角三角形，不符合题意． C、∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，符合题意． D、∵ ∴可设， 则 ， ∴ ∴是直角三角形，不符合题意； 4. 证明“三角形内角和为180度”时，若用反证法，可假设（ ） A. 内角和为180度 B. 内角和为a（度） C. 至少一个角小于90度 D. 三角形为直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的假设步骤，反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，即写出原结论的否定，再结合选项判断即可． 【详解】∵原命题结论为“三角形内角和度”， ∴该结论的否定为“三角形内角和不等于度”． 5. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处． 6. 如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的m的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得：，得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴，解得：． ∴m的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的解和一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 9. 如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①；的长是变化的，而是定值，可判断②；由全等三角形的性质得到，再由线段的和差关系可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④． 【详解】解：∵中，，，D是的中点， ，，， ， ， ， ， ，故①正确； ∴， ∴， ∵的长是变化的， ∴的长是变化的，而的长是定值， 和不一定相等，故②错误； ∵， ∴， ，故③正确； ∵， ， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①③④． 10. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小． 【详解】解：是正三角形， ， 正五边形的内角和为， ， 是的外角， ， ， 故答案为：． 12. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作图得平分， ∵， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， ∴的面积； 故答案为：2． 14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 15. 等腰三角形中，则的度数是________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①是顶角；②是底角，③是底角，利用三角形的内角和进行求解． 【详解】解：等腰三角形中， ①当是顶角， ； ②是底角， 有； ③是底角， 有， 综上所述，的度数是或或， 故答案为：或或． 16. 若关于x的一元一次不等式组无实数解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解第二个不等式，再根据不等式组无实数解得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式：， 移项得 ：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组无实数解， 可得：， 解得： ． 17. 将直角边为12cm的等腰直角三角形ABC绕点A顺时针旋转15º后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是_____cm2． 【答案】 【解析】 【详解】解：易知阴影部分的直角边A=12cm，较小的锐角为30°， 设另一条直角边长为， 则， 所以面积为 故答案为：． 18. 若关于x的一元一次不等式组，有且仅有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解集，根据不等式组有且仅有3个整数解确定不等式组的整数解即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵关于x的一元一次不等式组，有且仅有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为1，2，3， ∴． 19. 某校高一新生中有若干名住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，问：住宿生最多有______名． 【答案】 【解析】 【分析】设一共有x间宿舍，则住宿生有名，根据每间住6人，则有一间宿舍不空也不满建立不等式组求解即可． 【详解】解：设一共有x间宿舍，则住宿生有名， 由题意得，， 解得， ∵住宿生有名， ∴x的值越大，住宿生越多， ∵x为正整数， ∴的最大值为12， ∴住宿生最多有（名）． 20. 如图，在中，，是的平分线，．若点P是上一动点，且作于点N，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作点N关于的对称点E，连接，可证明点E在线段上，，根据，可知当C、P、E三点共线时，有最小值，最小值为的长，且此时，，求出即可． 【详解】解：作点N关于的对称点E，连接， ∴， ∵是的平分线， ∴点E在线段上， 又∵， ∴ ∴， ∵于点N， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时，有最小值，最小值为的长，且此时， 在直角中，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即的最小值是． 三、解答题（60分） 21. 解不等式组：，并且解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析，整数解为0，1，2． 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ∴原不等式组的整数解为0，1，2． 22. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点成中心对称的； （2）若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； （3）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【答案】（1）画图见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【小问1详解】 解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示： 【小问2详解】 解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为： 23. 阅读：解不等式． 解：因为两数相乘，异号得负， 所以①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得无解． 所以原不等式的解集为． 利用上面的信息解不等式． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据两数相除同号得正，异号得负，可得不等式组或，分别求出两个不等式组的解集，即为不等式的解集． 【详解】解：， 或， 解不等式组， 可得：； 解不等式组， 可得：， 综上所述，不等式的解集为或． 24. 如图，中，D为边上一点，于点E，的延长线交的延长线于点F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直得，即，，根据，故，因为对顶角相等，得，再进行角的等量代换，即可作答． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 25. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． （1）不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； （3）已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了“友好不等式”，一元一次不等式组的解集，理解题意，借助数轴数形结合是解题的关键． （1）由不等式和有个公共解，判断即可； （2）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集没有公共解，从而得出的范围； （3）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集有公共解，利用数轴，可知，从而得出答案． 【小问1详解】 解：不等式和有个公共解， 所以不等式是的“友好不等式”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 关于x的不等式不是的“友好不等式”， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解， 26. 如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． （2）若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． （3）在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． 【小问2详解】 解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． 【小问3详解】 解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 27. 2021年元旦班级活动中，西大附中初2023级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对本学年各方面表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元． （1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？ （2）根据班级商量，决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案． 【答案】（1）本子单价是7元，笔的单价是2元；（2）有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件；购进本子44件，笔购进106件；购进本子45件，笔购进105件． 【解析】 【分析】（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案； （2）设购进本子a件，则笔购进（150-a）件，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案． 【详解】解：（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意得， ，解得， 答：本子单价是7元，笔的单价是2元． （2）设购进本子a件，则笔购进（150-a）件，由题意得， ，解得42≤a≤45， ∵a为整数， ∴a=43，44，45． ∴有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件； 购进本子44件，笔购进106件； 购进本子45件，笔购进105件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式组． 28. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转． （1）当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如图2． ①当时，旋转角的大小为 ． ②当时，直接写出此时旋转角的大小 （用含的式子表示）． （2）当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由． 【答案】（1）① ② （2）正确，理由见详解 【解析】 【分析】（1）找到旋转图形与原图形的对应边，利用对应边相等得到等腰三角形，进行求解． （2）利用倍长中线构造全等三角形，得到新的条件，再利用新条件找到全等三角形，解出最后的答案． 【小问1详解】 ①解：由题意知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴旋转角的大小为． ②解：由题意知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴旋转角的大小为． 【小问2详解】 解：的面积与的面积相等，理由如下： 如图所示，作线段的中点，连接，延长到点，使， ， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转与倍长中线，解题的关键点是找准对应边，确定旋转角． 29. 如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． （1）求的长； （2）动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川外国语实验学校2025-2026学年第二学期阶段性检测 初二数学试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 证明“三角形内角和为180度”时，若用反证法，可假设（ ） A. 内角和为180度 B. 内角和为a（度） C. 至少一个角小于90度 D. 三角形为直角三角形 5. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（ ）     A. B. C. D. 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的m的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是______． 12. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围为________． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 15. 等腰三角形中，则的度数是________________． 16. 若关于x的一元一次不等式组无实数解，则的取值范围为______． 17. 将直角边为12cm的等腰直角三角形ABC绕点A顺时针旋转15º后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是_____cm2． 18. 若关于x的一元一次不等式组，有且仅有3个整数解，则m的取值范围为______． 19. 某校高一新生中有若干名住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，问：住宿生最多有______名． 20. 如图，在中，，是的平分线，．若点P是上一动点，且作于点N，则的最小值是______． 三、解答题（60分） 21. 解不等式组：，并且解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 22. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点成中心对称的； （2）若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； （3）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 23. 阅读：解不等式． 解：因为两数相乘，异号得负， 所以①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得无解． 所以原不等式的解集为． 利用上面的信息解不等式． 24. 如图，中，D为边上一点，于点E，的延长线交的延长线于点F，且．求证：是等腰三角形． 25. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． （1）不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； （3）已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 26. 如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． （2）若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． （3）在（2）的条件下，求四边形的面积． 27. 2021年元旦班级活动中，西大附中初2023级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对本学年各方面表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元． （1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？ （2）根据班级商量，决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案． 28. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转． （1）当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如图2． ①当时，旋转角的大小为 ． ②当时，直接写出此时旋转角的大小 （用含的式子表示）． （2）当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由． 29. 如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． （1）求的长； （2）动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $