海南万宁市北京师范大学万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

Sheet1 2025-2026学年第二学期高二期中考试 数学 学科命题细目表 题号 题型 考查知识点 难度系数 分值 1 单选题 交并补混合运算 0.95 5 2 单选题 等比中项的应用 0.94 5 3 单选题 分类加法计数原理、数字排列问题 0.85 5 4 单选题 条件概率 0.85 5 5 单选题 离散型随机变量的分布列、期望、方差 0.84 5 6 单选题 整除和余数问题、导数的运算法则 0.82 5 7 单选题 利用导数研究不等式恒成立问题 0.7 5 8 单选题 导数、函数的构造 0.5 5 9 多选题 组合数的性质及应用 0.94 6 10 多选题 前n项和与通项关系、前n项和与n的比所组成的等差数列、等差数列与等比数列综合应用 0.85 6 11 多选题 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 0.4 6 12 填空题 均值的性质、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 0.94 5 13 填空题 据前n项和公式求数列的通项公式 0.9 5 14 填空题 函数与导函数图象之间的关系、根据极值求参数 0.7 5 15 解答题 排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 0.95 13 16 解答题 面积、体积最大问题 0.85 15 17 解答题 裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列与等比数列综合应用 0.76 15 18 解答题 离散型随机变量的分布列 0.72 17 19 解答题 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、求等比数列前n项和 0.26 17 20 21 22 23 Sheet2 Sheet3 $ ( 贴 条 码 区 域 (由考生本人粘贴 请勿贴出区域外) ) ( 北师大万宁实验学校2025-2026学年 第二 学期 期中考试 (高 二 ) 数学答题卡 ) ( 考号 ： 姓名： 班级： 学校： 缺考 违纪 正确填涂 填涂要求 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、班级填涂清楚。第 Ⅰ 卷答题区域使用2B铅笔填涂，第 Ⅱ 答题区域用黑色签字笔书写，要求字迹工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，第 Ⅰ 卷答题区域修改时，用橡皮擦擦干净，第 Ⅱ 答题区域修改禁用涂改液及胶条。 ) ( 一 .单选题 （ 每小题5分，共40分 ） ) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ( 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) 二.多选题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 三、填空题（3×5=15分） 12. 13. 14. ( 此区域禁止答题 ) ( 1 5 .（ 13 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 北师大万宁实验学校 数学 答题卡 第 1 页 共 6 页 北师大万宁实验学校 数学 答题卡 第 2 页 共 6 页 北师大万宁实验学校 数学 答题卡 第 3 页 共 6 页 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 17 .（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 9 .（1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 北师大万宁实验学校 数学 答题卡 第 4 页 共 6 页 北师大万宁实验学校 数学 答题卡 第 5 页 共 6 页 北师大万宁实验学校 数学 答题卡 第 6 页 共 6 页 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试(高二) 数学答案解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C C B C B BC ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【知识点】交并补混合运算 【详解】由可得：， 因为，所以. 2．A 【知识点】等比中项的应用 【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以， 又由等比中项性质，，所以， 又设公比为，，所以所以 . 故选：A. 3. A 【知识点】条件概率 【详解】因，则. 4．C 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 5．C【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 6．B【知识点】整除和余数问题、导数的运算法则 【分析】两边求导数，赋值令可转化为求被8除的余数，根据二项展开式可转化为求被8除的余数. 【详解】已知， 两边取导数可得，， 令，可得， 而， 所以被8除的余数即为被8除的余数， 而被8除的余数为2， 故选：B 7．C【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可求解. 【详解】由题意知对任意恒成立，所以对任意恒成立. 记，则，当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 所以，故a的最小值为. 8．B【分析】利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围． 【详解】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得，单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足，的取值范围是． 9．BC【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的计算即可求解 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：BC. 10．ACD【知识点】前n项和与通项关系、前n项和与n的比所组成的等差数列、等差数列与等比数列综合应用 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 11．ACD【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对. 12． 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【详解】； . 13． 【知识点】据前n项和公式求数列的通项公式 【详解】当时，； 当时，； 对于上式，当时，，所以不满足上式， 所以的通项公式为. 14． 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、根据极值求参数 【分析】根据导数图象确定原函数单调性，进而确定极值点，从而列方程，解方程即可得各参数值. 【详解】由图象可知当上时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取得极大值，即； 又，， 则，解得， 即，故答案为：；. 15．(1)(2)(3) 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 【分析】（1）利用插空法求解； （2）顺序一定的排列问题，用倍缩法求解； （3）利用捆绑法，先排小团体，再和其他元素一起全排列. 【详解】（1）先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有种方法； （2）法一：共有6个位置，先排甲和乙之外的4人，有种方法，剩下的2个位置排甲和乙，有1种排法， 所以共有种方法； 法二：首先6个人全排列，再除以甲和乙全排列的顺序，即种方法； （3）先从甲和乙之外的4人选1人，站在男生甲和男生乙之间，这3人看成一个元素，甲和乙全排列，有种方法， 再和其他的3人，共看成4个元素全排列，有种方法，所以共有种方法. 16．两段铁丝的长度均为. 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积，利用导数求它的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可. 【详解】 (1)设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和， (2)由（1）得， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 17．（Ⅰ）或（Ⅱ） 【知识点】裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列与等比数列综合应用 【解析】（Ⅰ）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项； （Ⅱ）把（Ⅰ）解得的代入中，化简得 ，然后利用裂项相消法求和. 【详解】解：（Ⅰ）∵，∴① ∵，，成等比数列，∴，∴化简得， 若， 若，②，由①②可得，， 所以数列的通项公式是或 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴ 【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题. 18．(1) (2)分布列答案见解析 (3) 【分析】（1）设袋中的白球个数为，由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）记事件乙取到白球，可得出，结合（2）中的分布列可求得结果. 【详解】（1）解：设袋中的白球个数为，由题意可得， 整理可得，又因为且，解得， 因此，袋中白球的个数为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， 则，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： （3）解：由题意可知，记事件乙取到白球，则事件即为“第二次或第四次取到白球”， 所以，. 19．(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据，可知存在，使得，即，从而可得极小值为，求出，从而可得a的取值范围； （3）由（2）可知，当时，恒成立，即，令可得，，，，两边求和可证. 【详解】（1）当时，，， 则， 故切线的方程为， 即； （2）由于， 当时，定义域为， 由于趋于时，趋于，而趋于， 所以不能恒成立， 因此，此时定义域为， 又， 根据函数和的图象性质， 可知存在，使得，即， 且当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以为函数的极小值点， 极小值为 设，则恒成立， 则在上单调递减，且， 所以，又因为， 则，即a的取值范围为； （3）由（2）可知，当时，恒成立， 即，也就是， 所以，，，， 累加求和得， 即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试(高二) 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题：高一数学组 审题：高一数学组 1、 选择题（共8题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知全集，集合，则 =（    ） A． B． C． D． 2．若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 3．设A，B为两个事件，且，，则（    ） A． B．1 C． D． 4．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．40个 B．48个 C．52个 D．64个 5．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A. B.7 C.21 D.22 6．已知，则被8除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错的0分。） 9．若，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．曲线在处的切线与直线垂直 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 13．已知数列的前项和为，则的通项公式为______. 14．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则______；______. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本小题13分）3个男生与3个女生站成一排． (1)若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？ (2)若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？ (3)若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？ 16． （本小题15分）将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， （1） 设一个正方形的边长为，用函数关系式表示两个正方形的面积和。 (2)要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 17．（本小题15分）已知等差数列，若，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，设，求数列的前项和． 18．（本小题17分）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量的分布列； (3)求乙取到白球的概率. 19．（本小题17分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明： 第 1 页 共 2 页 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $