精品解析：海南省海口市海南中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

海南中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题人：方成林 审题人：林丽 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分 考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有（ ）种. A. B. C. D. 2. 有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 9 B. 10.5 C. 10 D. 9.5 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则864的不同正因数个数为（ ） A. 12 B. 15 C. 24 D. 20 5. 若，则（ ） A. 240 B. 244 C. 120 D. 122 6. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. “五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则不同的报名情况总共有（ ） A 360种 B. 316种 C. 288种 D. 216种 8. 设正四面体的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了5米之后恰好位于顶点的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校开展了“爱祖国，跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50至100分之间，现随机抽取200名学生的成绩，进行适当分组后，画出如下图的频率分布直方图，则（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有50人 B. 图中的值为0.040 C. 估计全校学生成绩的众数为95 D. 估计全校学生成绩的分位数为92.5 10. 某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 该同学投篮最有可能命中9次 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机事件和互斥，且，，则______. 13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 14. 如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望. 16. 某电动车厂在两条生产线上同时进行工艺比较实验。为了比较某项指标的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的值，并计算得到其平均数，中位数，随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的值，并绘制成如下的频率分布直方图. （1）求乙生产线的产品指标值的平均数与中位数（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生产线较甲生产线的产品指标值是否更好.（若，则认为乙生产线的产品指标值较甲生产线的产品指标值更好，否则不认为更好）； （2）用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取6件产品，抽出指标值不小于70的产品个数用表示，求的数学期望与方差. 17. 某公司生产了两箱产品，甲箱的产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品． （1）从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率． 18. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. （1）试分别估计甲在区、区投篮命中概率； （2）若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 19. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题人：方成林 审题人：林丽 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分 考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层随机抽样先求出初中部和高中部抽取的人数，再根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意可知初中部抽取（人），高中部抽取（人）， 因此初中部不同的抽样结果有，高中部不同的抽样结果有， 根据分步乘法计数原理可得不同的抽样结果共有种， 故选：B 2. 有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 9 B. 10.5 C. 10 D. 9.5 【答案】D 【解析】 【分析】由中位数、众数、极差和百分位数的定义求解即可. 【详解】将5人投中的次数从小到大排列，因为中位数是10，即第三个数是10， 众数是11，所以第四、第五位数是11. 极差是3，所以第一个数是8，且众数唯一，所以第二个数是9. 所以这五个数依次是8，9，10，11，11， 则该组数据的第40百分位数是. 故选：D. 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故； 第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得， 故选：B 4. 已知，则864的不同正因数个数为（ ） A. 12 B. 15 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据因数分解式，利用正因数个数的计算公式来求解864不同正因数的个数. 方法二：利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】方法一： 对于一个数，其中为质数，为正整数， 它的正因数个数. 根据这个公式可知，的正因数个数为. 方法二： 因为，那么864的正因数一定可以写成的形式，其中为非负整数. 对于（2的指数）：由于2的指数在864的分解式中最高次是5，且为非负整数， 所以的取值可以是0，1，2，3，4，5，共6种情况 . 对于（3的指数）：因为3的指数在864的分解式中最高次是3，且为非负整数， 所以的取值可以是0，1，2，3，共4种情况 . 根据分步乘法计数原理，的正因数个数为. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. 240 B. 244 C. 120 D. 122 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别令和，两式相减，求得，即可求解. 【详解】由， 令，可得， 令，可得， 两式相减，可得，所以. 故选：D. 6. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出总的排列种数，然后求出2个0相邻的排列种数，进而得到2个0相邻的概率，最后即可求得2个0不相邻的概率. 【详解】将5个1和2个0随机排成一行，总的排列种数为： . 2个0相邻排列种数为第1，2位置，第2，3位置，第3，4位置，第4，5位置，第5，6位置，第6，7位置共6种. 所以2个0相邻的概率为. 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 7. “五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则不同的报名情况总共有（ ） A. 360种 B. 316种 C. 288种 D. 216种 【答案】C 【解析】 【分析】根据四人是否有人选择“乔家大院”线路进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若四人中，没有人选择“乔家大院”线路，， 则方法数有种. 若四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路， 则方法数有种. 所以他们报名情况总共有种. 故选：C 8. 设正四面体的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了5米之后恰好位于顶点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件“经过n次爬行后，蚂蚁到达A点”，设n次爬行后，蚂蚁到达A点的概率为，由，由全概率计算公式得到，进而可求解. 【详解】记事件“经过n次爬行后，蚂蚁到达A点”，设n次爬行后，蚂蚁到达A点的概率为，，则有，， 所以 ， 即， 故，又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即 所以， 则， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校开展了“爱祖国，跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50至100分之间，现随机抽取200名学生的成绩，进行适当分组后，画出如下图的频率分布直方图，则（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有50人 B. 图中的值为0.040 C. 估计全校学生成绩的众数为95 D. 估计全校学生成绩的分位数为92.5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，首先求出成绩在区间内的频率，进而根据总人数可求得成绩在区间内的学生人数；对于选项B，根据频率直方图中矩形面积之和为1即可求解；对于选项C，根据众数的定义可求解；对于选项D，根据百分位数的定义即可求得70%分位数. 【详解】对于选项A： 由图可知，成绩在区间内的频率为，抽取学生总数为200名， 则该区间学生人数为人，并非50人，所以选项 A 错误； 对于选项B： 由频率分布直方图所有矩形面积之和为1，可得. 解得，所以选项 B 正确; 对于选项C： 众数是频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标， 此图中最高矩形是成绩在这一组，其底边中点横坐标为， 所以估计全校学生成绩的众数为95 ，选项 C 正确； 对于选项D： 设70%分位数为.因为成绩在的频率为， 而成绩在的频率为1，所以在内. 根据分位数计算公式 ，解得， 所以估计全校学生成绩的70%分位数为92.5 ，选项 D 正确. 故选：BCD. 10. 某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 该同学投篮最有可能命中9次 【答案】AB 【解析】 【分析】由二项分布的定义以及方差、期望的性质判断ABC，再由判断D. 【详解】由二项分布的定义可知，，故A正确， 则，， 所以，故B正确， ，故C错误； 设该同学投篮最有可能命中次，则 ， 则，解得， 又，所以，故D错误； 故选：AB. 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机事件和互斥，且，，则______. 【答案】0.4 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】因为随机事件和互斥，，， 所以，得， 所以. 故答案为： 13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可. 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：. ∴通项公式， 令，解得. ∴展开式中含项的系数为. 故答案为：. 14. 如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答） 【答案】210 【解析】 【分析】将7只气球编号，从下往上，从右往左依次编号为1，2，3，4，5，6，7，问题等价于求7只气球的排列，且1在2的前面，2在3的前面，4在5的前面，6在7的前面的排法总数，求解即可. 【详解】将7只气球编号，从下往上，从右往左依次编号为1，2，3，4，5，6，7，如图， 问题等价于求7只气球的排列，且1在2的前面，2在3的前面，4在5的前面，6在7的前面的排法总数，则总共有种排法. 故答案：210. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望： 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求概率的公式求概率即可； （2）利用古典概型求概率的公式求概率，然后写分布列，最后求期望即可. 【小问1详解】 设甲测试合格为事件，则. 【小问2详解】 甲答对的试题数可以为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 某电动车厂在两条生产线上同时进行工艺比较实验。为了比较某项指标对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的值，并计算得到其平均数，中位数，随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的值，并绘制成如下的频率分布直方图. （1）求乙生产线的产品指标值的平均数与中位数（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生产线较甲生产线的产品指标值是否更好.（若，则认为乙生产线的产品指标值较甲生产线的产品指标值更好，否则不认为更好）； （2）用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取6件产品，抽出指标值不小于70的产品个数用表示，求的数学期望与方差. 【答案】（1），，乙生产线较甲生产线的产品指标值更好 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平均值及中位数的定义求解，再根据新定义验证即可； （2）根据二项分布的期望、方差公式计算即可. 【小问1详解】 . 因为，， 所以中位数在区间，则， 解得，即中位数. 因为， 所以乙生产线较甲生产线的产品指标值更好. 【小问2详解】 乙生产线上指标值不小于70的概率为. 由题意，可得， 所以，. 17. 某公司生产了两箱产品，甲箱的产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品． （1）从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，由 求解. 【小问1详解】 解：从甲箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为；从乙箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为． 所以2个产品都是次品的概率为 【小问2详解】 设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥． ，，， ，，， 所以， . 18. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. （1）试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； （2）若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 【答案】（1）， （2） （3）6次 【解析】 【分析】（1）通过表中的数据，用投进的次数除以总次数即可估计投篮命中的概率. （2）根据题意先将区投篮得分高于区投篮得分的情况，然后针对每种情况求概率，最后将求得的概率相加就是最后的结果. （3）首先求出甲在区投篮一次的期望值，然后根据题意列出不等式，进而可求得最大值. 【小问1详解】 甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为； 甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. 【小问2详解】 由（1），知甲在区投篮进球的概率为，在区投篮进球的概率为. 甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分可能是0，3，6. 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率为， 区4分区0分，概率为， 区4分区3分，概率为， 区6分区0分，概率为， 区6分区3分，概率为. 故甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为. 【小问3详解】 由题意，知甲在区投篮一次得分的期望值是， 甲在区投篮一次得分的期望值是. 设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值为，解得. 故甲选择在区投篮的次数最多是6次. 19. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）0.8186 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）①由条件概率得到，证明出结论； ②由①，得，从而元件B，C必须至少有一个正常工作，所求概率为. 【小问1详解】 ，其中，故， ， 由题设，得，， ； 【小问2详解】 ①由题设，得 ， . 所以. ②由①，得， 所以第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$