题海探秘01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7考点复习指南-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7考点复习指南 知识点01：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点02：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点03：两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 考点1 分类加法计数原理的应用 1．（2026高二·河北保定·期中）某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种．不同的包装选择种数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026高二·全国·课堂例题）高三·一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三·二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三·三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从高三·一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 4．（2026高二·河北雄安·月考）某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．11种 C．10种 D．9种 5．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）某实验室的5名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥．过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥．过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥．两人同行时，过桥用时以较慢者为准．5名技术人员单独过桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、8分钟、9分钟．则这5人全部过桥的最短时间为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 考点2 分步乘法计数原理的应用 6．（2026高二·河北沧州·期中）河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．125 B．60 C．25 D．10 7．（2026高二·河北石家庄·期中）李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（    ） A．12种 B．10种 C．7种 D．5种 8．（2026高二·江苏苏州·期中）甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 10．（2026高二·江苏南京·期末）某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 11．（2026高二·河南新乡·期中）河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 12．（2026高二·陕西安康·期中）现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（    ） A． B． C． D． 考点3 代数中的计数问题 13．（2026高二·重庆·月考）4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（    ） A．4种 B．15种 C．16种 D．24种 14．（2026高二·全国·课堂例题）现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 15．（2026高二·全国·专题练习）现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 16．（2026高三·全国·专题练习）有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号______种. 考点4 几何计数问题 17．（2026·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 18．（2026高二·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 19．（2026·全国）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A．95 B．91 C．88 D．75 20．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 考点5 数字排列问题 21．（2026高二·贵州黔西南·月考）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成______（用数字表示）个三位数. 22．（2026高二·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 23．（2026高一·浙江杭州·月考）将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 24．（2026高二·全国·课后作业）从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． 25．（2026高三·湖南长沙·月考）从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 26．（2026高三·全国·专题练习）由数字1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为______. 考点6 涂色问题 27．（2026高二·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 28．（2026高二·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 29．（2026高二·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 30．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 31．（2026高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给图中的六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且五种颜色要用完，则共有涂色方法______种.    32．（2026高二·山东聊城·期末）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 33．（2026高二·云南临沧·月考）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 34．（2026·辽宁·模拟预测）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A． B． C． D． 35．（2026高二·广东·月考）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 考点7 两个计数原理的综合应用 36．（2026·福建福州·模拟预测）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种. 37．（2026高二·山东泰安·月考）有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 38．（2026高二·天津·月考）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 39．（2026高二·全国·课后作业）用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． (1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若，求． 40．（2026高二·山东菏泽·月考）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7考点复习指南 知识点01：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点02：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点03：两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 考点1 分类加法计数原理的应用 1．（2026高二·河北保定·期中）某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种．不同的包装选择种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照分类加法计数原理和分类乘法计数原理计算即可. 【详解】方式一：共种选择； 方式二：第一步先从种材质中选种，有种选择， 第二步再从种配色方案中选种，有种选择，共有种选择； 因此方式一和方式二共有种选择. 2．（2026高二·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 3．（2026高二·全国·课堂例题）高三·一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三·二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三·三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从高三·一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)165 (2)80 【分析】利用分类加法计数原理将问题分成三类，分别计算可得出（1）（2）中的结果. 【详解】（1）分三类： 第一类选法，从高三·一班中任选一名，有50种不同的方法； 第二类选法，从高三·二班中任选一名，有60种不同的方法； 第三类选法，从高三·三班中任选一名，有55种不同的方法． 根据分类加法计数原理，得（种），因此共有165种不同的选法． （2）分三类： 第一类选法，从高三·一班男生中任选一名，有30种不同的方法； 第二类选法，从高三·二班男生中任选一名，有30种不同的方法； 第三类选法，从高三·三班女生中任选一名，有20种不同的方法． 根据分类加法计数原理，得（种）． 故共有80种不同的选法． 4．（2026高二·河北雄安·月考）某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．11种 C．10种 D．9种 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】种. 5．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）某实验室的5名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥．过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥．过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥．两人同行时，过桥用时以较慢者为准．5名技术人员单独过桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、8分钟、9分钟．则这5人全部过桥的最短时间为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】用最快的人往返送灯，同时让慢的人结伴过桥以减少总耗时，需要对比两种最优策略的总时间，取最小值. 【详解】策略1：最快的人（1分钟）往返送灯 1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和9分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和8分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和5分钟过桥，耗时分钟，总耗时. 策略2：次快的人（2分钟）配合往返，让最慢的两人结伴过桥， 第一步：1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 第二步：1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第三步：8分钟和9分钟结伴过桥，耗时分钟，总耗时； 第四步：2分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第五步：1分钟和5分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 第六步：1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第七步：1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时. 两种策略对比后，最短时间为分钟. 考点2 分步乘法计数原理的应用 6．（2026高二·河北沧州·期中）河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．125 B．60 C．25 D．10 【答案】A 【详解】因为从5个景点中任选一个，每人均有5种独立选法， 所以共有种不同的选法． 7．（2026高二·河北石家庄·期中）李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（    ） A．12种 B．10种 C．7种 D．5种 【答案】A 【分析】由分步计数原理结合题设可得答案. 【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案. 8．（2026高二·江苏苏州·期中）甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，可以分4步完成， 每一步由1人选择一门选修课，每步均有3种选法，根据分步乘法计数原理，故共有种不同的选择方案. 9．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 【答案】B 【分析】分类讨论利用分步乘法原理和分类加法计数原理计算即可. 【详解】分两类： 第一类：选衬衣加裤子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 10．（2026高二·江苏南京·期末）某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 11．（2026高二·河南新乡·期中）河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 【答案】B 【详解】因小张和小王可以从5个景点中各自选择一个去游玩， 故选择方案种数为． 12．（2026高二·陕西安康·期中）现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定密钥每一位的选择种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复）， 则密钥第一位有种选择，第二位也有种选择， 第三位要求从、、、中进行选择，有种选择， 由分步乘法计数原理可知，可生成的密钥数量为个. 考点3 代数中的计数问题 13．（2026高二·重庆·月考）4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（    ） A．4种 B．15种 C．16种 D．24种 【答案】B 【详解】4人同时被邀请参加一项活动，参加活动共有种方法， 若没人去，则只有种，故至少有1人去参加活动的方法种数为. 14．（2026高二·全国·课堂例题）现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 【答案】(1)122 (2)63000 (3)4860 【分析】（1）利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可； （2）利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可； （3）结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可. 【详解】（1）从高一选1人作为总负责人有50种选法； 从高二选1人作为总负责人有42种选法； 从高三选1人作为总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理，可知共有50（种）选法． （2）从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理，可知共有（种）选法． （3）①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法． 故共有（种）选法． 15．（2026高二·全国·专题练习）现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 【答案】30 【分析】分步计数，分别计算出第一步选医生、第二步选护士、第三步选麻醉师的选派方法数，然后相乘即可. 【详解】第一步，选出1名医生有3种选派方法； 第二步，选1名护士有5种选派方法； 第三步，选1名麻醉师有2种选派方法. 由分步计数可知，总的选派方法有种. 16．（2026高三·全国·专题练习）有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号______种. 【答案】39 【分析】根据给定条件分成每次升1面、升2面、升3面旗3类，求出各类表示的信号数，再将各类信号数相加即得. 【详解】根据所升旗的数量进行分类： ①升1面旗，有三种颜色可供选择，故可组成3种不同信号； ②升2面旗，则升第一面旗时，有三种颜色可供选择，升第二面旗时，同样有三种颜色可供选择，故可组成种不同信号； ③升3面旗，则升每面旗时，均有三种颜色可供选择，故可组成的不同信号有种. 综上所述，可组成的不同信号共有（种）． 故答案为：39 考点4 几何计数问题 17．（2026·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 18．（2026高二·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【详解】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 19．（2026·全国）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A．95 B．91 C．88 D．75 【答案】B 【分析】首先确定以为对角线的矩形中整点的个数，再确定上的整点数，最后根据对称性求出△中整点的个数. 【详解】由题设，直线分别交x、y轴于、，    以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个， 所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个， 综上，△中整点的个数为个. 故选：B 20．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由这些边为三角形仅有四种，，，，讨论底面三角形为、，结合对称性确定四面体个数. 【详解】以这些边为三角形仅有四种，，，． 固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即； 当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，． 其余情形得到的四面体均在上述情形中． 由此可知，四面体个数有3个． 故选：B 考点5 数字排列问题 21．（2026高二·贵州黔西南·月考）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成______（用数字表示）个三位数. 【答案】48 【详解】从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成个三位数 22．（2026高二·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 【答案】14 【详解】由题意，每一位都可以从数字4，5中任选1个，因此由数字4，5组成的四位数共有个． 其中，不符合条件的只有两种：一种是四位都取4，另一种是四位都取5． 所以满足4，5都至少出现一次的四位数共有14个． 23．（2026高一·浙江杭州·月考）将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将四个数组成没有重复数字的四位数， 从小到大排列：， 所以第个四位数是. 24．（2026高二·全国·课后作业）从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． 【答案】答案见解析 【分析】列举出所有满足条件的三位数即可. 【详解】大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321． 25．（2026高三·湖南长沙·月考）从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 【答案】 【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解. 【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法， 故末位是0的三位偶数有； 末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法， 故末位不是0的三位偶数有； 所以共有个． 故答案为：. 26．（2026高三·全国·专题练习）由数字1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为______. 【答案】 【分析】根据题意，画出树状图，得到满足条件的取法数，再用排列数表示总的取法数，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】由图所示的树状图可知，满足条件的共有14种，全部取法共有种，    因此所求的概率为. 故答案为：. 考点6 涂色问题 27．（2026高二·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 28．（2026高二·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 29．（2026高二·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】讨论用3种颜色和2种颜色两种情况，分别求解，综合即可得答案. 【详解】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择， 若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择， 综上，不同的着色方法共有种. 故选：B 30．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 31．（2026高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给图中的六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且五种颜色要用完，则共有涂色方法______种.    【答案】960 【分析】先分析出同色区域的情况，然后剩余颜色任意排列即可. 【详解】共6个区域，5种颜色需用完，则必有2个区域颜色相同， 而每次涂色颜色可以相同的区域有，，共8种， 故满足题意的涂法共有种. 故答案为： 32．（2026高二·山东聊城·期末）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 【答案】420 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：420. 33．（2026高二·云南临沧·月考）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 故答案为：． 34．（2026·辽宁·模拟预测）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得. 【详解】由题可知中间格只有一种放法； 十字格有四个位置，种适合放入，所以有一种放两个位置，共有种放法； 四角格有四个位置，种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置， 有种放法，或每种都放两个位置，有种放法，故四角格共有种放法； 所以不同放法共有种. 故选：C. 35．（2026高二·广东·月考）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 考点7 两个计数原理的综合应用 36．（2026·福建福州·模拟预测）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种. 【答案】45 【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果. 【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能； 剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能； 所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种 故答案为：45 【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 37．（2026高二·山东泰安·月考）有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)7 (2)10 (3)20 【分析】（1）若只需选1人参加，用分类加法计数原理求出全部不同选法即可； （2）将男生女生归为一类，再用分步乘法计数原理求出所有不同选法即可. （3）用分步乘法计数原理，求出所有不同的选法； 【详解】（1）； （2）； （3）. 38．（2026高二·天津·月考）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 【答案】(1)15 (2)120 (3)74 【分析】（1）由分类加法计数原理即可求解； （2）由分步乘法计数原理即可求解； （3）先分类再分步即可求解； 【详解】（1）选其中1人担任数理化小组组长，可以来自数学或物理或化学， 所以共有种选法； （2）分三步完成，第一步数学选1人，6种，第二步物理选1人，5种，第三步化学选1人，4种， 所以共有种； （3）来自数学、物理共有， 来自数学化学共有， 来自物理化学共有， 所以总共由种选法； 39．（2026高二·全国·课后作业）用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． (1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若，求． 【答案】(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133 (2) (3) 【分析】（1）利用列举的方法，写出数列的前11项； （2）利用分步计数原理，即可求解； （3）根据条件计数比小的数字个数，即可求. 【详解】（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133． （2）这个数列的项数就是用1，2，3，4组成的三位数的个数，每个数位上都有4个数字可以选择，则共有（项）． （3）比小的数有两类： ① 百位 十位 个位 1 × × 2 × × ② 百位 十位 个位 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有（项）． 所以． 40．（2026高二·山东菏泽·月考）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)21种； (2)315种； (3)143种． 【分析】（1）根据分类加法计数原理求解； （2）根据分步乘法计数原理求解； （3）综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解； 【详解】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、 第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、 第三类，组长从（62）班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法， （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法； （3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法， 第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法， 第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $