6.2.1排列10题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.1 排列10题型分类 一、排列概念 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.要点诠释: （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 二、排列数 1.排列数的定义： 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. 2.要点诠释: “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 三、排列数公式 1.. 2.要点诠释: 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数. 四、阶乘 1．阶乘的概念： 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． 2.排列数公式的阶乘式： . 五、排列的常见类型与处理方法 1.相邻元素捆绑法 2.相离问题插空法 3.元素分析法 4.位置分析法 （一） 排列与排列数 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数： （1）排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. （2）排列数公式：. （3）阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （4）排列数的阶乘式： 3.排列数公式的应用 （1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． （2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“”的运用． 题型1：排列概念的理解 1．【多选】（2026高二·重庆·期中）下列问题中，属于排列问题的是（   ） A．从5人中选2人担任正、副组长 B．从5人中选2人参加演讲比赛 C．从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D．从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 【答案】AC 【详解】对于A，从5人中选2人担任正、副组长，与选出的两个人顺序不同是不同的安排方法， 如选甲乙表示甲担任正组长，乙担任副组长，选乙甲表示乙担任正组长，甲担任副组长，故属于排列问题，故A符合题意； 对于B，从5人中选2人参加演讲比赛，比如选甲乙与乙甲是同一种选法，所以不是排列问题，故B不符合题意； 对于C，从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点与顺序有关，如选1，2两个景点表示第一天参观1号景点，第二天参观2号景点；如选2，1两个景点表示第一天参观2号景点，第二天参观1号景点，所以是排列问题，故C符合题意； 对于D，从10个相同大小的球中选3个放入箱子里，因为小球相同，任意拿3个放入箱子里只有1种方法，故与顺序无关，故不是排列问题，故D不符合题意. 2．（2026高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可. 【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 3．（2026高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B选项涉及顺序，由此可得结果. 【详解】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误. 故选：B. 4．【多选】（2026高二·江西新余·阶段检测）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】ACD 【分析】根据排列的定义及相关知识逐项进行判断. 【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确； 对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误； 对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确； 对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确. 故选：ACD. 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 6．【多选】（2026高二·全国·寒假作业）已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从中选出3个字母；④从这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，其中是排列问题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】根据排列的定义判断即可． 【详解】排列的定义：从n个不同对象中，任取个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列，由此可知①④为排列问题，而②③是组合问题，并非排列问题． 故选：AD． 7．（2026高二·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 题型2：与排列数有关的运算 8．（2026高二·重庆黔江·阶段检测）求的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】利用排列数的计算方法即可得解. 【详解】. 故选：B. 9．（2026高二·福建·期末）可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义可得出答案． 【详解】 ， 故选：B. 10．（2026高二·湖北十堰·阶段检测）计算：（    ） A．120 B．90 C．60 D．30 【答案】A 【详解】. 11．（2026高二·四川遂宁·月考）的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 【答案】D 【详解】. 12．（2026高二·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】利用排列数公式直接计算化简即可. 【详解】． 故答案为： 13．（2026高二·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 14．（2026高二·山东聊城·期中）满足不等式（）的的值可能为（   ） A．8 B．9 C．7 D．11 【答案】D 【详解】由可得 故，化简得，故，D选项满足条件. 15．（2026高二·安徽芜湖·期中）（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）（2）利用排列数的阶乘计算公式化简求解即得. 【详解】（1）因，则， 即， 又且，则得．     （2）由得， 因为且，则得，即，解得； 由得， 化简得，即，解得或， 又因为，，所以且， 故． 题型3：排列数的证明 16．（2026高二·全国·课堂例题）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 17．（2026高二·全国·课堂例题）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式证明即可. 【详解】由排列数公式可知， . 18．（2026高二·江苏·课后作业）求证：． 【答案】证明见详解 【分析】利用排列数的计算公式即可证明. 【详解】左边， 右边， 所以，即证. 19．（2026高二·全国·课堂例题）证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 20．（2026高二·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． （二） 无限制条件的排列问题 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． 题型4：无限制条件的排列问题 21．（2026高二·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 22．（2026高二·宁夏中卫·月考）名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 【答案】120 【详解】名男生和名女生站成一排拍照，即为5名学生站成一排拍照， 所以不同的站法有. 23．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决. 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 24．（2026高二·河南·月考）现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种. 【答案】60 【分析】根据全排列公式计算即可求解. 【详解】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法， 又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的， 所以共有种方法. 故答案为：60. （三） 排队问题 1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． ①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． ②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． 题型5：特殊元素和特殊位置优先排 25．（2026高二·上海·期中）5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 【答案】 【详解】甲站中间，其余四人全排列，共有种排法. 26．（2026高三·贵州贵阳·期末）凹数是数学中数字排列的相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据凹数的定义，中间数一定为0，第一、第二位数只需从余下4个数字中选2个数字即可确定，前两位排完后，后两位数顺序一定. 【详解】根据凹数的定义，中间数一定为0，确定前两位数字有种选法，后两位只有1种选法，故共有6个这样的严格凹数. 故选：C 27．（2026高三·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 【答案】72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 28．（2026高二·重庆江津·月考）某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 【答案】C 【详解】先排魔术节目，有种选择，再将其他节目排列，共有种排序方法. 29．（2026高二·重庆·阶段检测）立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 【答案】B 【详解】数列排在第一道的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种. 根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 30．（2026·重庆·模拟预测）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】4名学生排列总数：， 甲跑第一棒的情况：， 丁跑第四棒的情况：， 甲跑第一棒且丁跑第四棒的情况：， 总顺序数：． 题型6：相邻问题 31．（2026高三·全国·专题练习）若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】利用捆绑法将甲、乙捆绑，解法1分类讨论甲、乙所在位置，再确定丙的位置，最后全排列；解法2先确定丙的位置，再全排列求解即可. 【详解】解法1  将满足题意的排列方式分为三类． ①若甲、乙放在左端，则有种； ②若甲、乙放在右端，则有种； ③若甲、乙不在两端，则有种. 综上可得，（种）， 故不同的排法共有种. 解法2  捆绑甲、乙，先排丙，则有（种）. 故不同的排法共有种. 故答案为：. 32．（2026高三·全国·专题练习）某小组的7名成员站成一排，其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻，不同的排法共有多少种？ 【答案】480 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】可先将甲、乙两元素捆绑看成一个整体，同时丙、丁也看成一个整体，再与其余元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行全排列，如图所示. 由分步计数原理可得，不同的排法共有（种）. 33．（2026高二·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，当甲和乙相邻时，甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有______种. 【答案】96 【分析】利用捆绑法可得答案. 【详解】当甲和乙相邻时，甲和乙看作一个元素，与余下的3名同学拍成一排， 甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有种； 当甲和乙不相邻时，先排余下的3名同学，再将甲乙插空， 则不同的排列方式共有种； 所以符合题意的排法一共有种. 故答案为：96. 34．（2026高三·全国·专题练习）一个家庭有5名成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排他们站成一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】将父、母亲视为一个整体与3个孩子排列，则不同的站法种数为. 故答案为：48 35．（2026高二·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 36．（2026高二·北京海淀·期中）有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】A 【详解】将和视为一个整体（内部有种排列），则总共有个元素：捆绑体、、、， 全排列数为 种， 再排除在第位的情况：此时固定在第位，剩余个元素（捆绑体、、）的全排列为 种， 因此符合条件的排法为 种. 37．（2026高二·广东·期中）甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（    ） A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种 【答案】B 【分析】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标全排列. 【详解】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标进行全排列，共有种. 题型7：不相邻问题 38．（2026高二·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 【答案】480 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解发. 【详解】依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为. 故答案为：480 39．（2026高二·河南商丘·阶段检测）参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 【答案】 【分析】先将进行排列，再利用插空法即可. 【详解】先将进行排列，再将插进形成的个空隙中， 共有种. 故答案为： 40．（2026高二·山西·阶段检测）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】先选出中转站，在对南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻进行排序，即可求解. 【详解】第一步：先从3个城市中各选1个仓储点作为中转站，有种选法， 第二步：南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，故中间排合肥，南京和杭州的仓储点在两端，排列方式有种， 所以符合条件的仓储点的排列种数为种． 故选：B. 41．（2026高二·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 【答案】A 【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置. 【详解】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种． 故选：A 42．（2026高二·山东青岛·月考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 【答案】B 【分析】利用插空法分步考虑即可，需要注意限制条件. 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 题型8：相邻与不相邻问题综合 43．（2026高二·湖北武汉·期中）有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将丙和丁看作一个整体（捆绑），内部可以交换顺序，有种， ①先排（丙丁）和戊，有种排法，这两个排好后，会产生个空位（包括两端）， ②从个空位中选个来排甲和乙，有种排法， 所以总排法为种． 44．（2026高二·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空， 再将插入这四个空中， 所以所有不同排法有种. 故答案为：. 45．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】B 【分析】先按李老师在排头或排尾分两种情况，再按甲的位置细分，用总排列数减去乙丙相邻的排列数得出符合条件的排法，最后利用对称性得到总数. 【详解】分两种情况： （1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3， 当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种； 当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种； 所以共有种； （2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种； 综上，共有种排法. 46．（2026高二·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 【答案】72 【详解】根据题意，分两步进行分析： 指导老师和学员站在两端，有种情况， 中间5人分两种情况讨论： 若、相邻且、相邻，、不相邻，有种安排方法； 若、相邻且、都不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有种安排方法， 综上所述，共有种排法. 47．（2026高二·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（    ） A．18 B．12 C．28 D．24 【答案】D 【分析】利用捆绑法将相邻的两人看成一个大元素，再与无特殊要求的元素进行排列，最后将不相邻的元素利用插空法排列即可得出结果. 【详解】将哪吒和敖丙捆绑在一起，与鹿童进行排列，共有种， 再把太乙真人和申公豹利用插空法放到符合题意的3个空隙当中，共有种， 因此共有种不同的站法. 故选：D （四） 排列中的定序问题 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： ①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． ②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中． 题型9：定序问题 48．（2026高二·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 49．（2026高二·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 【答案】60 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 50．（2026高三·全国·专题练习）五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【答案】 【分析】用5个元素的全排列个数除以2各元素的全排列个数可得答案. 【详解】五个人并排站在一排，共有种， 其中甲、乙两人共有种顺序，各占一半， 所以甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)的不同的排法有种， 故答案为：60 【点睛】本题考查了排列中的定序问题，一般地，个元素排成一排，其中个元素的定序排列的种数为，属于基础题. 51．（2026高二·全国·专题练习）7个人按照下列要求排成一纵队：A，B，C三人的前后顺序一定，有多少种不同的排法？（用数字作答） 【答案】840 【分析】先求7人随意站队的排法，然后除以三人的内部顺序即可得答案. 【详解】7人全排列共种，除以A、B、C内部全排列种，共种. 52．（2026高二·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 53．（2026高二·江苏·月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)504 【分析】（1）利用插空法可求答案； （2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案； （3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案. 【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种. （2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法； 第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法， 所以共有种方法. （3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种. 54．（2026高三·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先计算盏灯笼任意挂有种不同的挂法，再除以左边顺序一定种，右边顺序一定种，即可求解. 【详解】若盏灯笼任意挂，不同的挂法由种， 又因为左右两边盏灯顺序一定，故有种， 故选：D 【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. （5）多排问题直排法； （五） 数字排列问题 数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数． 题型10：数字排列问题 55．（2026高二·广东江门·期中）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 【答案】D 【分析】根据排列数计算出正确答案. 【详解】依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为. 故选：D 56．（2026高二·重庆·月考）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（    ）个． A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】B 【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案. 【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数， 这样的数有个， 故选：B 57．（2026高二·江苏南京·期中）由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（    ） A．42031 B．42103 C．42130 D．42301 【答案】C 【分析】利用排列数公式分类求得由数字组成的各位上没有重复数字的五位数的各种情况，进而得到从小到大排列第88个数为. 【详解】由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中， 1在万位的有（个）；2在万位的有（个）； 3在万位的有（个）；4在万位的有（个）； 则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数. 4在万位0在千位的有（个）；4在万位1在千位的有（个）； 4在万位2在千位的有（个）， 则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数. 4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为： 则从小到大排列第88个数为 故选：C 58．【多选】（2026高二·河北保定·月考）从0，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（    ） A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为100 B．若数字可以重复，则可组成的四位偶数的个数为400 C．若数字不能重复，则可组成比45000大的整数的个数为40 D．若数字不能重复，则可组成数字2，3相邻的五位数的个数为36 【答案】ABD 【分析】由分步乘法计数原理判断AB；分类讨论万位为6、万位为4两种情况，结合排列知识判断C；由捆绑法判断D. 【详解】对于A，先安排百位，有4种排法，再安排十位和个位，均有5种排法，所以可组成数字可以重复的三位数的个数为，故A正确. 对于B，先安排千位，有4种排法，再安排个位，有4种排法，最后安排百位和十位，均有5种排法，所以可组成数字可以重复的四位偶数的个数为，故B正确. 对于C，若万位为6，则有个：若万位为4，则千位只能为6，所以有个，所以可组成数字不重复且比45000大的整数的个数为30，故C不正确. 对于D，不考虑0的特殊性，有种排法，其中0在首位的有种排法，所以可组成数字不能重复且数字2，3相邻的五位数的个数为，故D正确. 故选：ABD 59．（2026高二·山西晋中·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字： (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)比400000大的正整数. 【答案】(1)288 (2)504 (3)240 【分析】（1）先在个位排1个奇数，然后在首位排除0之外的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两类，个位数字是0，和不是0，利用两个计数原理进行求解即可； （3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解． 【详解】（1）先排个位数，有种， 因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有， 根据分步计数原理得，六位奇数有； （2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有， 根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有； （3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可， 所以有（个）. 60．（2026高二·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 61．（2026高二·宁夏吴忠·期中）由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（   ） A．360 B．180 C．156 D．150 【答案】B 【详解】第1步，个位上的数字为2或4或6，有3种方法， 第2步，从其余5个数中选3个排在千位、百位和十位，有种方法， 故可以组成个符合条件的数． 62．（2026·陕西榆林·模拟预测）在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 【答案】60 【详解】首位是3，末位是4的有2个；首位是3，末位是6的有2个； 首位是4，末位是6的有个；首位是5，末位是4的有个； 首位是5，末位是6的有个；首位是6，末位是4的有个； 首位是7，末位是4的有个；首位是7，末位是6的有个， 所以由分类加法计数原理知共60个． 63．（2026高二·河南郑州·月考）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）． (1)求可组成多少个四位数； (2)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先排千位数，再排其余数位； （2）按千位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【详解】（1）四位数字的千位不能为0，有种； 其余三位数从剩下的5个数字中选3个排列，有种； 由分步乘法计数原理得：种． （2）千位为1：后三位从其余5个数中选3个排列，共有个； 千位为2：从第个数开始，共计个， ，即求千位为2的第个数； 百位为0：共计个，对应第个数； 百位为1：共计个，对应第个数； 第个数是千位为2，百位为3的最小四位数，即为：． 64．（2026高二·浙江温州·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个不含0的四位数？ (2)能组成多少个被5整除的四位数？ (3)能组成多少个小于1000的数？ 【答案】(1)120 (2)108 (3)131 【分析】（1）需从这5个数字中选4个进行排列，使用排列数公式计算； （2）分两类讨论：个位为0时，从剩余5个数字选3个排列；个位为5时，千位不能为0，先确定千位可选数字，再从剩余数字选2个排列，最后用分类加法计数原理汇总； （3）分三类计算：一位数直接统计可选数字个数；两位数先确定十位（不能为0）再确定个位；三位数先确定百位（不能为0）再确定十位和个位，最后用分类加法计数原理汇总. 【详解】（1）， 所以能组成个不含0的四位数. （2）个位为的情况有：个 个位为5的情况有：个 所以能组成个被5整除的四位数 （3）一位数的情况有：个 两位数的情况有：个 三位数的情况有：个 所以能组成个小于的数. 1．（2026高二·全国·课后作业）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（    ） A．20 B．90 C．120 D．240 【答案】C 【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数. 【详解】共有种不同的选派方案． 故选：C. 2．（2026高二·陕西·阶段检测）可以表示为(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒ 【详解】＝， 故选：C﹒ 3．（2026高二·福建三明·期中）一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有______种. 【答案】20 【分析】利用不相邻问题插空法得添加方法共有种. 【详解】4个节目有5个空， 由插空法得所有添加方法有种. 故答案为：20 【点睛】本题主要考查排列问题的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析能力. 4．【多选】（2026高二·浙江嘉兴·月考）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 【答案】AD 【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答. 【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：AD 5．（1993·全国）同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案. 【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片, 故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法, 所以共有种分配方式. 故选：B. 6．（2026高二·全国·课后作业）等于(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算即可． 【详解】=7×6=6,所以原式==36. 故选D 【点睛】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题． 7．（2026高二·全国·课堂例题）求证: 【答案】证明见解析 【分析】由排列数的计算公式即可求证； 【详解】证明:左边右边， ∴等式成立． 8．（2026高二·广东佛山·期中）已知，则n等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】利用排列数的计算公式即可得出． 【详解】∵， ∴， 解得或（舍）． 故选：C． 9．（2026高二·安徽·月考） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将原式用排列数公式展开，再对分子分母同除以公因式，即可得到结果． 【详解】． 故选A． 【点睛】本题考查了排列数公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 10．（2026高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 11．（2026高二·山西长治·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，求的解集，先根据排列数的公式对不等式进行变形，进而求出的取值范围. 【详解】解：由，得：， 整理得，解得：， 由题可知，且， 则或， 即原不等式的解集为：. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集，运用到排列数的公式进行化简，属于基础题. 12．（2026高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有______种． 【答案】136080 【分析】法一，通过位置分析，先排第二个节目，法二，元素分析，考虑，选女演员独唱结合，和不选两种情况；法三：间接法，总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目的情况即可； 【详解】方法一（位置分析法）：先排第二个节目，再排其他五个节目，则共有（种）． 方法二（元素分析法）：若选女演员的独唱节目，则有种排法；若不选女演员的独唱节目，则有种排法，则共有种排法． 方法三（间接法）：总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目，则共有（种）． 故答案为：136080 13．（2026高二·江西吉安·月考）学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】2400 【分析】先安排好甲、乙两人，然后安排其他个人，按照分步计数原理求得总的方法数. 【详解】先安排好甲、乙两人的方法数有种，然后安排其他个人的方法数有中，故总的方法数有种. 【点睛】本小题在分步计数原理，考查排列数的计算，属于基础题. 14．（2026·全国甲卷）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 15．（2026高二·甘肃庆阳·期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得． 【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 故选：C． 16．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接法进行求解，先考虑末位数字，再考虑其他位置，得到答案； 间接法进行求解，先求出无重复数字的四位数，再求出无重复数字的四位奇数的个数，相减得到答案. 【详解】直接法：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，共有种排法； 间接法：数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，有种排法， 其中组成无重复数字的四位奇数的个数为， 理由如下：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，故有种排法； 所以偶数的个数为. 故选：CD． 17．（2026高二·四川成都·期中）已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线上的圆有多少个？ 【答案】(1)448；(2)4；(3)38. 【分析】(1)由题意利用乘法原理结合排列数公式可得满足题意的圆的个数； (2)由题意首先确定满足该条件的a，b，r，然后求解满足题意的圆的个数即可； (3)首先确定圆心满足的条件，然后结合排列数公式和分步加法计数原理可得满足题意的圆的个数. 【详解】(1)可分两步完成：第一步，先选r，因r>0，则r有种选法，第二步再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法， 所以由分步计数原理可得有个不同的圆. (2)圆经过原点，a、b、r满足， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有种情况， 所以符合题意的圆有. (3)圆心在直线x+y−10=0上，即满足a+b=10，则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a、b取10、0时，r有7种情况， 当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a、b的顺序，有种情况， 所以满足题意的圆共有个. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列数公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．（2026高二·全国·课堂例题）（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 【答案】（1）种；（2）种 【分析】（1）利用排列知识进行求解； （2）利用分步乘法计数原理，求出答案. 【详解】（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学， 相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列， 所以共有种不同的送法． （2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的送法． 19．（2026高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 【分析】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【详解】（1）（捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． （2）方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． （3）（捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． （4）（插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 20．（2026高二·湖南·学业考试）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 A．240种 B．192种 C．96种 D．48种 【答案】B 【详解】试题分析：当丙乙在甲的左侧时：，同理，当丙乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法． 考点：排列、组合． 点评：对于排列、组合的有关问题，相邻问题可以采取捆绑法，有特殊要求的可以采取优先排列法．本题正是灵活应用这两种方法来解决的，但要属于讨论乙丙在甲的那一侧，此为易错点． 21．（6.2.2排列数第2课时排列与排列数的应用）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【分析】由捆绑法结合插空法求解； 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为． 故选：C 22．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个． (1)六位数； (2)六位奇数． 【答案】(1)个 (2)个 【分析】（1）由全排列减去0在首位即可求解； （2）法一：从个数入手分析或从对首位排奇数还是非0偶数分两类进行．法二：由0不在两端，再从1，3，5中选1个排在个位，剩下全排列即可求解； 【详解】（1）0，1，2，3，4，5六个数字共能形成种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可以组成个没有重复数字的六位数． （2）方法一（位置分析法）：①从个位入手：个位数排奇数，即从1，3，5中选1个有种方法，首位数在排除0及个位数余下的4位数字中选1个有种方法，余下的数字可在其他位置全排列有种方法，由分步乘法计数原理知，共有个不同的六位奇数． ②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类进行． 第1类，首位排奇数，有种选择，再个位排奇数有种方法，其余位置全排列有．则共有144种方法． 第2类，首位排非0偶数，共有种方法． 根据分类加法计数原理，共有个不同的六位奇数． 方法二（元素分析法）：0不在两端有种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故共有个不同的六位奇数． 23．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 【答案】个 【分析】分在个位三种情况计算四位偶数，结合加法原理计算求解. 【详解】符合要求的四位偶数可分为三类： 第1类，0在个位时，有个； 第2类，2在个位时，首位上的数字从1，3，4，5中选定1个，有种选法，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有种，于是有个； 第3类，4在个位时，与第2类同理，也有个． 由分类加法计数原理可知，共有个无重复数字的四位偶数． 24．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数． 【答案】个 【分析】讨论个位上为0和个位上为5两种情况，结合两个计数原理求解； 【详解】可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有个； 第2类，个位上为5的五位数有个， 所以无重复数字且为5的倍数的五位数共有个． 25．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 【答案】(1)个 (2)个 (3)个 【分析】（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解. 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为两类． 第一类，0在个位时有个； 第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）． （2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个． 故满足条件的四位数共有（个）． （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有个． 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）． 26．（2026高二·北京·期末）现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】由题意知，只有中间三个坑需要选择树苗，然后结合分类计数原理和分步计数原理分析即可求出结果. 【详解】因为同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，所以只有中间三个坑需要选择树苗， （1）当中间一个种甲时，第二个和第四个坑都有两种选法，共有4种选法， （2）当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙， ①当中间这个种乙时，第二个和第四个位置树苗种丙， ②当中间这个种丙时，第二个和第四个位置树苗种乙， 故一共有6种种法. 故选：C. 27．（2026·新高考全国Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 28．（2026·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 29．（2026·广东·模拟预测）若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有________种． 【答案】11 【分析】求出这四个字母排列的所有可能，减去正确的拼写种数，即可求出拼写错误的种数. 【详解】解：单词中含个字母，则其全排列为，但其中两个字母一样， 因此排列方法为，其中只有一种组合是正确，因此错误拼写方法有种， 故答案为:11. 【点睛】本题考查了排列数的计算，考查了排列的应用，属于基础题. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.1 排列10题型分类 一、排列概念 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.要点诠释: （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 二、排列数 1.排列数的定义： 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. 2.要点诠释: “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 三、排列数公式 1.. 2.要点诠释: 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数. 四、阶乘 1．阶乘的概念： 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． 2.排列数公式的阶乘式： . 五、排列的常见类型与处理方法 1.相邻元素捆绑法 2.相离问题插空法 3.元素分析法 4.位置分析法 （一） 排列与排列数 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数： （1）排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. （2）排列数公式：. （3）阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （4）排列数的阶乘式： 3.排列数公式的应用 （1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． （2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“”的运用． 题型1：排列概念的理解 1．【多选】（2026高二·重庆·期中）下列问题中，属于排列问题的是（   ） A．从5人中选2人担任正、副组长 B．从5人中选2人参加演讲比赛 C．从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D．从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 2．（2026高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 3．（2026高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 4．【多选】（2026高二·江西新余·阶段检测）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 6．【多选】（2026高二·全国·寒假作业）已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从中选出3个字母；④从这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，其中是排列问题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（2026高二·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 题型2：与排列数有关的运算 8．（2026高二·重庆黔江·阶段检测）求的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 9．（2026高二·福建·期末）可表示为（　　） A． B． C． D． 10．（2026高二·湖北十堰·阶段检测）计算：（    ） A．120 B．90 C．60 D．30 11．（2026高二·四川遂宁·月考）的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 12．（2026高二·全国·课后作业）计算：________． 13．（2026高二·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 14．（2026高二·山东聊城·期中）满足不等式（）的的值可能为（   ） A．8 B．9 C．7 D．11 15．（2026高二·安徽芜湖·期中）（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 题型3：排列数的证明 16．（2026高二·全国·课堂例题）求证：． 17．（2026高二·全国·课堂例题）求证：. 18．（2026高二·江苏·课后作业）求证：． 19．（2026高二·全国·课堂例题）证明： ． 20．（2026高二·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． （二） 无限制条件的排列问题 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． 题型4：无限制条件的排列问题 21．（2026高二·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 22．（2026高二·宁夏中卫·月考）名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 23．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 24．（2026高二·河南·月考）现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种. （三） 排队问题 1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． ①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． ②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． 题型5：特殊元素和特殊位置优先排 25．（2026高二·上海·期中）5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 26．（2026高三·贵州贵阳·期末）凹数是数学中数字排列的相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 27．（2026高三·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 28．（2026高二·重庆江津·月考）某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 29．（2026高二·重庆·阶段检测）立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 30．（2026·重庆·模拟预测）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 题型6：相邻问题 31．（2026高三·全国·专题练习）若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种. 32．（2026高三·全国·专题练习）某小组的7名成员站成一排，其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻，不同的排法共有多少种？ 33．（2026高二·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，当甲和乙相邻时，甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有______种. 34．（2026高三·全国·专题练习）一个家庭有5名成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排他们站成一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为______． 35．（2026高二·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 36．（2026高二·北京海淀·期中）有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 37．（2026高二·广东·期中）甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（    ） A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种 题型7：不相邻问题 38．（2026高二·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 39．（2026高二·河南商丘·阶段检测）参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 40．（2026高二·山西·阶段检测）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 41．（2026高二·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 42．（2026高二·山东青岛·月考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 题型8：相邻与不相邻问题综合 43．（2026高二·湖北武汉·期中）有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 44．（2026高二·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 45．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 46．（2026高二·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 47．（2026高二·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（    ） A．18 B．12 C．28 D．24 （四） 排列中的定序问题 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： ①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． ②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中． 题型9：定序问题 48．（2026高二·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 49．（2026高二·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 50．（2026高三·全国·专题练习）五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 51．（2026高二·全国·专题练习）7个人按照下列要求排成一纵队：A，B，C三人的前后顺序一定，有多少种不同的排法？（用数字作答） 52．（2026高二·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 53．（2026高二·江苏·月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 54．（2026高三·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． （五） 数字排列问题 数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数． 题型10：数字排列问题 55．（2026高二·广东江门·期中）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 56．（2026高二·重庆·月考）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（    ）个． A．24 B．30 C．36 D．60 57．（2026高二·江苏南京·期中）由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（    ） A．42031 B．42103 C．42130 D．42301 58．【多选】（2026高二·河北保定·月考）从0，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（    ） A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为100 B．若数字可以重复，则可组成的四位偶数的个数为400 C．若数字不能重复，则可组成比45000大的整数的个数为40 D．若数字不能重复，则可组成数字2，3相邻的五位数的个数为36 59．（2026高二·山西晋中·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字： (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)比400000大的正整数. 60．（2026高二·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 61．（2026高二·宁夏吴忠·期中）由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（   ） A．360 B．180 C．156 D．150 62．（2026·陕西榆林·模拟预测）在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 63．（2026高二·河南郑州·月考）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）． (1)求可组成多少个四位数； (2)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数． 64．（2026高二·浙江温州·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个不含0的四位数？ (2)能组成多少个被5整除的四位数？ (3)能组成多少个小于1000的数？ 1．（2026高二·全国·课后作业）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（    ） A．20 B．90 C．120 D．240 2．（2026高二·陕西·阶段检测）可以表示为(    )． A． B． C． D． 3．（2026高二·福建三明·期中）一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有______种. 4．【多选】（2026高二·浙江嘉兴·月考）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 5．（1993·全国）同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（2026高二·全国·课后作业）等于(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 7．（2026高二·全国·课堂例题）求证: 8．（2026高二·广东佛山·期中）已知，则n等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．（2026高二·安徽·月考） A． B． C． D． 10．（2026高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 11．（2026高二·山西长治·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有______种． 13．（2026高二·江西吉安·月考）学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 14．（2026·全国甲卷）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·甘肃庆阳·期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 16．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 17．（2026高二·四川成都·期中）已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线上的圆有多少个？ 18．（2026高二·全国·课堂例题）（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 19．（2026高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 20．（2026高二·湖南·学业考试）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 A．240种 B．192种 C．96种 D．48种 21．（6.2.2排列数第2课时排列与排列数的应用）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 22．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个． (1)六位数； (2)六位奇数． 23．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 24．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数． 25．（2026高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 26．（2026高二·北京·期末）现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 27．（2026·新高考全国Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 28．（2026·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 29．（2026·广东·模拟预测）若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有________种． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $