精品解析：重庆市铜梁区华兴实验学校2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

重庆市铜梁区四校联合 初2025届八下半期测试卷（数学） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案． 【详解】解：依题意，， 解得： 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加、减、乘、除运算法则进行判断即可． 【详解】A.与不是同类二次根式，无法相加，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，是解题的关键． 3. 下列各组数据中是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5都不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、，能构成直角三角形，但边长不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 有一组邻边相等的四边形是平行四边形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、矩形和菱形的判定判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题； B、有一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，如筝形，原命题是假命题； C、有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，主要包括平行四边形的判定和特殊平行四边形的判定．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，正确计算的长度是解题的关键． 如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 6. 如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 则蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，掌握两点之间线段最短，找到起点和终点是解题的关键． 7. 如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的计算，解题的关键是勾股定理的正确应用．由的三边为边向外作正方形，，，通过勾股定理求得的长度． 【详解】由的三边为边向外作正方形， ，得 ， 可得． 故选：B 8. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 9. 长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，，证明，推出，求得，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， 故选：C． 10. 若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 7 B. －14 C. 28 D. －56 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：解不等式，解得x≤7， ∴不等式组整理的， 由解集为x≤a，得到a≤7， 分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a， 解得：y＝， 由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7， 1×7＝7， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 11. 若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得到，然后根据去绝对值即可． 【详解】解：二次根式的性质得到， 因为， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：． 12. “平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是________． 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】平行四边形的两组对边分别平行，逆定理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 13. 已知满足，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求代数式的值，根据二次根式有意义的条件得出，代入题目中的式子得出，最后代入计算即可得出答案，正确求出的值是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 将代入得， 则． 故答案为：8． 14. 已知在中，，高．则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 当在点右侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：或． 15. 如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， 为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出的长，再利用勾股定理求解． 17. 如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接，其与的交点即为点，再作交于点， ∵与关于对称， ∴，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点为对角线的交点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， 在中，， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键． 18. 一个四位自然数N，若百位数比千位数的2倍多1，则称N为“联盟数”，将这个四位自然数N的十位与百位交换得到的新四位数记为，规定，当时， _____；若B是“联盟数”，其个位数字大于2，将其个位数字的5倍记为，个位数字与1的差记为，若，则所有符合条件的M的十位数字之和为 _____． 【答案】 ①. ②. 13 【解析】 【分析】本题考查了用字母表示多位数，对于新定义的理解是解题关键． （1）根据新定义的公式代入即可． （2）设“联盟数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，并表示出及，再根据要求列出，由，，，且、、都是整数，判断出，再根据取值判断出满足题意的和即可． 【详解】解：（1）由得，， ． 故答案为：． （2）设“联盟数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则为：， 为：， ， ， 由题得，， 若， 即， ，，，且、、都是整数， 则为整数， 为整数， ， ， 或， 或， 若，则满足条件的、有， 此时，； 若，则满足条件的、有；， 此时，， 或， 综上所述，符合条件的有1396、3716、4936． 所有符合条件的的十位数字之和为． 故答案为：13． 三、解答题（共8小题，第19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减，乘除的混合运算，即可． （1）根据二次根式的乘法运算，即可； （2）根据，，进行运算，即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 20. 先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 21. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，的平分线交于点E，连接． （1）请用尺规完成基本作图：作的平分线交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）由（1）中的作图，小明给出了证明四边形是菱形的步骤，请根据小明的思路完成下面的填空． 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 由． ∴ ① ． ∵AE平分，CF平分， ∴，． ∴ ② ． ∴． 又∵，． ∴ ③ ． ∴． ∴四边形是 ④ ． 又∵ ⑤ ． ∴四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2），，，平行四边形， 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可解答； （2）根据正方形的性质可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到．则可判断．接着证明得到．则可判断四边形是平行四边形．然后利用可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图：为所求． 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 由． ∴． ∵AE平分，CF平分， ∴，． ∴． ∴． 又∵，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵． ∴四边形是菱形． 故答案为：，，，平行四边形，． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质和菱形的判定等知识点，灵活运用相关判定定理是解答本题的关键． 22. 如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13． （1）求AC的长． （2）求图中阴影部分图形的面积． 【答案】（1）AC＝5 （2）24 【解析】 【分析】（1）由勾股定理直接计算即可； （2）先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再计算面积即可． 【小问1详解】 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， 由勾股定理，得：AC＝＝＝5； ∴AC的长为5． 【小问2详解】 ∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点并能够正确区分它们的应用是解题的关键． 23. 如图，矩形的对角线，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、含度角的直角三角形的性质等知识， （1）先根据矩形的性质证得，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定可证得结论； （2）根据菱形的性质和含度的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于H， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，又， ∴， ∴，则， ∴，， ∴菱形的面积为． 24. 第十届重庆永川国际茶文化旅游节开幕前，某秀芽茶叶公司预测今年秀芽茶叶能够畅销就用元购进了一批秀芽茶叶，上市后很快脱销，公司又用元购进第二批秀芽茶叶，所购数量是第一批购进数量的倍，但每千克秀芽茶叶进价多了元． （1）该秀芽茶叶公司两次共购进这种秀芽茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每千克售价至少是多少元？ 【答案】（1）千克 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设秀芽茶叶公司第一次购千克茶叶，则第二次购进千克茶叶，根据单价总价数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵元，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）设每千克茶叶售价元，根据利润销售收入成本，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设秀芽茶叶公司第一次购千克茶叶，则第二次购进千克茶叶， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 【小问2详解】 设每千克茶叶售价元， 根据题意得：， 解得：． 答：每千克茶叶的售价至少是元． 25. 如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． （1）求证：为的中点； （2）点为的中点，连接，交于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． 【小问2详解】 证明：取的中点，连接， 点为的中点， ，， ，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ，， ， ，且， ． 26. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒． （1）_____，______．（用含的代数式表示） （2）当四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，当和在运动的过程中，是否存在某时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）或2或． 【解析】 【分析】（1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； ∵，， ∴∠BCD=90°， ∵， ∴四边形为矩形         ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形时，， ∴， 解得， 【小问3详解】 由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ∴， ①当时，为等腰三角形， ∴，解得， ②当时，为等腰直角三角形，则， ∴，解得， ③当时，为等腰直角三角形，则， ∴，解得， 综上，当或2或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铜梁区四校联合 初2025届八下半期测试卷（数学） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 5，12，13 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 有一组邻边相等的四边形是平行四边形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 5. 如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 9. 长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 7 B. －14 C. 28 D. －56 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 11. 若，则_________． 12. “平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是________． 13. 已知满足，则_____． 14. 已知在中，，高．则的长为___________． 15. 如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． 16. 如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为_______． 17. 如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______． 18. 一个四位自然数N，若百位数比千位数的2倍多1，则称N为“联盟数”，将这个四位自然数N的十位与百位交换得到的新四位数记为，规定，当时， _____；若B是“联盟数”，其个位数字大于2，将其个位数字的5倍记为，个位数字与1的差记为，若，则所有符合条件的M的十位数字之和为 _____． 三、解答题（共8小题，第19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 21. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，的平分线交于点E，连接． （1）请用尺规完成基本作图：作的平分线交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）由（1）中的作图，小明给出了证明四边形是菱形的步骤，请根据小明的思路完成下面的填空． 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 由． ∴ ① ． ∵AE平分，CF平分， ∴，． ∴ ② ． ∴． 又∵，． ∴ ③ ． ∴． ∴四边形是 ④ ． 又∵ ⑤ ． ∴四边形是菱形． 22. 如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13． （1）求AC的长． （2）求图中阴影部分图形的面积． 23. 如图，矩形的对角线，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 第十届重庆永川国际茶文化旅游节开幕前，某秀芽茶叶公司预测今年秀芽茶叶能够畅销就用元购进了一批秀芽茶叶，上市后很快脱销，公司又用元购进第二批秀芽茶叶，所购数量是第一批购进数量的倍，但每千克秀芽茶叶进价多了元． （1）该秀芽茶叶公司两次共购进这种秀芽茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每千克售价至少是多少元？ 25. 如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． （1）求证：为的中点； （2）点为的中点，连接，交于点，求证：． 26. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒． （1）_____，______．（用含的代数式表示） （2）当四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，当和在运动的过程中，是否存在某时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $