专题05 解三角形中几何图形计算8种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题05 解三角形中几何图形计算8种常考题型 题型一：运用两次正弦定理解决三角形图形类问题 题型二：运用两次余弦定理解决三角形图形类问题 题型三：综合运用正、余弦定理解决三角形图形类问题 题型四：几何图形融合中线 题型五：几何图形融合角平分线 题型六：几何图形融合垂线 题型七：解三角形中几何图形与其他章节的融合 题型八：解三角形在几何图形中的实际应用 题型一：运用两次正弦定理解决三角形图形类问题 1．如图，在平面四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 2.如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．若，则的正切值为（  ） A． B． C． D．    3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，的值为_____________ . 4.如图，在四边形中，平分. 若，则的面积为______________. 5.在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，． (1)求角的值； (2)求的取值范围． 6.已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c； (1)若满足，求证：． (2)若在中，,如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值． 题型二：运用两次余弦定理解决三角形图形类问题 7．如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足,若，则的值为（  ） A． B． C． D．    8.如图，在平面四边形中，,若，则的值为（  ） A． B． C． D． 9.已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为（  ） A．14 B．12 C．10 D．8 10.如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8    11.如图，在平面四边形中，，，，,则四边形的周长为__________； 12.由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 13.如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 . 14.如图，在中，，的角平分线交于，．    则的取值范围为 . 15.如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 . 16.如图，在平面四边形中，，若是上一点，． (1)证明：； (2)若． ①求的值； ②求的最大值． 题型三：综合运用正、余弦定理解决三角形图形类问题 17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则=（  ） A． B． C． D． 18．如图，在四边形中，，，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 19.在中，是的角平分线且，，若，则的面积为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 20.如图，平面四边形中，，，为正三角形，设，则的面积的最大值为（  ） A． B． C．2+ D． 21.如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，,则为__________. 22.定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是___________ ，； 23.如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，，则四边形ABCD周长的最大值为____________ 24.如图，在平面凸四边形中，. (1)求； (2)若，，求. 题型四：几何图形融合中线 25．如图在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 26.如图在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 27.已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c； 28.若在中，，BC边上的中线，则的面积的最大值为（  ） A． B． C．2 D． 29.如图，在中，已知，，边上的中线，则 ． 30.如图，已知的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若边上的中线，且，求的周长. 题型五：几何图形融合角平分线 31．如图，在中，是上一点，是上一点，且，若是的角平分线，，则的最大值为（  ） A．1 B． C．2 D． 32.如图在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（  ） A．12 B．24 C．27 D．36 33.在中，内角的对边分别为，的角平分线交于点D，若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，则周长的取值范围为______________．    34.在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，则的面积为__________． 35.在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 36.在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 题型六：几何图形融合垂线 37．如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D，若，则CD为（  ） A．1 B． C．2 D． 38.如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则____________ 39.如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D，若，则=__________ 40.如图，在中，内角所对的边分别为为边上的高，且，求的取值范围． 41.的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 42.设三个内角所对的边分别为．已知，且． (1)求角的大小； (2)如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值． 题型七：解三角形中几何图形与其他章节的融合 43．记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则（ ） A. 2 B. 10 C. 8 D. 6 44.如图已知O为的外心，若，则实数m的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 45.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 46.如图，在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 47.已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线，若，则的最小值为_________. 48.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. (1)求角； (2)，求边上的中线的最小值； (3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 题型八：解三角形在几何图形中的实际应用 49．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 50.如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 51.如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 52.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（  ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 53.（多选）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（  ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 54.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则_____________ 55.某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    56.复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角. （1）若喷灌的有效覆盖区域面积为，求； （2）设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解三角形中几何图形计算8种常考题型 题型一：运用两次正弦定理解决三角形图形类问题 题型二：运用两次余弦定理解决三角形图形类问题 题型三：综合运用正、余弦定理解决三角形图形类问题 题型四：几何图形融合中线 题型五：几何图形融合角平分线 题型六：几何图形融合垂线 题型七：解三角形中几何图形与其他章节的融合 题型八：解三角形在几何图形中的实际应用 题型一：运用两次正弦定理解决三角形图形类问题 1．如图，在平面四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△中，由正弦定理，建立的等量关系；再在△中，由正弦定理，再次建立的关系，从而解方程组，消去，即可求得的正切值. 【解析】设， 在△中，，则，又， 故由正弦定理可得：，即； 在中，，故，，故， 又，故由正弦定理可得：，即，； 联立，消去可得：，即， 也即，，整理得：，故. 故选：B. 2.如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．若，则的正切值为（  ） A． B． C． D．    【答案】D 【分析】在中，求得，在中，得到，得到方程，进而求得的值； 【解析】由题意，可得，则， 在中，由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理， 可得， 所以，整理得，所以． 故选：D 3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，的值为_____________ . 【答案】 【分析】借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解；借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【解析】，， ，， 在中，由余弦定理得： ，； 在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ， 故答案为： 4.如图，在四边形中，平分. 若，则的面积为______________. 【答案 【分析】利用两个三角形的正弦定理，组方程组求角的三角函数值，再用两角和公式求角，求面积. 【解析】设. 在中，由正弦定理，得， 得，即. 在中，由正弦定理，得. 由得. 因为，所以，则，得. 易知，则， 得. 又因为， 所以的面积为. 故答案为： 5.在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，． (1)求角的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理边角互化，结合恒等变换得到，则求解； （2）设，，，则，，在中，由正弦定理得到，在中，利用正弦定理并化简得到，利用正弦函数的性质求解. 【解析】（1）由，得 整理得， 因为，所以， 由为三角形内角得； （2）设，，，则，， 中，由正弦定理得， 故， 中，由正弦定理得， 故    因为，所以时， 当，即时，*式；当，即时，*式， 故的取值范围为 6.已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c； (1)若满足，求证：． (2)若在中，,如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换，再结合正弦定理角化边，即可求解； （2）根据三角形的几何关系，设，则，在和中，利用正弦定理表示和，即可得到，再根据三角恒等变换，以及辅助角公式，即可求解. 【解析】（1）由已知得， 即 则， ． 得，由正弦定理得． （2），，因为，所以， 因为，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得，所以，得， 在中，由正弦定理得，所以， 得， 所以 ， 其中，所以当时，DE取得最大值， 所以， 所以，所以， 即，所以， 解得或（舍去），所以当时，DE取得最大值． 题型二：运用两次余弦定理解决三角形图形类问题 7．如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足,若，则的值为（  ） A． B． C． D．    【答案】B 【分析】分别求得和，结合，即可求解. 【解析】在内，由余弦定理及三角形面积公式，可得： ， ， ． 三式相加可得： ①， 在内，由余弦定理以及三角形的面积公式，可得： ， 在和中，同理可得：， 所以， 因为， 可得②， 由①②得． 故选：B 8.如图，在平面四边形中，,若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在，中，分别由余弦定理结合求解； 【解析】由，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得. 故选：C 9.已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为（  ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据余弦定理可得，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可求解最值. 【解析】 四边形中，，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 所以：． 在中，利用余弦定理：， 所以：． 所以：． 则 当时，最大值，最大值为14， 故选：A 10.如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8    【答案】B 【分析】由锐角的面积求出，得，中由余弦定理求，由余弦定理和基本不等式，求的最大值. 【解析】因为锐角的面积为，即， 解得，所以． 中由余弦定理得，解得． 在中，，，由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时等号成立，解得， 所以的最大值为4． 故选：B 11.如图，在平面四边形中，，，，,则四边形的周长为__________； 【答案】 【分析】利用二倍角公式求出，再在中用余弦定理求出，接着在中用余弦定理求出，从而得到四边形的周长； 【解析】因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； 故答案为： 12.由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【解析】连接 因为在圆内接四边形中，，，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以在中，由余弦定理可得：， 化简可得，解得或(舍去)， 所以，则圆内接四边形的面积公式为 故答案为： 13.如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 . 【答案】 【分析】设，由余弦定理，结合条件得，根据正弦定理求得，在中利用余弦定理求得，再利用辅助角公式结合两角和的正弦公式求得的长取最大值时即的值. 【解析】设， 在中，由余弦定理，得. 因为，所以. 由正弦定理，得，所以. 因为，所以. 在中，由余弦定理，得 ， 其中，，所以当时，， 所以. 综上，当的长最大时，的值为. 故答案为：. 14.如图，在中，，的角平分线交于，．    则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据角平分线定理，结合余弦定理进行求解即可； 【解析】（1）设，，则，， 由角平分线定理，知， 在中，由余弦定理得:， 在中，由余弦定理得:， 所以， 化简得，即， 因为，所以． 故答案为： 15.如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 . 【答案】/0.75 【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出. 【解析】设在三角形与三角形中， 解得： 作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故答案为：. 16.如图，在平面四边形中，，若是上一点，． (1)证明：； (2)若． ①求的值； ②求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)①；②. 【分析】（1）在中，∵，∴，得到，然后证明即可； （2）①， 由（1） 知，由正弦定理求解即可； ②设，在中，由余弦定理求得，然后由求得，在中，由余弦定理求得，然后由辅助角公式得，求解最大值即可. 【解析】（1）证明：在中，∵， ∴，故. 又，∴， 即， 故. （2）①， 由，可知：是等边三角形， 所以， 故在中，由正弦定理可得：，故. 所以. ②设， 在中，由余弦定理得：， 由是等边三角形，是的中点， ，所以， 在中，由余弦定理得： 在中，由正弦定理得： ，所以， 所以， 所以当时，即时，    . 题型三：综合运用正、余弦定理解决三角形图形类问题 17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，并结合余弦定理即可求得答案； 【解析】， ∴由正弦定理得，整理得． ∴由余弦定理得， 又． 故选：B 18．如图，在四边形中，，，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【解析】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 19.在中，是的角平分线且，，若，则的面积为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得及，利用同角三角函数关系得，结合面积公式即可求解. 【解析】因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，且，所以， 又，所以，设， 则由余弦定理得， ， 所以，化简得，解得，所以， 所以，所以， . 故选：C. 20.如图，平面四边形中，，，为正三角形，设，则的面积的最大值为（  ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由余弦定理表示出边，即可得三边长，再由余弦定理和正弦定理得到的正弦值和余弦值，先将的面积表示出来，在由三角函数和差角公式化简，由三角函数的性质得到最大值. 【解析】在中， ∴， ∴， ∵， 由正弦定理可得：，解得：， ∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故求的面积的最大值为：. 故选：D. 21.如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，,则为__________. 【答案】 【分析】先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，再结合二倍角公式即可求解； 【解析】在中，，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得， 又因为为的角平分线，所以， 所以， 所以. 故答案为： 22.定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】利用余弦定理可求得，从而得到，结合凸四边形定义可求得的范围；利用正弦定理表示出，由角的范围可求得正弦值的取值范围，由此可得结果. 【解析】 在中，由余弦定理得：， 且，，，， ，， ，； 在中，由正弦定理得：，； 当时，，， 又， ，即的取值范围为. 故答案为： 23.如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，，则四边形ABCD周长的最大值为____________ 【答案】 【分析】连接BD，在中，由余弦定理求得，设，在中，由正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； 【解析】连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，周长的最大值为. 故答案为： 24.如图，在平面凸四边形中，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角和的正弦公式计算可得，再由三角形内角的范围可求出结果； （2）利用正弦定理以及三角形内角的关系，结合余弦定理计算可得结果. 【解析】（1）由得， 故， 所以． 因为， 故，由三角形内角范围 所以； （2）由，，故为边长为4的等边三角形， 在中，， 由正弦定理得，故， 由于， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即， 得. 题型四：几何图形融合中线 25．如图在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由可得，从而得，，所以，再利用余弦的二倍角公式可求出，由同角三角函数的关系求出，再由三角形ABC的面积为6，可求出，然后在中利用余弦定理可求得答案 【解析】如图，设的内角的对边分别为， 因为，所以， 即，所以, 所以，即， 因为，所以，所以 因为，所以， 因为， 所以 , 因为， 所以, 因为三角形ABC的面积为6， 所以，得， 因为，所以， 因为D是BC的中点，所以, 在中，由余弦定理得 ， 因为， 所以， 故选：A 26.如图在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【解析】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 27.已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c； 28.若在中，，BC边上的中线，则的面积的最大值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】（由公式两边平方，再结合基本不等式求的最大值，即可求解； 【解析】由，可得， 所以，可得，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 则的面积的最大值为． 故选：A 29.如图，在中，已知，，边上的中线，则 ． 【答案】/ 【分析】将补成平行四边形，然后根据余弦定理求出，利用正弦定理求出. 【解析】将已知图形补形为平行四边形，如图， 在中，根据余弦定理则有，解得， 再在中，由正弦定理，. 化简得，即. 又， 解得． 故答案为：. 30.如图，已知的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若边上的中线，且，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解； （2）由，在与中结合余弦定理求解即可得出结果. 【解析】（1）因为，即， 又，所以， 可得，又， 因此； （2）由（1）可得，又， 由余弦定理可得，所以； 在中，，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得； 又因为，可得， 联立，解得； 又，可得， 所以的周长为. 题型五：几何图形融合角平分线 31．如图，在中，是上一点，是上一点，且，若是的角平分线，，则的最大值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【解析】）因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 故选：A 32.如图在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（  ） A．12 B．24 C．27 D．36 【答案】A 【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解. 【解析】因为， 所以，即， 所以， 又因，所以， 由，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 33.在中，内角的对边分别为，的角平分线交于点D，若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，则周长的取值范围为______________．    【答案】 【分析】由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论. 【解析】在中，由正弦定理得，， 所以，     又，则， 又，所以，又，则.                                     在，由正弦定理得，， 所以 ，                    因为是锐角三角形，所以，于是， 则，所以， 所以，从而，                     所以三角形周长的取值范围为 故答案为： 34.在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，则的面积为__________． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解析】解：因为， 所以，， 即，由正弦定理可得， 因为的角平分线交于，则，所以，． 又因为，，由可得， 即，则，． 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得．② 因为， 则①②可得，，即， 即，即，解得， 此时满足，故，所以，． 故答案为： 35.在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 36.在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【解析】（1）由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． （2）因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 题型六：几何图形融合垂线 37．如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D，若，则CD为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】时，由余弦定理求出，在中由正弦定理得，又，可得和，在中正弦定理求. 【解析】因为，，所以， 在中由余弦定理，，得. 在中，由正弦定理，得，所以， 又，所以， 所以， 在中，，所以. 故选：D 38.如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则____________ 【答案】 【分析】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果 【解析】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为， 所以，， 所以， 又由题目条件可知，， 所以，， 所以， 所以． 故答案为： 39.如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D，若，则=__________ 【答案】 【分析】，由得，在和中，由余弦定理表示，结合，可求； 【解析】由题意，得，所以， ，，，由得. 在中，由余弦定理，得， 即， 在中，由余弦定理，得， 即， 两式联立消去，得，所以. 故答案为： 40.如图，在中，内角所对的边分别为为边上的高，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】由等面积法以及余弦定理、基本不等式即可求解. 【解析】由等面积法及余弦定理得 则， 其中， 所以，即， 即． 41.的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）设，，进而得到、，最后有即可求最大值. 【解析】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 42.设三个内角所对的边分别为．已知，且． (1)求角的大小； (2)如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用二倍角公式与诱导公式化简已知式，推得，结合角的范围，即可求得角； （2）结合图形，用的三角函数分别表示，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，借助于角的范围和正弦函数的图象性质，即可求得的最大值. 【解析】（1）由，可得 即，即得，故得， 因，故得. （2）由题设，在中，； 在 中， ，， 所以， 因为，所以，从而有， 故得 于是，当 ，即 时，取得最大值. 题型七：解三角形中几何图形与其他章节的融合 43．记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则（ ） A. 2 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【分析】由角平分线结合等面积法可得，再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分解为共线向量和垂直向量即可求解. 【解析】是角的平分线，在线段上，且，，， ，设的高为，由等面积法得， ， 过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点， . 故选：A. 44.如图已知O为的外心，若，则实数m的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【分析】利用向量数量积的几何意义，将已知条件化简整理为，结合正弦定理、三角形内角性质、三角恒等变换得到，进而有，应用基本不等式求最值，注意取等条件. 【解析】如图，过点作于点,因点是的外心，则. 则，同理 故由可得： ， 令外接圆半径，，由正弦定理，得， 所以，， 所以，而， 所以， 所以， 由，可得，则， 当且仅当时取等号，故， 所以实数m的最大值为. 故选：C 45.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理及余弦定理结合向量数量积计算判断A,根据三角形面积公式计算判断B，应用数量积公式及向量夹角余弦计算判断C，D. 【解析】由得， 化简，所以 又因为，所以， ∵为边中线，， 两边平方可得，，故A正确， 又，则∽，故，则，B正确， 对于CD: 解法一： . ， 前面已得， 所以. 故C正确，D错误. 解法二：因为，所以， ， 又 ，C正确， 由A选项知：，同理：，， 所以D错误， 故选:ABC． 46.如图，在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 【答案】 【分析】根据给定条件，设，利用正弦定理把表示成的函数，再利用正弦函数的性质及三角形面积公式求出最大值. 【解析】由，，，得， 设，，当时，重合，，； 当时，重合，，； 当时，，，， 在中由正弦定理，即，则， 在中由正弦定理，即，则， 于是 （其中锐角由确定）， 当且仅当时取等号，而， 因此，， 所以三角形的面积的最大值是. 故答案为： 47.已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线，若，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】方法一，首先由是直角三角形，设，则，，在和和中，分别利用余弦定理，求解，最后利用基本不等式，即可求解； 方法二，以向量为基底，表示向量，，利用数量积，表示，再利用基本不等式求最值. 【解析】（方法一：）由，且为中点，则， 不妨设，则，， 在中，由余弦定理：①， 又因为， 易得：② 由①②解得： ，（当且仅当时取“=”） 故的最小值为. （方法二：）∵ ， 同理：， 由，得， 即 ， 即， ∴， 当且仅当时，取“=” 故的最小值为. 故答案为： 48.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. (1)求角； (2)，求边上的中线的最小值； (3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角； （2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值； （3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解； 【解析】（1）在中，据正弦定理可将题设条件化为： 即，又据余弦定理： 可知， 又，故. （2）是的中点, ; 当且仅当时取等号，故. 所以边的中线的最小值是. （3）依题可知，； ，，共线，，，共线，则有， ； 两式对比可得； 故； 点为三角形的重心， 则； 又因的面积为，故； 则可得； 可得， ， 因为是锐角三角形，则为锐角， 故有， 可得， 同理为锐角，故有，可得， 可得， 设，则， 则有，当时，易知该对勾函数单调递增， 则，故. 题型八：解三角形在几何图形中的实际应用 49．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 【答案】C 【分析】在ABC中，由正弦定理得，再在ADC中，由正弦定理得解. 【解析】在ABC中，由正弦定理得， ∴． 在ADC中，， ∴ 故选：C 50.如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【解析】由题意可知，，，， 设，在中，，有； 在中，，有； 在中，，有， 又， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则， 即，解得，即米. 故选：B 51.如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，利用余弦定理求出，再在中，利用正弦定理得. 【解析】设米，则米． 在中，由余弦定理得， 即，解得． 在中，米，，， 由正弦定理得， 即，解得（米）． 故选：B 52.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（  ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【解析】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 53.（多选）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（  ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 【答案】AC 【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可. 【解析】在中，由已知得，， 则，由正弦定理得， 所以A处与D处之间的距离为，故A正确； 在中，由余弦定理得， 又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误； ，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误； 故选：AC 54.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则_____________ 【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【解析】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以， 故答案为： 55.某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    【答案】 【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 【解析】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 56.复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角. （1）若喷灌的有效覆盖区域面积为，求； （2）设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）在中求出，在再中利用面积公式表示出，利用余弦定理表示出，再结合完全平方公式可求得结果； （2）在和中分别利用正弦定理表示出，然后表示出，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值. 【解析】（1）由已知得 为直角三角形， 因为 ， 所以， 设点到的距离为，则， 所以，得， 因为， 所以，得， 在中，由余弦定理得, 即，得， 所以， 所以； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 在中，由正弦定理得：，得， 所以， 在中，由正弦定理得：, 得， 所以， 所以 因，所以， 所以， 所以当，即时，取得最大值. 所以，喷灌的有效覆盖区域的最大面积为. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $