专题05 立体几何中的空间距离与空间角10种常考难点题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题05 立体几何中的空间距离与空间角10种常考难点题型 题型一： 求异面直线所成角 题型二： 异面直线所成角的应用 题型三：求直线与平面所成的角 题型四：直线与平面所成的角的应用 题型五：求二面角 题型六：二面角的应用 题型七：求点到面的距离 题型八：求直线到平面的距离 题型九：求两平面间的距离 题型十：空间距离的综合应用 题型一： 求异面直线所成角 1．在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（  ） A． B． C． D． 2.在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 3.在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（  ） A． B． C． D． 4.如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为_____________    5.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 6.已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为__________ 7.在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 8.已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值． 题型二： 异面直线所成角的应用 9．正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则（  ） A．1 B． C．2 D． 10.如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为（  ） A． B．2 C． D．5 11.在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（  ） A． B． C． D．或 12.（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（  ）    A． B． C． D． 13.在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 14.在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，则=___________. 15.在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 16.如图，在正方体中： (1)求直线与的夹角； (2)作出异面直线AC与所成的角； (3)作出异面直线与所成的角，并求出该角的正切值． 题型三：求直线与平面所成的角 17．正方体，直线与平面所成的角的大小是（  ） A． B． C． D． 18.三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（  ） A． B． C． D． 19.在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（  ） A． B． C． D． 20.在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为____________ 21.如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为________ 22.如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 24.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 题型四：直线与平面所成的角的应用 25．已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（  ） A． B． C． D． 26.已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（  ） A． B． C． D． 27.如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点，若与平面所成角为，则_________．    28.如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点，已知，则=_________；    29.在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 30.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线的长度. 31.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 题型五：求二面角 32．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（  ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 33.在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（  ） A． B． C． D．2 34.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（  ）      A． B． C． D． 35.（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（  ） A． B． C． D． 36.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    37.已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为________ 38.如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 39.如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 40.如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 41.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 题型六：二面角的应用 42．如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（  ）      A． B． C．4 D．8 43.将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（  ） A．1 B． C． D． 44.如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（  ） A． B． C． D．2 45.如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 46.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面所成的锐二面角最小时，截面的面积为（  ） A． B． C．4 D． 47.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度_________    48.在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 49.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为____________ 50.如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 题型七：求点到面的距离 51．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 52.已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 53.如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 54.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 55.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 56.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 题型八：求直线到平面的距离 57．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 58.在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 59.某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 60.四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 61.如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； 题型九：求两平面间的距离 62．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 63.如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 64.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（  ）    A． B． C． D． 65.如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 题型十：空间距离的综合应用 66．在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（  ） A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关 C．和点P的位置有关 D．等于 67.已知四边形为正方形，为平面外一点，，，二面角的大小为，则点到平面的距离是（  ） A． B． C． D．1 68.在中，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为1，则直线与平面所成角的余弦值是（  ） A． B． C． D． 69.正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（  ） A． B． C． D． 70.在中为BC中点，若将沿着直线AD翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线AN与平面ABD所成角的余弦值是（  ） A． B． C． D． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何中的空间距离与空间角10种常考难点题型 题型一： 求异面直线所成角 题型二： 异面直线所成角的应用 题型三：求直线与平面所成的角 题型四：直线与平面所成的角的应用 题型五：求二面角 题型六：二面角的应用 题型七：求点到面的距离 题型八：求直线到平面的距离 题型九：求两平面间的距离 题型十：空间距离的综合应用 题型一： 求异面直线所成角 1．在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【解析】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 2.在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【解析】如图，取的中点，连接， 则，所以，且， 故四边形是平行四边形， 则，故即为与所成的角（或其补角）， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得 ， 故与两条异面直线所成角的余弦值为. 故选：A. 3.在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线的夹角定义转化为求直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，最小值为点到面的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解. 【解析】如图，分别取的中点，连接， 取的中点，连接 由三棱台的性质知，且， 所以四边形为平行四边形， 又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角， 要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小， 又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离， 设点到面的距离为，利用等体积法知 即，即， 在直角中，，， 又在中，，，， ，又 设直线与AP夹角的最小值为，则 故选：B    4.如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为_____________    【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【解析】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故答案为： . 5.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）,再利用余弦定理及同角三角函数关系即可求. 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 6.已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为__________ 【答案】 【分析】画出图形，分析当四面体的体积取得最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理可求得结果. 【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径， 依题意知，最长为，最长为内切球的直径2， 由三角形面积公式，若为定值时，时面积最大， 画出图形如图所示，其中分别是所在正方形的中心，是内切球与外接球的球心，    由正方体性质知，，，， 又，故此时四面体的体积取得最大， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成的角， 在中，， 由余弦定理得 故答案为： . 7.在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60°；(2)或 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【解析】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 8.已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据点与线和点与面的位置关系推出是平面和的公共点，结合平面平面，即可证明； （2）连接，作的中点，并连接，，利用中位线的性质可以得到异面直线与所成的角等于直线与所成角，再根据余弦定理即可求解. 【解析】（1）因为，，平面，平面， 所以平面， 因为，，平面，平面， 所以平面， 由于直线与直线相交于点， 即，平面，，平面， 又有平面平面，则， 所以，，三点共线. （2）连接，作的中点，并连接，，如图所示： 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角， 又，由余弦定理得：， 故异面直线与所成的角的余弦值为. 题型二： 异面直线所成角的应用 9．正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】在上取点使，连接，分析可知即为异面直线与所成的角(或其补角)，利用余弦定理可得的长. 【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故选：A. 10.如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为（  ） A． B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】取中点，连接，，分析可知为异面直线与所成的角（或补角），利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【解析】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故选：D. 11.在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，连接，，，，，分析可知或， ，利用余弦定理可得的长. 【解析】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 12.（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】取的中点为，连接，，分析可知或， ，利用余弦定理可得的长. 【解析】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 13.在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【答案】1或 【分析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，分析可知利用余弦定理可得EF的长. 【解析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线， 可得，                           同理可得， 因为AD与BC所成的角为60° 所以等于60°或120°， 当 在中根据余弦定理得， 当同理可得 故答案为：1或 14.在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，则=___________. 【答案】 【分析】连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【解析】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 故答案为： 15.在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】设的中点分别为，连接,,,,分析可知利用面积公式即可得。 【解析】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 16.如图，在正方体中： (1)求直线与的夹角； (2)作出异面直线AC与所成的角； (3)作出异面直线与所成的角，并求出该角的正切值． 【答案】(1)；(2)答案见解析；；(3)图形见解析，正切值为． 【分析】（1），所以是异面直线与所成的角或其补角，解三角形可得； （2）设与交于点，则是中点，取中点，可得是异面直线AC与所成的角或其补角； （3）由，所以是异面直线与所成的角或其补角．解三角形可得． 【解析】（1）正方体中，所以是异面直线与所成的角或其补角， ，所以异面直线与所成的角是； （2）设与交于点，则是中点， 取中点，连接，则， 所以是异面直线AC与所成的角或其补角． （3）因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由于正方体中平面，平面，所以， ． 所以异面直线与所成的角的正切值为． 题型三：求直线与平面所成的角 17．正方体，直线与平面所成的角的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【解析】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 18.三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【解析】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：D． 19.在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设，由题目条件可得，即可得答案. 【解析】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设. 因，则. 因平面PFOE，平面PFOE，则，且为PA与平面PBC所成角， 又，，平面AOE，平面AOF， 则平面AOE，平面AOF. 又平面AOE，平面AOF，则. 又，，，则， 故，结合，得. 又，则，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于. 故选：A 20.在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为____________ 【答案】 【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解. 【解析】依题意，可得如图： 设底面的中心为， 易得平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，则， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角. 因为， 所以. 所以. 故答案为： 21.如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为________ 【答案】 【分析】由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得. 【解析】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故答案为： 22.如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 23.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【解析】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 24.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【解答】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则 题型四：直线与平面所成的角的应用 25．已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取圆台的轴截面，由题意可得圆台的表面积. 【解析】取圆台的轴截面，如下图所示： 、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，， 延长、交于点，则是边长为的等边三角形， 因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点， 故，即圆台的母线长为， 因此，该圆台的表面积为. 故选：D. 26.已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线与底面所成角的余弦值为，即，进而求正三棱锥的体积. 【解析】 如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故, 故选：B 27.如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点，若与平面所成角为，则_________．    【答案】 【分析】由题意可得为与平面所成角，则，再由，可求出棱柱的高，从而可求出棱柱的表面积. 【解析】因为三棱柱为正三棱柱，所以为正三角形，平面， 因为为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 连接，， 所以为与平面所成角， 所以， 因为，为正三角形，所以，, 在直角中，，则，得， 所以 故答案为： 28.如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点，已知，则=_________；    【答案】 【分析】利用线面垂直的性质和判定证明即可；根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出即可得解； 【解析】因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 故答案为： 29.在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【解答】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 30.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可； （2）根据线面夹角的定义及已知可求得AB长，再根据勾股定理即可求解. 【解析】（1）连接，记， 为中点， 为中点， ， 又，，∴平面；    （2）因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.   因为矩形中，所以.   因为平面，平面，所以， 计算可得. 31.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析;(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由四边形是菱形，得，再由平面，得，然后利用直线与平面垂直的判定可得平面； （2）（ⅰ）依题意可得，，利用勾股定理求出，，根据，所以即为直线与所成角（或补角），再利用余弦定理求出，即可得解； （ⅱ）依题意是直线与平面所成的角，从而得到，再由勾股定理求出，即可得到菱形的面积，最后根据锥体的体积公式计算可得； 【解析】（1）证明：四边形是菱形，， 又平面，平面， ，又，平面， 平面； （2）解：（ⅰ）平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以即为直线与所成角（或补角）， 又，所以在中由余弦定理， 即，解得，所以为锐角， 即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值； （ⅱ）平面， 是直线与平面所成的角， 于是， ，，又， 所以 菱形的面积为， 故四棱锥的体积． 题型五：求二面角 32．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（  ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【解析】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B. 33.在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【解析】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D. 34.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（  ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值. 【解析】过作平面平面，交于点 则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，又平面， 所以，又为平面与平面的交线， 则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则.    故选：B 35.（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合二面角的定义找到其平面角，进而求其大小. 【解析】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 36.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    【答案】45° 【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可. 【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD， 又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD， 又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°． 故答案为：45°． 37.已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为________ 【答案】 【分析】结合基本等式找到为的中点时，的体积取最大值，取中点，连接，易得为二面角的平面角，进而求平面与平面的夹角的正切值. 【解析】设，因为，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 又，且，所以当时，的体积取最大值， 即为的中点时，的体积取最大值， 取中点，连接，因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 则，所以平面与平面的夹角的正切值为，    故选： 38.如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【解析】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 39.如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）在上取一点，使得，得到四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理即可证平面； （2）取的中点，的中点，由面面垂直得到⊥平面，⊥，⊥，设，由余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥平面，即为二面角的平面角，解三角形即可求出. 【解析】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 40.如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据E，F分别是棱、的中点得到，从而可证直线平面； （2）利用线面角与二面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得所需线面角与二面角，从而得解. 【解析】（1） ∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，， ∵平面，平面，∴直线平面； （2） ∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， ∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为， ∴，∴，∵平面，，⊂平面， ∴，，∵，，，平面， ∴平面，∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为，∴， ∴，，设， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，，∴是二面角的平面角， ∴二面角的大小为． 41.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点F，连接EF，CF，且CF交BD于点O，连接OE，即可得到是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）如图，取的中点，连接，， 因为M是EB的中点，所以MN是的中位线， 所以且， 又，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面ADE，平面ADE， 所以平面ADE.    （2）如图，取的中点F，连接EF，CF，且CF交BD于点O，连接OE， 由，，，得四边形CDFB是正方形，所以， 因为，所以， 因为平面平面ABE，平面平面，平面ABE， 所以平面，又平面ABCD， 所以，. 又因为，EF，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，易知，， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为. 题型六：二面角的应用 42．如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（  ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【解析】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 43.将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【解析】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B. 44.如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得． 【解析】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接， 平面，则，同理， 又，平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 所以， 又是矩形，所以，， 从而，所以. 故选：A． 45.如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，易得，过作交于，则为的中点，过作交于，则为二面角的平面角，求得的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线，过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径得解. 【解析】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以， 所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以， 易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以. 记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 46.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面所成的锐二面角最小时，截面的面积为（  ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由最大角定理得到平面与平面所成的最小锐二面角，然后作出截面，求解. 【解析】如图： 当平面与平面所成角等于和平面所成的线面角时， 平面与平面所成角最小（最大角定理）， 取中点， 此时平面与平面所成角为，余弦值为． 过点作为中点，延长交延长线于， 连接交于点，连接，， 分别取棱，中点，， 则六边形PNHGQF即为截面， 截面是边长为正六边形，其面积为． 故选：A. 47.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度_________    【答案】 【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可. 【解析】    如图，过点作，过点作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，所以， 因为，，二面角为，所以， 在中，， 解得， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 48.在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 【答案】 【分析】利用余弦定理表示所求，后再求最值即可. 【解析】作于点，连接， 设，则，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以面，所以， 则， 当最短时，，所以，即此时为的角平分线， 由角平分线定理可得，. 故答案为：. 49.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为____________ 【答案】 【分析】取的中点，的中点为，则折叠后有平面，在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，可用的三角函数表示的正切值，利用导数可求其最大值． 【解析】 取的中点，的中点为，因为为等腰三角形， 故，同理， ，所以有平面． 因为平面，故平面平面． 在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接． 因为，平面，平面平面，故平面． 因为平面，故， 又，，故平面， 又平面，故，所以为二面角的平面角． 设，则，， ， 所以，其中． 令，则，令且， 当时，；当时，； 所以，故， 故答案为： 50.如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 题型七：求点到面的距离 51．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接利用等积变换，即可得解. 【解析】在棱长为1的正方体中，连接， 则几何体是棱长为的正四面体，， ， 设点到平面的距离为，则， 因此，所以. 故选：B 52.已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得到与平面所成角为，利用等积变换，即可得解. 【解析】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 53.如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理，得到线面垂直，点D到平面的距离为的长，即可得解. 【解析】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 54.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 【答案】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【解析】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 55.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明； 由条件知为与平面所成角进而求A到平面的距离。 【解析】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 56.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【解答】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 题型八：求直线到平面的距离 57．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解析】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 58.在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】 【分析】由条件先证明平面，得到直线与平面的距离等于点到平面的距离，利用等积变换即可求解. 【解析】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 59.某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【分析】由条件先证明平面与底面垂直，得到FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离由此可求解. 【解析】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 60.四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度， 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为. 61.如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； 【答案】(1)； (2) 【解答】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. 题型九：求两平面间的距离 62．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解析】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 63.如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【解析】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 64.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可. 【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：，所以. 故该正方体的棱长为，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为， 则该小三棱锥几何体的体积为，    所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离. 易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离. 故选：C 65.如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【解析】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    题型十：空间距离的综合应用 66．在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（  ） A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关 C．和点P的位置有关 D．等于 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定性质、点到平面距离的定义推理计算即可. 【解析】在棱长为a的正方体中，由为上两个动点，得平面即平面， 由平面，平面，得平面， 而为AB上任意一点，则点到平面的距离即点到平面的距离， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面， 所以点到平面的距离为，ABC错误，D正确. 故选：D 67.已知四边形为正方形，为平面外一点，，，二面角的大小为，则点到平面的距离是（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用线面垂直的判定及性质、二面角的定义、等体积法及棱锥体积公式运算即可得解. 【解析】解：    由题意，∵四边形为正方形，∴，. 又∵，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角， ∴，又∵， ∴是等边三角形，取中点，连接、如上图，则， ∵，， 平面，平面，， ∴平面，又∵平面， ∴， 又∵，平面，平面， ∴平面，即为棱锥的高， 在边长为2的等边三角形中，. 又∵平面，所以， 在正方形中，由知， ∴在中，；在正方形中，， 又知，则如下图，取中点，连接，    则，且由，得， ∴.假设点到平面的距离为 又知， ∴由得， 即，解得：， ∴点到平面的距离为. 故选：A. 68.在中，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为1，则直线与平面所成角的余弦值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，根据外接球半径即可确定球心，然后利用等体积法求到平面的距离即可求解. 【解析】因为，所以， 由为中点，所以，则，即为等边三角形， 设的外接圆圆心为G，的外接圆圆心为O，取BD中点为H，连接，    因为，所以由正弦定理可得，即的外接圆半径为1， 又四面体的外接球半径为1，所以O为外接球球心， 由球的性质可知，平面，因为平面，所以， 因为，，所以. 设到平面的距离为d， 因为和都是边长为1的正三角形， 所以，由得，即， 记直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：A 69.正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，结合题干条件在中求解可得，由可得直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 作可证明为点与平面BCF之间的距离，求解即可. 【解析】 取为中点，连接不妨令相交于， 由于点E为的中点，故， 即四边形为平行四边形，故，故与BF所成角的大小与与所成角的大小相等，即， 不妨设，故， 由平面，平面，故，点为中点， 故，又，故为等边三角形，即， 解得，即， 连接，作于， 由于，平面BCF，平面BCF，故 平面BCF， 则直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 由平面，平面，故，又平面BCF， 故平面BCF，即为点与平面BCF之间的距离， ， 故，即直线与平面BCF之间的距离为. 故选：C 70.在中为BC中点，若将沿着直线AD翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线AN与平面ABD所成角的余弦值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若是的外接圆圆心，根据已知确定的外接球球心为，作平面于，求得，再由等体积法求得，求线面角的正弦值，进而求其余弦值. 【解析】由题设，若是的外接圆圆心，，，， 所以的外接圆半径， 又四面体的外接球半径为， 所以的外接球球心与的外接圆圆心重合，即为，      作平面于，且是边长为2的等边三角形， 又是的球心，则为的中心， 故，而，则， 由是边长为2的等边三角形，且， 易知到平面的距离， 由，故直线AN与平面ABD所成角正弦值为，故余弦值为. 故选：B 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $