专题07 立体几何中的轨迹问题6种常考难点题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何轨迹问题，通过平行、垂直、定角等六类几何条件分类突破，题型覆盖选择、填空及解答，注重空间观念与几何直观的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行研究轨迹|5题|线面平行转化轨迹|线面平行判定到动点轨迹确定| |利用垂直研究轨迹|7题|线线/线面垂直条件|垂直关系与轨迹方程结合| |利用定角研究轨迹|7题|线面角/线线角为定值|空间角与轨迹形状关联| |利用定长研究轨迹|7题|距离或线段长为定值|距离公式与轨迹范围确定| |轨迹求面积与体积|6题|轨迹区域度量计算|轨迹应用于空间度量| |轨迹综合应用|7题|多条件交汇综合|几何关系综合与空间想象|

专题07 立体几何中的轨迹问题6种常考难点题型 题型一：利用平行研究轨迹 题型二：利用垂直研究轨迹 题型三：利用定角研究轨迹 题型四：利用定长研究轨迹 题型五：利用立体几何中的轨迹求面积与体积 题型六：立体几何中的轨迹综合应用 题型一：利用平行研究轨迹 1．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 2.已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 3.（多选）如图所示，已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有（  ） A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积是定值 C．的取值范围是 D．直线与所成角的余弦值的最小值为 4.如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为 . 5.如图，四面体的每条棱长都等于2，分别是棱的中点，分别为面，面，面的重心. (1)求证：面面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)保持点位置不变，在内（包括边界）拖动点，使直线与平面平行，求点轨迹长度； 题型二：利用垂直研究轨迹 6．已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为（  ） A．1 B． C．3 D． 7.已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（  ） A． B．3 C． D． 8.如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（  ） A． B． C． D．π 9.在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为 ． 10.如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 . 11.已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为 . 12.如图，在直三棱柱中，是侧面内的动点（包括边界），D为的中点，，求证：点E的轨迹为线段； 题型三：利用定角研究轨迹 13．在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（  ） A． B． C． D． 14.已知正四面体的棱长为，点M为平面ABC内的动点，设直线SM与平面ABC所成的角为，若，则点M的轨迹所形成平面图形的面积为（  ） A． B． C． D． 15.已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 16.（多选）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论正确的是（  ）    A．点所在区域面积为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 17.如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 ．    18..如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且， 若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是_________ 19.如图，点是棱长为1的正方体上底面的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 . 题型四：利用定长研究轨迹 20．在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 21.在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为（  ） A． B． C． D． 22.已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（  ） A． B． C． D． 23.在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（  ） A． B． C． D． 24.已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为___________ 25.已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 26.在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为 . 题型五：利用立体几何中的轨迹求面积与体积 27．已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点所形成区域的面积为（  ） A． B． C． D． 28.已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为（  ） A． B． C． D． 29.如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．    30.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为_____________ 31.在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为_____-   32.已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为________ 题型六：立体几何中的轨迹综合应用 33．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（  ） A．4 B． C． D． 34.在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 35.（多选）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（  ） A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为 C．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为 D．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为 36.（多选）在正方体中，点在平面上（异于点），则正确的是（  ） A．直线与垂直． B．存在点，使得 C．不存在点，使得 D．三棱锥的体积为定值 37.（多选）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（  ） A．若平面，则点P的轨迹长度为 B．若平面，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 38.（多选）如图，正方形的棱长为3，动点在内，满足，则下列说法正确的是（  ） A． B．与平面所成的角的正弦值为 C．始终为钝角三角形 D．点的轨迹长度为 39．（多选）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则（  ） A．当时，最小值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，平面平面 D．若，则P的轨迹长度为 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何中的轨迹问题6种常考难点题型 题型一：利用平行研究轨迹 题型二：利用垂直研究轨迹 题型三：利用定角研究轨迹 题型四：利用定长研究轨迹 题型五：利用立体几何中的轨迹求面积与体积 题型六：立体几何中的轨迹综合应用 题型一：利用平行研究轨迹 1．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取AD的中点M、CD的中点N，连接， 因为E为BC的中点，M为中点，由正方体的性质可得， ，，所以四边形是平行四边形， 所以，，又因为，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，由正方体的性质可得, ，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为M为中点，N为中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以动点F的轨迹为线段， 又，故动点F的轨迹长度为． 故选：D． 2.已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，， 由面，面，则面， 同理可证面，，面， 所以面面，    所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又， 所以点在侧面，故的轨迹为线段， 因为，，所以. 故答案为： 3.（多选）如图所示，已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有（  ） A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积是定值 C．的取值范围是 D．直线与所成角的余弦值的最小值为 【答案】A 【解析】对于A，分别取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； ，平面，平面，平面； ，平面，平面平面； 则当平面时，平面恒成立， 又平面平面，平面， 点轨迹为线段，A正确； 对于B，由A知：平面，点到平面的距离即为点到平面的距离， ， 即三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，连接， 在中，，，， 点到的距离为， 的取值范围为，C错误； 对于D，由A知：，直线与所成角即为直线与所成角，即， 则当与重合时，取得最大值，此时余弦值取得最小值； 在中，，，， ， 即直线与所成角的余弦值的最小值为，D正确. 故选：ABD 4.如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，如图所示： 分别是棱的中点，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面平面，所以平面. 因为，所以平面平面. 因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点， 所以的轨迹为线段，则. 故答案为：. 5.如图，四面体的每条棱长都等于2，分别是棱的中点，分别为面，面，面的重心. (1)求证：面面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)保持点位置不变，在内（包括边界）拖动点，使直线与平面平行，求点轨迹长度； 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解析】（1）如图，连接,易知三点共线 因为分别为面，面，面的重心， 所以在中，，所以， 在中，所以分别是棱的中点，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面， 在中，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为，平面， 所以面面. （2）由（1）知，平面平面，所以平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等， 如图，连接，因为分别是棱的中点， 所以在等腰中，，在等边中，， 所以是平面的夹角与平面与平面所成角的平面角， 因为面，面，所以, 又，，，平面，所以面， 又面，所以， 所以在中，， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）如图，取线段靠近点的三等分点P，连接，易知三点共线， 连接，因为点为等边的重心，所以， 所以当点在点P位置时，满足题意， 取线段靠近点G的三等分点Q，连接，易知，又， 所以，所以共面，即当O在线段上运动时，均满足题意， 所以即为点的轨迹长度, 又， 所以点的轨迹长度为. 题型二：利用垂直研究轨迹 6．已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为（  ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 如图，取的中心为，连接，作于，连接，延长交于点， 注意到底面三角形是等边三角形，所以， 由正三棱锥的性质可得为高， 因为底面边长为6，体积为， 所以，所以， 注意到底面三角形是等边三角形，所以为三角形外接圆的半径， 所以由正弦定理有，所以， 所以. 因为面，面， 所以， 又因为，面，面， 所以面， 因为面， 所以， 因为，且，面，面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为动点在棱锥侧面上运动，并且总保持， 所以点的轨迹为线段. 在等腰三角形中，由余弦定理有， 从而，所以. 故选：D. 7.已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 由，得点在平面内， 由，得点在以为球心，半径为1的球面上， 因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆， 连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为， 则由得， 且，所以，则， 因此动点的轨迹长度为. 故选：D. 8.如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（  ） A． B． C． D．π 【答案】C 【解析】取中点P，连接，的中点为，如图， 是中点，是等边三角形，所以， 又N为棱上的中点，由直三棱柱性质知， 又因为，平面， ∴平面，又平面，∴平面⊥平面， 过N作,为垂足， 又平面 平面，平面，∴⊥平面， 所以O点轨迹是在平面内且以为直径的圆弧， 当点M在点C时，O点位于P点，当点M到点时，O点到最高点， 此时， 所以直角中， ，从而，∴弧长， ∴当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为. 故选：C. 9.在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为 ． 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，，， 则，，平面， 所以平面，则， 又，所以，所以． 过作于，设动点的轨迹所在平面为，则平面经过点且， 所以点的轨迹为平面截三棱锥的外接球所得的截面圆． 设，的中心分别为，，连接，，，易知平面，平面， 且，，，四点共面， 由题可得，，所以． 又，则三棱锥的外接球半径． 易知平面平面，点到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径， 所以截面圆的周长，即所求周长为． 故答案为： 10.如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 . 【答案】 【解析】 取中点，连接，则，平面， 又和均是边长为6的等边三角形，， ∴平面，， 所以， ∴， 设四面体外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 在中，得，又， 则四面体外接球半径， 所以四面体外接球的表面积为； 作于，设点轨迹所在平面为， 则平面经过点且， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为，即点轨迹的周长为. 故答案为：；. 11.已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为 . 【答案】 【解析】如图，分别取，，，，的中点E，F，G，H， 连接，，，，，，， 则，又平面，平面， 所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面， 在正方体中，易知平面， 所以平面， 又点P在正方体表面上运动， 故P点的轨迹为正六边形， 因为正方体的棱长为2，即， 所以，， 故正六边形的面积为. 故答案为：. 12.如图，在直三棱柱中，是侧面内的动点（包括边界），D为的中点，，求证：点E的轨迹为线段； 【答案】(1)证明见解析 【解析】补形为正方体，连接， 显然． 由正方体性质，平面，平面，所以， 又，且平面，， 所以平面，而平面，所以， 同理，又平面，， 所以平面，即平面． 因为， 所以在平面内． 又因为平面， 所以点E在平面和平面的交线上． 因为平面平面是侧面内的动点（包括边界）， 所以点E的轨迹为线段． 题型三：利用定角研究轨迹 13．在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故选：A 14.已知正四面体的棱长为，点M为平面ABC内的动点，设直线SM与平面ABC所成的角为，若，则点M的轨迹所形成平面图形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正四面体中，顶点在底面的投影为正的中心，即平面， 因为正四面体的棱长为，所以， 所以， 因为直线SM与平面ABC所成的角为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆面， 所以点M的轨迹所形成平面图形的面积为， 故选：B   15.已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设球的半径为．如图所示，连接交于点，连接，则，，平面，所以，解得． 在中，因为，，所以． 因为正方形的中心到各边的距离为，所以点的轨迹为平面内，以点为圆心，半径的圆，故点的轨迹长度为． 故选:D．    16.（多选）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论正确的是（  ）    A．点所在区域面积为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 【答案】AC 【解析】A.由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界弧长），即圆的，面积为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B.不妨点P与点F重合，此时， 由余弦定理得：，则 同理可得：，故不止一个点使得，B错误； C.如图，平面，平面，所以， 且，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，平面, 所以平面,所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点处时，此时点P到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当P与点F重合时，此时点P到平面的距离最小，最小距离为， 因为△BFK∽△BAH，所以，所以最小体积为，    故四面体的体积取值范围为，C正确；    D.当PC取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当A，P，C三点共线时，PC取得最小值，即， 则，D错误 故选：AC 17.如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 ．    【答案】 【解析】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，    可知平面与正方体相交的截面即为正六边形，其边长为， 因此面积为． 由上可知，平面，且垂足H为的中点， 如图2，动直线是以为轴、直线与直线的夹角为的圆锥的母线， 点Q的轨迹为圆锥底面圆．           图2 因为，所以底面圆的半径， 所以点Q的轨迹长度为． 故答案为：； 18..如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且， 若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是_________ 【答案】 【解析】如图，自点引平面的垂线，垂足为,因为， 则A,B两点在以CO为高以CA,CB为母线的圆锥的底面圆周上，所以当A,B 两点运动到公共棱上时AD最大. 自点引公共棱的垂线OH，则，不 难解出，在中，由余弦定理 得:， 又在中由余弦定理得： 故答案为： 19.如图，点是棱长为1的正方体上底面的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【解析】因为直线与平面所成的角为， 所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体上上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为： 题型四：利用定长研究轨迹 20．在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在面的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆弧，    所以轨迹长度为. 故选：B. 21.在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先证明，，，则； 如下图所示：    设，， 在平面内取一点，过点作直线，过点作直线， 由面面垂直的性质定理可得平面，平面； 又，即，所以可得； 又，且平面，可得； 因为平面，均与底面垂直，平面平面， 所以平面，在平行六面体中，则平面， 又底面是边长为的菱形，，连接，则为边长为的等边三角形， 取的中点，连接，则，且， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又点在侧面上运动，即平面， 所以，又，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆（圆弧）上， 在、分别取点、，使得， 即，且， 又，所以点在弧上，且圆心角， 所以点的轨迹长为. 故选：A.   22.已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，    由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 23.在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 24.已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为___________ 【答案】 【解析】 ， 设为等边三角形的中心，则平面， 连接，则， 所以， ， 而点到的距离为， 点到的距离为， 所以点轨迹是以点为圆心，以为半径， 且与的三边各有2个交点的三段相等圆弧，如图， 设圆弧与相交于两点，作，则， ，所以，可得， 可得点的轨迹在内部的弧所对的圆心角为， 则弧长为. 故答案为：. 25.已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点在棱长为2的正方体表面运动，且， 则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形， 分别取棱，，，，，的中点，，，，，， 则， 因此四边形均为棱长为的菱形，所以 平面， 因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图， 当点在线段上时，若点为线段中点，有， 于是点为线段上任意一点，， 当点在线段上时，为钝角， 则，即， 当点在线段上时，， 为钝角，则，即， 当点在线段上时，由， 边上的高为，此时， 由对称性知，当点在折线上时，， 所以线段的长的取值范围是． 故选：D． 26.在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为 . 【答案】/ 【解析】首先证明，，，则； 如下图所示：    设，， 在平面内取一点，过点作直线，过点作直线， 由面面垂直的性质定理可得平面，平面； 又，即，所以可得； 又，且平面，可得； 因为平面，均与底面垂直，平面平面， 所以平面，在平行六面体中，则平面， 又底面是边长为的菱形，，连接，则为边长为的等边三角形， 取的中点，连接，则，且， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又点在侧面上运动，即平面， 所以，又，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆（圆弧）上， 在、分别取点、，使得， 即，且， 又，所以点在弧上，且圆心角， 所以点的轨迹长为. 故答案为： 题型五：利用立体几何中的轨迹求面积与体积 27．已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点所形成区域的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，将该四面体放置在一个长方体中， 由题可知长方体的长、宽、高分别为 体对角线长为 其外接球半径 因为所以点的轨迹为一个圆，设其半径为 则即解得 或即此时无解， 故所求其面积为． 故选：D． 28.已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用截面平面，判断出动点的轨迹在三角形及其内部，即求的面积即可得到结果. 【解析】因为平面平面， 所以点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面， 所以点的轨迹是三角形及其内部， 所以的面积为. 故选：C．    29.如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．    【答案】 【分析】连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积. 【解析】    连接交于，取的中点，过作， 分别交于，连接， 易得， 因为平面，平面，所以平面， 平面，因为，且都在面内，所以平面平面， 所以的轨迹为线段， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故三棱柱的表面积为. 故答案为：. 30.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为_____________ 【答案】 【解析】因为为正六棱锥，则顶点在底面的投影为底面中心，如图， 又因为底面边长为，则，可得， 且，则， 可知点所形成区域为以为圆心，半径为的圆面，其面积为. 故答案为：. 31.在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为_____- 【答案】 【分析】取正方形的中心，利用线面垂直及线面角可求得，进而确定轨迹并求出面积. 【解析】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故答案为：.    32.已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为________ 【答案】 【解析】分别取的中点，连接， 故， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，故， 因为平面，平面， 所以平面， 又点是棱的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 故当在线段上运动时，满足平面， 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 其中两两垂直，且， 故其外接球半径为， 故较小部分的外接球的体积为. 故答案为： 题型六：立体几何中的轨迹综合应用 33．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（  ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，所以，平面，所以平面， 由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界. 为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为. 因此，三角形 的周长为. 故选 ：D . 34.在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧. 分别为，则； 当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径， 在平面上以B为圆心，1为半径的， 在平面上以D为圆心，1为半径的， 则.所以． 故选：C． 35.（多选）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（  ） A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为 C．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为 D．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】选项A：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，正确； 选项B、C：异面直线与所成角的取值范围是，B正确,C错误； 对于D：因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确； 故选：ABD 36.（多选）在正方体中，点在平面上（异于点），则正确的是（  ） A．直线与垂直． B．存在点，使得 C．不存在点，使得 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】对于A，在正方体中，平面，平面， 故，又,且平面， 故平面，平面，故， 同理可证,平面, 故平面,平面,故，A正确；    对于B、C，由于，假设存在点，使得，而平面， 平面，则平面，则平面或平面， 而直线与平面显然相交，故B错误；C正确 对于D，由于，故四边形为平行四边形， 则，平面，平面，故平面， 同理可证平面，平面， 故平面平面，即平面和平面之间的距离为定值， 而平面，故M点到平面的距离为定值， 由于的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 则三棱锥的体积为定值，D正确 故选：ACD 37.（多选）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（  ） A．若平面，则点P的轨迹长度为 B．若平面，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】解：对A选项，如图， 分别取，的中点N，M， 则易得，，， ，， 平面，平面 从而易得平面平面， 又P是正方形内的动点，且平面， ∴P点的轨迹为线段，又，∴A选项正确； 对B选项，由A选项分析可知P点的轨迹为线段，， ∴三角形的面积为定值，又D到平面的距离也为定值， ∴三棱锥的体积为定值，∴B选项正确； 对C选项，如图，若，又，且平面， 则， ∴P点的轨迹是正方形内以为圆心，1为半径的四分之一圆弧， ∴P的轨迹长度为，∴C选项错误； 对D选项，如图， 若P是棱的中点，取的中点G，的中点H， 则，∴G到E，F，P的距离相等，又平面， ∴三棱锥的外接球的球心O在上， 设，则，又，， 设三棱锥的外接球的半径为R，则， ∴在与中，根据勾股定理可得： ，解得， ∴， ∴三棱锥的外接球的表面积是，∴D选项正确. 故选：ABD. 38.（多选）如图，正方形的棱长为3，动点在内，满足，则下列说法正确的是（  ） A． B．与平面所成的角的正弦值为 C．始终为钝角三角形 D．点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】对于A，正方形中，平面, 因为平面,所以， 动点在内，当不可能与点重合时，不成立，A错误； 对于B，正方形中， 是平面内两条相交直线，平面， ，设点交平面于点, 所以点到平面的高为， 则为与平面所成的角，且， 所以与平面所成的角的正弦值为，B正确； 对于C，由选项B可知, 进而在直角三角形中，， 在中，由余弦定理可得 , 所以为钝角，C正确； 对于D.根据选项B可知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一部分， 又因为是等边三角形，且, 可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一半， 则点的轨迹为长度为，D正确； 故选：BCD. 39．（多选）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则（  ） A．当时，最小值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，平面平面 D．若，则P的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】对于A中，当时，，可得点在上， 以为轴，把平面与平面展在一个平面上，如图所示， 连接交于点，此时最小值为，所以A错误；    对于B中，当时，，可得点在上， 取的中点，在等边中，可得，且， 因为平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 即为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为为定值，所以B正确；    对于C中，当时，，可得点为的中点， 如图所示，取的中点，分别连接， 可得且，所以为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面，所以C正确；    对于D中，由点P满足，其中， 可得点在矩形内（包含边界）， 取的中点，连接和， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，且， 在直角中，可得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，其轨迹长度为，所以D正确. 故选：BCD      1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $