精品解析：福建龙岩市新罗区龙岩初级中学教育组团2023～2024学年第二学期期中质量检测八年级数学科试卷

新罗区龙岩初级中学教育 2023~2024学年第二学期期中质量检测 八年级数学科试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 1，，4 3. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D， E， 现测得， 则长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12 6. 若函数是正比例函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 如果两个角都是90°，那么这两个角相等 8. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象过第一、二、四象限 C. 若点和点在直线上，则 D. 若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 9. 若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形的面积为（　　） A. 4cm2 B. 9cm2 C. 18cm2 D. 36cm2 10. 已知，根据数形结合，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题 11. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是______． 12. 一次函数的图像与y轴的交点坐标为_________． 13. 如果将直线向下平移2个单位，那么所得直线的表达式是________ 14. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为______． 15. 如图1，在菱形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到边上时，当，y的值最小为12，则a的值是__________． 16. 在菱形中，，，P为对角线上的一个动点（不与B、D重合），连接，则的最小值是_______． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点E，F分别是，上的点，且，连接，．求证：． 19. 已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 20. 如图，已知线段，且，求作矩形．小明的作法如下：①以A为圆心，长为半径画弧；②以C为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点D，连接．于是就作出了矩形． （1）尺规作图补全图形；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） （2）补全下述证明过程： ∵，______． ∴四边形是平行四边形． 又∵ ， ∴平行四边形是矩形．（_______） 21. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆的高度； （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，且小迪与旗杆的水平距离相等，即．求小迪需要后退的距离的长度(结果保留根号)． 23. 在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出点的坐标：___________；___________． （2）如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 24. 解题方法回顾： 在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”． 解题方法应用： （1）已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值． 小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2） 解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12， ∴，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴， ∴，， ∴ ， ∴PE＋PF＝______．（请你填上小陈计算的正确答案） （2）如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是，，． ①设AP＝x，，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围； ②直接写出y的最大值为______，最小值为______． 25. 将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数使式子成立． （1）直接写出点的坐标：___________，___________． （2），且交正方形外角的平分线于点． ①如图①，求证； ②如图②，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积． （3）如图③，连接正方形的对角线，若点在上运动，点在上运动，且，则的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新罗区龙岩初级中学教育 2023~2024学年第二学期期中质量检测 八年级数学科试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【详解】根据题意得， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 1，，4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足：时，则三角形是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可． 由勾股定理的逆定理逐项判定，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是三角形，故本选项不符合题意； B、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、，故是直角三角形，故本选项符合题意； D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D， E， 现测得， 则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理； 根据题意可知是的中位线，然后由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半计算即可． 【详解】解：∵点D， E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 4. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【详解】C．原式＝2，故C不是最简二次根式， 故选C． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握其概念. 5. 如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分的性质，解答即可． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，则OC=AC=2，OB=BD=2.5， 所以△BOC的周长为OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目，比较简单． 6. 若函数是正比例函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项，且一次项系数． 由，得 ∴， 由，得 ∴． 7. 下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 如果两个角都是90°，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【详解】A、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，错误； B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的对角线互相平分，正确； D、如果两个角都是90°，那么这两个角相等的逆命题是如果这两个角相等，那么这两个角都是90°，错误； 故选C． 8. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象过第一、二、四象限 C. 若点和点在直线上，则 D. 若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 9. 若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形的面积为（　　） A. 4cm2 B. 9cm2 C. 18cm2 D. 36cm2 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和已知条件得出AB＝BC＝CD＝DA＝6cm，AC⊥BD，由含30°角的直角三角形的性质得出BO＝AB＝3cm，由勾股定理求出OA，可得BD，AC的长度，由菱形的面积公式可求解． 【详解】如图所示： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAO＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，OA＝AC，BO＝DO ∵菱形的周长为24cm ∴AB＝BC＝CD＝DA＝6cm ∴BO＝AB＝3cm ∴OA＝＝3（cm） ∴AC＝2OA＝6cm，BD＝2BO＝6cm ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝18cm2． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 10. 已知，根据数形结合，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用数形结合思想，将代数式转化为x轴上动点到两个定点的距离差，利用三角形三边关系求解最大值，用到初中的两点间距离公式和三角形三边性质． 【详解】解：将改写为两点间距离形式，设x轴上动点，定点，， 由两点间距离公式可得 ， 在中，三角形两边之差小于第三边， ，当落在延长线与x轴的交点处时，三点共线，此时，取得最大值， ∵， ∴的最大值为． 二、填空题 11. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是直角三角形，是斜边上的中线， ∴， 故答案为：5． 12. 一次函数的图像与y轴的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，当与y轴的相交时，横坐标为0；再将代入解析式中，即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴相交， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如果将直线向下平移2个单位，那么所得直线的表达式是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的平移；对于一次函数图像上下平移，根据上加下减的法则即可求得平移后的函数解析式． 【详解】解：∵直线向下平移2个单位， ∴，即； 故答案为：． 14. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查勾股树，根据根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积的和等于正方形E的面积，可得正方形C，D的面积的和等于正方形F的面积，正方形E，F的面积的和等于正方形G的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， ， ， ， 故答案为：12． 15. 如图1，在菱形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到边上时，当，y的值最小为12，则a的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：当点P运动到边上时，由垂线段最短可知：此时， 作图如下图： 依题意得：，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即a的值是． 16. 在菱形中，，，P为对角线上的一个动点（不与B、D重合），连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】以为斜边，在对角线下方构造等腰直角三角形，过点A作交直线于H，根据勾股定理求出，根据垂线段最短可知的最小值是，根据菱形的性质得到，进而得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边，在对角线下方构造等腰直角三角形，过点A作交直线于H， 可知，，， ∵， ∴（负值舍去）， ∵， ∴的最小值是， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行计算． （2）利用乘法分配律展开，再结合二次根式的乘法法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点E，F分别是，上的点，且，连接，．求证：． 【答案】 证明：四边形为平行四边形， ， 又， 四边形为平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握其性质和判定是解题的关键．根据四边形为平行四边形，可得，结合已知条件，可得四边形为平行四边形，由此得证． 【详解】略 19. 已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正比例函数的定义设出函数解析式，再将已知的、值代入，求出比例系数，从而得到函数解析式． （2）将点代入已求出的函数解析式，得到关于的方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为． ∵当时，， ∴， 解得． ∴与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 20. 如图，已知线段，且，求作矩形．小明的作法如下：①以A为圆心，长为半径画弧；②以C为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点D，连接．于是就作出了矩形． （1）尺规作图补全图形；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） （2）补全下述证明过程： ∵，______． ∴四边形是平行四边形． 又∵ ， ∴平行四边形是矩形．（_______） 【答案】（1） 如图，四边形即为所求， （2），，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的定义是解题的关键． （1）按照要求作图即可； （2）先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形．再根据矩形的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，则， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由矩形的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由矩形的性质可得，再结合四边形是平行四边形，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 22. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆的高度； （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，且小迪与旗杆的水平距离相等，即．求小迪需要后退的距离的长度(结果保留根号)． 【答案】（1）旗杆的高度为米 （2）小迪需要后退的距离的长度为米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）设旗杆的高度为米，根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，列出方程进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，再用进行计算即可． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则绳子的长为米， 由勾股定理，得：， 解得：； 即：旗杆的高度为米； 【小问2详解】 由（1）可知，绳子的长度为米， 由题意，得：米，米， ∴由勾股定理，得：米， ∴米， ∴（米）； 答：小迪需要后退的距离的长度为米． 23. 在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出点的坐标：___________；___________． （2）如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别令直线解析式中和，求出对应的、值，即可得到点、的坐标． （2）①通过构造全等三角形，求出点的坐标；②已知点、的坐标，利用待定系数法求直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴． 令，则， ∴． 【小问2详解】 解：①过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴． ∵直线绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ②设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 24. 解题方法回顾： 在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”． 解题方法应用： （1）已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值． 小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2） 解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12， ∴，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴， ∴，， ∴ ， ∴PE＋PF＝______．（请你填上小陈计算的正确答案） （2）如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是，，． ①设AP＝x，，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围； ②直接写出y的最大值为______，最小值为______． 【答案】（1） （2）①y＝，其中2≤x≤；②4，． 【解析】 【分析】（1）根据解题过程即可求出答案； （2）①连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S△DPC＝S△APC＝×AP×CC′，根据S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP，推出BB′+CC′+DD′＝，即可得解；②根据已知得出2≤AP≤，代入①即可得解． 【小问1详解】 解：由（1）的解题过程可知： ， ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，连接AC、DP， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴S正方形ABCD＝2×2＝4， 由勾股定理得：AC＝， ∵AB＝2， ∴2≤AP≤， ∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB， ∴S△DPC＝S△APC＝×AP×CC′， ∵4＝S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP＝×AP×（BB′+CC′+DD′）， ∴BB′+CC′+DD′＝， ∴y＝，其中2≤x≤； ②由①知，y＝， ∴ 当2≤x≤时，y随着x的增大而减小， ∵当x＝2时，y＝4， 当x＝时，y＝， ∴≤y≤4， 即y的最大值为4，最小值为， 故答案为：4，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形性质、勾股定理、三角形的面积、函数关系式等知识，根据题意得出S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP是解题的关键． 25. 将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数使式子成立． （1）直接写出点的坐标：___________，___________． （2），且交正方形外角的平分线于点． ①如图①，求证； ②如图②，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积． （3）如图③，连接正方形的对角线，若点在上运动，点在上运动，且，则的最小值为___________． 【答案】（1），； （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和平方数的非负性，求出、的值，得到点、的坐标． （2）①通过取中点构造全等三角形，利用证明，得出；②通过构造全等三角形，结合勾股定理求出的长度，再计算四边形的面积． （3）通过构造全等三角形将转化为，将的最小值转化为的长度，再利用勾股定理求出的值． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，， ，； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， ， ， ， ， ，， ， 为的中点， ， ， ， 是正方形外角的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ． ②延长，并在延长线上截取，连接， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由知， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：在正方形外角平分线上取点，使， 四边形是正方形， ， ， 在和中， , ， ， ， 当，，三点共线时，的值最小，即为的长， 过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在中，， ∴的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $