第十章 二元一次方程组（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版七年级下册

第十章 二元一次方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列满足二元一次方程2x﹣y＝0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．把代入得2×（﹣1）﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，二元一次方程不成立，不符合题意； B．把代入得2×1﹣1＝2﹣1＝1≠0，二元一次方程不成立，不符合题意； C．把代入得2×1﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，二元一次方程不成立，不符合题意； D．把代入得2×0﹣0＝0﹣0＝0，二元一次方程成立，符合题意． 故选：D． 2．对于方程组下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D．由②，得y＝2x+5 【答案】D 【解答】解：由①得：x或y， 则A，B均不符合题意； 由②得：y＝2x﹣5或x， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．①×（﹣2）+② C．①﹣②×3 D．②×（﹣3）﹣① 【答案】C 【解答】解：A．①×2﹣②得：7y＝7，故选项A不符合题意； B．①×（﹣2）+②得：﹣7y＝﹣7，故选项B不符合题意； C．①﹣②×3得：﹣5x+6y＝1，故选项C符合题意； D．②×（﹣3）﹣①得：﹣7x＝﹣7，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用45座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵若学校租用45座客车x辆，则15人没有座位， ∴45x+15＝y； ∵若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满， ∴60（x﹣1）＝y， ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 5．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：， ②﹣③得：x﹣y＝1④， ①+④得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝0， 把y＝0代入③得：z＝﹣1， 则原方程组的解为：． 故选：B． 6．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系得： ， 故选：A． 7．若方程组的解互为相反数，则m的值是（　　） A．﹣7 B．10 C．﹣10 D．﹣12 【答案】C 【解答】解； 解得， x、y互为相反数， ∴0， m＝﹣10， 故选：C． 8．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（　　） 书名 数量/本 单价/（元/本） 金额/元 《假如给我三天光明》 5 50 250 《爱的教育》 ■ 30 ■ 《边城》 ■ 25 ■ 合计 30 950 A．12本，13本 B．13本，12本 C．15本，10本 D．10本，15本 【答案】C 【解答】解：设购买《爱的教育》x本，《边城》y本， 由题意得：， 解得：， 即购买《爱的教育》15本，《边城》10本， 故选：C． 9．如图所示，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2 【答案】A 【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由图形可知，， 解得：， 所以一个小长方形的面积为400cm2． 故选：A． 10．若与都是方程y＝kx+b的解，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：把与代入方程y＝kx+b得：， ①﹣②得：6k＝3， ， 把代入①得：2+b＝﹣2， b＝﹣4， ∴方程组的解为：， 故选：A． 11．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【解答】解：根据题意得：， ∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2）， ∴c＝4； 故选：D． 12．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②得，2x+2y＝4+2a， 即：x+y＝2+a， （1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0， ∴a＝﹣2，故①正确， （2）②原方程组的解满足x+y＝2+a， 当a＝1时，x+y＝3， 而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得， x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 即；y 因此④是正确的， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则6a﹣4b+2025的值为　2023　 ． 【答案】2023． 【解答】解：由条件可得：3a﹣2b＝﹣1， ∴6a﹣4b+2025＝2（3a﹣2b）+2025＝2×（﹣1）+2025＝2023， 故答案为：2023． 14．如果二元一次方程组的解为，则△+□＝　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：将x＝5代入2x+y＝13得，y＝3，即Δ＝3， 所以□＝x﹣y＝5﹣3＝2， 所以□+Δ＝2+3＝5， 故答案为：5． 15．塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm，当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是 　90　 cm． 【答案】90． 【解答】解：设1支塑料凳子的高度为xcm，每叠放1支塑料凳子高度增加ycm， 依题意得：， 解得：， ∴x+9y＝45+9×5＝90， ∴10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为90cm． 故答案为：90． 16．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝0，则a的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：， ①+②，得13x+13y＝2+2a， ∴x+y， ∵x+y＝0， ∴， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 17．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如：3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝1，则x+y的值是 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， ①+②得：3x+3y＝3， 则x+y＝1． 故答案为：1． 18．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　 ． 【答案】 【解答】解： 两边同时除以5得，， 和方程组的形式一样，所以，解得． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）（1）解方程组； （2）对于任意实数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc．已知x，y满足2，4，求x，y的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②，得4x＝4， 解得：x＝1， 把x＝1代入①，得1+y＝6， 解得：y＝5， ∴方程组的解为； （2）由新定义，可得， ①×5，得5x+10y＝10③， ②+③，得7y＝14， 解得：y＝2， 把y＝2代入①，得x+2×2＝2， 解得：x＝﹣2， ∴方程组的解为． 20．（8分）甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a+b的值． 【答案】9． 【解答】解：把代入方程②得： 4×（﹣3）﹣b×（﹣1）＝﹣2， ﹣12+b＝﹣2， b＝10， 把代入方程①得： 5a+5×4＝15， 5a+20＝15， 5a＝﹣5， a＝﹣1， ∴a+b＝﹣1+10＝9． 21．（8分）若方程组和方程组有相同的解． （1）求方程组正确的解． （2）求a，b的值． 【答案】（1）； （2）a的值是，b的值是． 【解答】解：（1）∵方程组和方程组有相同的解， ∴， ①+②得3x﹣y+2x+y＝7+8，解得x＝3， 将x＝3代入①得y＝2， ∴方程组的解为． （2）∵方程组和方程组有相同的解， ∴可得新方程组， 解得：， 把，代入，得， 解得． 故a的值是，b的值是． 22．（8分）2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． （1）该工厂有男工、女工各多少名？ （2）该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】（1）该工厂有男工25人，女工65人； （2）50名工人制作盒身，40名工人制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【解答】解：（1）设该工厂有男工x人，则有女工（90﹣x）人， 根据题意得：90﹣x＝3x﹣10， 解得：x＝25， ∴90﹣x＝90﹣25＝65（人）． 答：该工厂有男工25人，女工65人； （2）设y名工人制作盒身，才能使每天制作的盒身与盒底恰好配套， 根据题意得：2×400y＝1000（90﹣y）， 解得：y＝50． 90﹣y＝40（名）， 答：50名工人制作盒身，40名工人制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 23．（10分）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝　﹣1　 ，2a﹣b＝　10　 ； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【答案】（1）﹣1；10；（2）． 【解答】解：（1）设a+b＝x，2a﹣b＝y， 原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 故答案为：﹣1；10； （2）， 设x+y＝m，x﹣y＝n， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， ∴原方程组的解为． 24．（10分）宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示： 体积（m3/件） 质量（吨/件） A型商品 0.8 0.5 B型商品 2 1 （1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？ （2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元． 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型商品x件，B型商品y件． 由题意可得． 解之得． 答：A型商品5件，B型商品8件． （2）①若按车收费：10.5÷3.5＝3（辆）， 但车辆的容积6×3＝18＜20，所以3辆汽车不够，需要4辆车． 4×600＝2400（元）． ②若按吨收费：200×10.5＝2100（元）． ③先用3辆车运送18m3，剩余1件B型产品，付费3×600＝1800（元）． 再运送1件B型产品，付费200×1＝200（元）． 共需付1800+200＝2000（元）． ∵2400＞2100＞2000 ∴先按车收费，用3辆车运送18m3，再按吨收费，运送1件B型产品，运费最少为2000元． 答：先按车收费，用3辆车运送18m3，再按吨收费，运送1件B型产品，运费最少为2000元． 25．（10分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by＝a称为原方程ax+by＝c的“镜像方程”．例如方程5x+6y＝8的“镜像方程”为8x+6y＝5． （1）写出3x﹣2y＝﹣1的“镜像方程”　﹣x﹣2y＝3　 ，以及它们组成的方程组的解为　　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程7x+my＝9与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求mn的平方根； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝p（m≠n）的一个解，请直接写出代数式m（n﹣m）+p（p﹣n）+52的值． 【答案】（1）﹣x﹣2y＝3，． （2）±4． （3）52． 【解答】解：（1）方程3x﹣2y＝﹣1的“镜像方程”是﹣x﹣2y＝3， ， ①﹣②得，4x＝﹣4， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入②，得，1﹣2y＝3， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为． 故答案为：﹣x﹣2y＝3，． （2）关于x，y的二元一次方程7x+my＝9与它的镜像方程”组成的方程组为， ①﹣②得，﹣2x＝2， 解得x＝﹣1， ∴x＝m＝﹣1； 将x＝m＝﹣1代入①，得，﹣7﹣y＝9， 解得y＝﹣16， ∴n＝y＝﹣16． ∴mn＝16，即mn的平方根为±4． （3）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c与它的“镜像称方程”组成的方程组为， ①﹣②得，（a﹣c）x＝c﹣a， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①，得，﹣a+by＝c， 解得y， ∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b， ∴y＝﹣1， ∴方程组的解为， 将代入mx﹣ny＝p，得﹣m+n＝p，即n﹣m＝p，﹣m＝p﹣n， ∴m（n﹣m）+p（p﹣n）+52＝pm﹣pm+52＝52． 26．（10分）汛期即将来临．防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯．便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是a°/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a，b的值． （2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点C，若∠BCA＝70°，求∠BAC的度数． （3）若探照灯B射出的光束先转动40秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间． 【答案】（1）a＝3，b＝1； （2）∠BAC＝30°； （3）当x＝20或x＝80时，两探照灯的光束互相平行． 【解答】解：（1）∵|a﹣3b+（a+b﹣4）2＝0， ∴a﹣3b＝0，a+b﹣4＝0， ∴a＝3b， ∴3b+b﹣4＝0， 解得b＝1， ∴a＝3b＝3×1＝3， ∴a、b的值分别为3、1； （2）如图，过点C作CG∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CG∥MN， ∴∠GCA+∠MAC＝180°，∠GCB＝∠PBC， 设灯A转动的时间为t秒， 则∠MAC＝3t°，∠PBC＝t°， ∴∠GCA+3t°＝180°，∠GCB＝∠PBC＝t°， ∴∠GCA＝180°﹣3t°， ∵∠BCA＝70°， ∴180°﹣3t+t＝70°， 解得t＝55． ∵∠MAB+∠BAN＝180°，∠BAN＝45°， ∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BAC＝∠MAC﹣∠MAB ＝3t°﹣135° ＝（3×55）°﹣135° ＝165°﹣135° ＝30°； （3）当x＝20或x＝80时，两探照灯的 光束互相平行． 解：设灯A转动x秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜x＜60时， 由题意，得40+x＝3x， 解得x＝20； ②当60＜x＜120时， 由题意，得3x﹣180+（40+x）×1＝180， 解得x＝80； ③当120＜x＜140时， 由题意，得3x﹣360＝x+40， 解得x＝200＞140（不符合题意，舍去）， 综上所述，当x＝20或x＝80时，两探照灯的 光束互相平行． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列满足二元一次方程2x﹣y＝0的是（　　） A． B． C． D． 2．对于方程组下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D．由②，得y＝2x+5 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．①×（﹣2）+② C．①﹣②×3 D．②×（﹣3）﹣① 4．为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用45座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 7．若方程组的解互为相反数，则m的值是（　　） A．﹣7 B．10 C．﹣10 D．﹣12 8．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（　　） 书名 数量/本 单价/（元/本） 金额/元 《假如给我三天光明》 5 50 250 《爱的教育》 ■ 30 ■ 《边城》 ■ 25 ■ 合计 30 950 A．12本，13本 B．13本，12本 C．15本，10本 D．10本，15本 9．如图所示，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2 10．若与都是方程y＝kx+b的解，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 11．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 12．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则6a﹣4b+2025的值为　 　 ． 14．如果二元一次方程组的解为，则△+□＝　 　 ． 15．塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm，当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是 　 　 cm． 16．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝0，则a的值为 　 　 ． 17．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如：3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝1，则x+y的值是 　 　 ． 18．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）（1）解方程组； （2）对于任意实数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc．已知x，y满足2，4，求x，y的值． 20．（8分）甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a+b的值． 21．（8分）若方程组和方程组有相同的解． （1）求方程组正确的解． （2）求a，b的值． 22．（8分）2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． （1）该工厂有男工、女工各多少名？ （2）该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 23．（10分）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝　 　 ，2a﹣b＝　 　 ； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 24．（10分）宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示： 体积（m3/件） 质量（吨/件） A型商品 0.8 0.5 B型商品 2 1 （1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？ （2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元． 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？ 25．（10分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by＝a称为原方程ax+by＝c的“镜像方程”．例如方程5x+6y＝8的“镜像方程”为8x+6y＝5． （1）写出3x﹣2y＝﹣1的“镜像方程”　 　 ，以及它们组成的方程组的解为　 　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程7x+my＝9与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求mn的平方根； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝p（m≠n）的一个解，请直接写出代数式m（n﹣m）+p（p﹣n）+52的值． 26．（10分）汛期即将来临．防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯．便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是a°/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a，b的值． （2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点C，若∠BCA＝70°，求∠BAC的度数． （3）若探照灯B射出的光束先转动40秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $