课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材 河南专版）

第15章分式 ⊙)考点1分式 1.定义：形如A(A、B是整式，且B中含有字母)的式子，叫做分式其中A叫做分式的分子，B叫 B 做分式的分母 2.分式有（无）意义的条件及值为零的条件 分类 条件 举例说明 分式后有意又 分母不为零，即B≠0 当x≠2时，分式”有意义 x-2 分式4无意义 分母为零，即B=0 当x=2时，分式 无意义 x-2 分式疗的机为茶 分子为零且分母不为零， 即A=0,B≠0 当x=0时，分式的值为0 x-2 ⊙考点2分式的基本性质 1.基本性质：分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变， 2.约分 (1)分式的约分，即把分子与分母的公因式约去 不阁二二子骨足公成) (2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 3.通分 (1)分式的通分，即把几个异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式. 示例：通分2站，与 1 13y12x 2xy 6xy3xy 6xy （6x2y2是最简公分母) (2)最简公分母：通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为分母（叫做最简公分母） ⊙考点3分式的运算 1.分式的乘除 (1)乘法：6.dd =(a≠0，c≠0) 2)除法：台：46.c (a≠0，c≠0，d≠0) a c ac a c a d ad 3莱方：（后）-会6实0n为r张数 2.分式的加减 b,cb±c (1)同分母：0± b,dbc,adbc±ad (2)异分母：±“=± aa c acac ac 3.分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的.交换律、 结合律、分配律等对分式混合运算同样适用. 【注意】(1)在进行分式运算时，最后的结果要化为最简分式或整式； (2)在化简求值时，所给字母的取值必须同时满足原分式和化简后的分式有意义， 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第1页 ⊙)考点4)可化为一元一次方程的分式方程 1.概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程 2.解分式方程的一般步骤 分式方程 去分母 整式方程 解方程 x=d x=a不是分式方程的解 检验 x=a是分式方程的解 最简公分母为0最简公分母不为0 【注意】(1)去分母时切勿漏乘不含分母的项；(2)解分式方程时，方程两边不能同时除以 含有未知数的公因式；(3)解分式方程最后必须进行检验， 3.增根：去分母后化成的整式方程有解，当这个解使最简公分母的值为0时，这个解就是分式方 程的增根。 【解题技巧】根据分式方程无解或有增根求字母的值：分式方程无解存在两种情况，一是 分式方程化成的整式方程无解，二是分式方程有增根.分式方程的增根不是原分式方程 的根，而是分式方程化成整式方程的根，所以解这类方程时，通常先将分式方程化为整式 方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求出字母的值， 4.分式方程的实际应用：(1)审题：读懂题意，弄清各个量间的等量关系；(2)设未知数：恰当选 设未知数；(3)列方程：根据恰当的等量关系列出分式方程；(4)解：解分式方程；(5)检验：首 先要检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验这个解是否符合题意；(6)答：作答， ⊙)考点5)零指数幂与负整数指数幂 1.零指数幂与负整数指数幂：a=1(a≠0)，a=。(a0,n是正整数)。 2.用科学记数法表示绝对值较小的数：a×10n,其中1≤|al<10,n为正整数. ”图针对练习 1.下列等式一定成立的是( A y xx B. C.3 D.2-1=y-1 3y y 3+yy 2x-1x-1 2.“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径 约为0.0000000004m,数据0.0000000004用科学记数法表示为( A.4×10-1 B.4×10-10 C.4×10-9 D.0.4×109 3将分式方程，223化为基式方君为 4.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃 油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格 为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两 台汽车的续航里程是 千米 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第2页 第16章 函数及其图象 ⊙)考点1变量与函数 1.变量和常量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；在问题的研究过程中，取值 始终保持不变的量，叫做常量 2.函数：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯 一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数 3.自变量的取值范围：①要使函数关系式有意义：②实际问题中，必须符合实际意义 4.函数值：对于自变量在可取范围内的一个确定的值α，函数有唯一确定的对应值，这个对应值 称为当自变量等于a时的函数值 ⊙考点2平面直角坐标系 1.点的坐标表示：在平面直角坐标系中的任意一点P,从点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x 轴、y轴上对应的数a,b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)称为点P的坐标. 2.平面上的点与有序实数对的关系：平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的关系。 3.关于坐标轴及原点对称的点的坐标特征 (1)(x,y) 关于x轴对称 (x,-y) (2)(x,y) 关于y轴对 →(-x,y) 关于原点对 (3)(x,y) →(-x,-y) 4.点坐标的几何意义 (1)点P(x,y)到x轴的距离为ly1,到y轴的距离为1xl,到原点的距离为√2+y； (2)若AB∥x轴，则A、B两点的纵坐标相同，横坐标之差的绝对值为AB的长；若AB∥y轴，则 A、B两点的横坐标相同，纵坐标之差的绝对值为AB的长， 心)考点3)一次函数 1.定义：一次函数通常可以表示为y=x+b的形式，其中k,b是常数，≠0.特别地，当b=0时， 次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数. 2.一次函数的图象 （1)一次函数y=x+b(k,b为常数，k≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线y=hx+b(k≠0)， (2)正比例函数y=x(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线. (3)直线y=kx+b由直线y=x向上或向下平移1b|个单位长度得到. 3.一次函数的性质 一次函数 y=kx+b(k≠0) k>0 k<0 k,b的符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 t/ 图象 70 性质 函数值y随自变量x的增大而增大 函数值y随自变量x的增大而减小 经过的象限 第一、二、 第一、三、 第一、 第一、二、 第二、三、 第二、 三象限 四象限 三象限 四象限 四象限 四象限 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第3页 【点拨)①一次函数图象从左向右呈上升趋势，k>0;呈下降趋势，k<0;一次函数的图象与y 轴的交点在正半轴上，b>0;在负半轴上，b<0;在原点，b=0;②直线y=kx+b(k≠0)与x轴的 交点为(-(，0)，与y轴的交点为(0,6)，与坐标轴围成的三角形的面积为21 b 4.待定系数法求函数的表达式：(1)设出含有未知系数的函数表达式；(2)将已知条件代入函数 表达式，得到关于待定系数的方程或方程组：(3)解方程（组），求出待定系数；(4)将求得的 待定系数的值代回所设的函数表达式中 5.一次函数的应用 （1)一次函数与一元一次方程的关系：关于x的一元一次方程x+b=0的解是 一次函数y=x+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标. (2)一次函数与一元一次不等式的关系：关于x的一元一次不等式kx+b>0(或x+b<0)的解 集是一次函数y=x+b(k≠0)的图象在x轴上方（或下方）的所有点的横坐标所构成的集合. (3)一次函数的图象与二元一次方程组的解的关系：两直线相交一对应的二元一次方程组 有一组解；两直线重合—对应的二元一次方程组有无穷多组解；两直线平行—一对应的二 元一次方程组无解. 心)考点4反比例函数 1定义：一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。 2.反比例函数的图象和性质 (1)反比例函数的图象有两支，通常称为双曲线，关于原点中心对称（与坐标轴永不相交）. (2)反比例函数的图象与性质 反比例函数 y=二(k是常数，k≠0) 飞的符号 k>0 k<0 图象 图象的位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大 3.反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂 足分别为M,N,所得的长方形PMON的面积S=PM·PN=Iyl· Ix=Iyl,即S=Ik1.如果连结P0,那么Saom=S△oN=2kl. S针对练习 1.对于一次函数y=2x-1,下列结论不正确的是() A.它的图象与y轴交于点(0，-1) B.y随x的增大而增大 C.它的图象经过第一、二、三象限 D.它的图象与直线y=2x+5平行 2.已知点M(1,)、N,)在反比例函数y=2的图象上，若0<，<，则有( 2 A.0<y1<y2 B.0<y2<y1 C.y2<y1<0 D.y1<0<y2 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第4页 第17章平行四边形 心)考点1平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号口表示. 2.平行四边形的性质 图形 性质 符号语言 边 平行四边形的对边相等 AD=BC.AB=CD 角 平行四边形的对角相等 ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 OA=OC=AC.OB=0D-2BD 平行四边形是中心对称图形， 口ABCD是中心对称图形，对角线 对称性 对称中心是对角线的交点 的交点0是对称中心 3.平行线间的距离：平行线之间的距离处处相等， 4.平行四边形的判定 图形 判定 符号语言 (定义)两组对边分别平行的 .'AB∥CD,AD∥BC, 四边形是平行四边形 ∴.四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是 AB=CD,AD=BC, 边 平行四边形 “.四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形 .AB∥CD,AB=CD, 是平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平 .OA=OC,OB=OD, 对角线 行四边形 .四边形ABCD是平行四边形 )考点2三角形的中位线 1.中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线（任意一个三角形都有三条中位线） 2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 【拓展】三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 图针对练习 1.△ABC中，AB=7,BC=6,AC=5,点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为( A.4.5 B.9 C.10 D.12 2.如图，四边形ABCD中，AB/∥CD,AD/BC,且∠BAD、∠ADC的平分线AE、DF分别交BC于 点E、F,AE与DF交于点G.若EF=1,AB=4,则AD的长为() A.9 B.8 G C.7 B D.6 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第5页 第18章 矩形、菱形与正方形 ⊙考点1矩形 1.矩形的性质 图形 性质 符号语言 矩形的四个角都是直角 四边形ABCD是矩形，∠ABC= ∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 0 矩形的对角线相等 .四边形ABCD是矩形，.AC=BD 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有2条对称轴 【拓展延伸】(1)矩形的对角线将矩形分成4个面积相等的等腰三角形 (2)矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质. 2.矩形的判定 图形 判定 符号语言 (定义)有一个角是直角的平行 .·四边形ABCD是平行四边形，∠CDA= 四边形是矩形 90°，.四边形ABCD是矩形 0 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，.·∠BAD=∠ADC= ∠DCB=90°，'.四边形ABCD是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,∴. 四边形ABCD是矩形 【易错点拨】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形， 3.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4.直角三角形的判定：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个 直角三角形 【拓展延伸】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是矩形性质的推论，其成立前提 是在直角三角形中，对一般的三角形不适用.(2)直角三角形斜边上中线的性质的逆命题 也是真命题， ⊙)考点2菱形 1.菱形的性质 图形 性质 符号语言 菱形的四条边都相等 ·四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=AD 菱形的对角线互相垂直 四边形ABCD是菱形，·.BD⊥AC 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形.对称轴是它的对角线所在的直线 【拓展延伸】(1)菱形的对角线将菱形分成4个全等的直角三角形 对角线长的乘积 (2)面积= (3)边长的平方等于两对角线一半的平方和」 (4)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第6页 2.菱形的判定 图形 判定 符号语言 (定义)有一组邻边相等的平行四边 在□ABCD中，.AB=BC,∴.□ABCD是 形是菱形 菱形 四条边都相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，AB=BC=CD= AD,∴.四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在□ABCD中，，AC⊥BD,∴.□ABCD 是菱形 心)考点3)正方形 1.正方形的性质 图形 性质 符号语言 对边平行 AB∥CD,AD∥BC 边 四条边相等 AB=BC=CD=AD 角 四个角都是直角 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 互相垂直、平分、相等 AC LBD,AO=CO,BO=DO,AC=BD 对角线 ∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB 平分一组对角 ∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA 对称性 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 2.正方形的判定 (1)一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形； (3)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 针对练习 1.下列说法不正确的是( A.菱形的对角线互相垂直 B.矩形的四个角相等 C.菱形的四个角相等 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 2.如图，一根木棍斜靠在与地面(0M)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P,若木棍A端沿墙 下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离( A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断 第2题图 第3题图 3.如图，四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,CH LAD于点H,则CH的长为() A.4 B.4.5 C.4.8 D.5 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第7页 第19章 数据的分析 ⊙)考点1数据的集中趋势与离散程度 1.算术平均数：一般地，对于n个数据x1,x2,…,xn,则这n个数据的算术平均数为x=一(x+x2+ n …+xn) 2.加权平均数：若n个数据中，x出现了f次，x2出现了f方次，…，xk出现了f次，且 f++…+f=n,则这组数据的加权平均数为x=(x+xf+…+xf).其中，， …f分别叫做x1,x2,…,x的权 【拓展延伸】(1)平均数易受极端值影响；(2)权重的表示形式：①用比表示；②用百分比表示. 3.中位数：一组数据按大小顺序排列后，若有奇数个，中位数是最中间的数据；若有偶数个，中位 数是中间两个数据的平均数， 4.众数：一组数据里出现次数最多的数据， 【拓展延伸】(1)中位数不一定是这组数据中的数，一定要先排列顺序； (2)众数是出现次数最多的数据，不是出现次数，一组数据中众数可能不止一个； (3)在实际问题中求得的平均数、众数和中位数都应带上单位 5平均数、众数、中位数的选用：若一组数据没有极端值时，一般选用平均数来反映该组数据的 整体水平：当一组数据中的个别数据变动较大，一般选用中位数来反映该组数据的整体水平； 当一组数据中部分数据多次重复出现，一般选用众数来反映该组数据的整体水平 6.离差平方和：(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 7.方差：02=[（飞-）2+(，x)2+…+(x,-)2].方差越大，数据波动越大，越不稳定。 m )考点2)借助箱线图描述数据的分布 1.四分位数：把一组数据按由小到大顺序排列，先用中位数把一组数据一分为二，再用中位数把 分好的左、右两侧都一分为二，也就是将数据平分，再平分，等分为四份，从小到大排列，将处 于总体25%，50%，75%的位置的数据分别称为这组数据的下四分位数、中位数、上四分位数. 2.箱线图：一个图中，包含了5个数据，从下往上看，分别是这组数据的最小值、下四分位数、中 位数、上四分位数和最大值，像这样的统计图称为箱线图， 恩针对练习 1.某班开展了法律知识竞赛.现随机抽取5名同学成绩进行分析，依次为：94,97,96,97， 95,则这组数据的中位数、众数分别是( A.95,97 B.97,97 C.97.96 D.96,97 2.某次数学竞赛，49人进入复赛，其中前24名都能获奖，小明已经查出自己成绩，他想判断 自己是否一定能获奖，只要知道49人复赛成绩的( A.平均数 B.众数 C.中位数 D.最高分 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第8页答案详解详 《课本知识集锦》答案 十4十4十十十”十十十十十十十十 第15章分式 1.B2.B3.x+2=3(x-2) 4.600【解析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意 可得 40x9_60x0.6+0.54,解得x=600,经检验x=60 是方程的解. 第16章函数及其图象 1.C 2B【解析1反比例函教y=2中，k=2>0,此函数图 象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x的增大而减小，：M(x1,y)、N(x2,y2)在反比例函 数y=2的图象上，0<，<M,N位于第一象限，0< y2<y1故选B. 第17章平行四边形 1.B 2.C【解析】小，AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行 四边形，∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠CFD,.CD=AB=4, BC=AD.:∠BAD、∠ADC的平分线分别为AE、DF, ∠DAE=∠BAE,∠ADF=∠CDF,·.∠AEB=∠BAE, ∠CFD=∠CDF,∴.BE=AB=4,CF=CD=4,∴.BE+CF= 8,即BF+EF+EF+CE=BC+EF=8.EF=1,∴.BC=7,∴ AD=7.故选C. 第18章矩形、菱形与正方形 1.C2.B 3.C【解析四边形ABCD是菱形，∴.AO=。AC=3,D0 1 =2BD=4,A0⊥B0,AD=5,SBCn=2AC·BD= AD,CH=)×6x8=24,CH=48.故选C. 第19章数据的分析 1.D2.C 《课本回头练》答案 基础知识抓分练1 1B【解析12,2是分式，共2个.故选B x+1’3x 2.C3.C 4.A【解析1A.-4:-3-（(x+2)(x-2).(x+3)(x-3) x-3x2-9 x-3 x-3 _（x+2)(x-2)(x+3),不是整式.故选A x-3 5.3(答案不唯一)6.6x2 7.解：原式=，（a-1)2 .a+2_a-1 (a+2)(a-2)`a-1a-2a+2≠0，a-2≠0， 。a-10,a只能取-1，当a=-1时，原式-子 8.解①2y②x+ x+y 2 【限淡同题宁号.2器、 追梦之旅·初中期末真题篇·情境 斤·易错剖析 为两次加油时的汽油单价，…x+y>0,(x-y)>0,:. -2y0,即+2y,结论：每次加200元更合算。 x+y 2x+y 基础知识抓分练2 1.B2.D 分得品了解 3.C【解析】将x=1代入方程，a= 得a=-1.故选C. 4.D5.A 6A【解折】解方程，青2=器得=m6340 m+6≠3，即m≠-3.分式方程的解为非负数，∴.m+6≥ 0,解得m≥-6，m≥-6且m≠-3.故选A. 2 2 7.B【解懈标水m=3,n=l,m>n,二n=m-,心x=3 1,解得x=2,检验：把x=2代入x-1,得x-1≠0，∴.x=2 是原方程的解.故选B. 8.=6(答案不唯-）9c<a<b 10.320【解析】内题意得1n=0.1,解得=320，经 检验，=320是原方程的解，且符合题意，即区间设计 最高时速v=320km/h. 11.解：(1)方程两边都乘以(x+1)(x-1),约去分母，得 3(x1)=x解这个整式方程，得x=之，检验：把x=易 代入(+1)(-1)，得(3+1)x(弓1)≠0，所以x= 3 是原方程的解： (2)方程两边都乘以x-2,约去分母，得1+3(x-2)=x- 1,解这个整式方程，得x=2.检验：把x=2代入x-2,得 x-2=0,∴.原分式方程无解. 12.解：(1)设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次 购进这款书签2x个，由题意得100160=1，解得x x 2x 200.经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，∴.2x= 400,答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购 进这款书签400个； (2)设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意得 200m+400x4, 5+400×（1-4)m×0.5≥1880+1000+ 1600,解得m≥8，答：第一次销售时每个书签的售价至 少为8元. 13.解：提出问题：求出七年级、八年级两支志愿者的人数？ 设七年级志愿者有x人，则八年级志愿者有(1-20%)x 人根器型弦得mx四2保0经检 验，x=90是所列方程的解，且符合题意，∴.（1-20%)x =72.答：七年级志愿者有90人，八年级志愿者有72 人. 基础知识抓分练3 1.B2.D3.C 4.C【解析】由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最 大值为15，即BC=15,由于M是曲线部分的最低点，此 时BP最小，即BP⊥AC,BP=12,由勾股定理可知：PC= 期末ZBH·八年级数学下第1页