课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学

第十九章 二次根式 ⊙考点1○二次根式 1.定义：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式是代数式 2.二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数，即ā有意义→a≥0. 3.二次根式无意义的条件：被开方数（式）是负数，即√a无意义台a<0. 【拓展延伸】求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的三种类型：(1)二次根式：被 开方数大于等于0.(2)分式：分母不等于0.(3)“复合型”式子：取使得各部分都有意义 的字母取值范围的公共部分」 ⊙)考点2二次根式的性质 1.二次根式的非负性：√a≥0(a≥0) 【拓展延伸】当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0 2.（√a)2的性质：（√a)2=a(a≥0） 3.√a2的性质：√a2=lal= a(a≥0) -a(a<0) ⊙考点3)二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则：√a·√石=√ab(a≥0，b≥0) 积的算术平方根：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0).实质是逆用二次根式的乘法法则. 2二次根式的除法法则：。 66(a≥0，b>0) 商的算术平方根： a_√a bb （α≥0，b>0).实质是逆用二次根式的除法法则. 3.最简二次根式 被开方数不含分母； (1)满足条件：被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式， (2)化简二次根式的一般方法 ①将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方； ②化去根号下的分母：.若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数：b.若被开方数 中含有小数，应先将小数化成分数；c.若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形 式，再进行开方运算； ③被开方数是多项式的要先进行因式分解， 4.分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫作分母有理化. 分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中 的根号（有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，它们的积不含有根式）. 5.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数 相同的二次根式合并： 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第1页 6.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同，先算乘方、开 方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.且运算结果要化成最简二次根式。 【补充提醒】整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运 算中仍然适用. 恩针对训练 1.下列式子中，属于最简二次根式的是() 1 A.√4 B.√5 C 3 D.1 2 2.下列二次根式中，能与3合并的是( A.2 B.√6 C.⑧ D.W/12 3.请写出一个使二次根式√x-2有意义的x的值 4.计算： 1 (1)12+ -√27； (2)(√2-√3)×（√2+√3）+(5-1)2 3 第二十章 勾股定理 ⊙)考点1○勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2 【注意】应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的斜边，不一定是斜边 2.勾股定理的验证：验证勾股定理的方法比较多，如测量法、数格子法、拼图法（拼接法和割补 法)等，最常用的是拼图法.如下表： 方法 图形 推导过程 用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角 拼接法 烧形.根据整体的面积等于各部分的面积之和，得S影)(a+b （a=206,所以6-心 1 在边长为c的小正方形的每条边上补上一个边长分别为a,b,c a 的直角三角形(c为斜边)，得到一个以a+b为边长的大正方形， 割补法 则(a=4b+2,所以6=c 把边长为c的大正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小 正方形，则4x2b+(a-b)2=c2,所以a2+b2=c2 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第2页 心)考点2利用勾股定理求面积 图形面积之间的关系：常见到以直角三角形的三边为基础，向外作半圆、正方形、等边三角形，如 图所示，它们具有相同的结论，即S,+S2=S,·与直角三角形的三边相连的图形换成正五边形、正 六边形等时，结论同样成立， ⊙)考点3作长为√n(n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应 的点，对于无理数，可以借助勾股定理作出长为√n(n为大于1的整数)的线段 ⊙)考点4)勾股定理的逆定理及勾股数 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 是直角三角形. 2.直角三角形的判定方法 (1)根据角：利用两锐角互余判定； (2)根据边：运用勾股定理的逆定理判定直角三角形， 步骤：①确定最长边；②计算最长边的平方及较短两边的平方和；③比较计算结果， 作出判断，若相等，则是直角三角形，否则，不是直角三角形 3.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数， 4.常见的勾股数：①3,4,5；②6,8,10；③5,12,13；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,12,15. 心)考点5)勾股定理的简单应用 1.求长度、宽度：利用图中直角三角形，或作辅助线（作垂线）构造直角三角形；确定 待求线段与相关直角三角形已知边的关系， 2.最短路径问题：常涉及的定理有：两点之间，线段最短和垂线段最短！ 利用勾股定理解决几何体表面上的最短距离问题关键是转化，即将空间问题转化成平面问 题，根据平面上“两点之间，线段最短”确定路径.连接起点与终点所得线段作为三角形的一 边，以此边来构造三角形，利用勾股定理求最短路线长」 图针对训练 1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()》 A.4,5,6 B.5,12,15 C.7,24,25 111 D. 3’4’5 2.如图，已知△ABC中∠ACB=90°，以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，以AB、BC为 直径的半圆面积分别为9和5，则以AC为直径的半圆面积为 ----0 B 第2题图 第3题图 3.如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB,BC 两段构成，若BC段长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度 为 cm. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第3页 第二十一章 四边形 )考点1)四边形及多边形 1.四边形的内角和：四边形的内角和等于360° 2.四边形的外角和：四边形的外角和等于360°， 3.四边形的性质：四边形具有不稳定性。 4.多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 5.多边形的外角和：多边形的外角和等于360°， ○)考点2平行四边形的性质 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 2.平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等 （2)角：对角相等 (3)对角线：对角线互相平分 【拓展延伸】(1)平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，并且相邻的 两个小三角形周长之差等于邻边之差.(2)过对角线交，点的直线一定平分平行四边形的 周长和面积 3.平行线之间的距离：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. ⊙考点3平行四边形的判定 平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (1)边{②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形 )考点4)三角形的中位线及直角三角形斜边中线的性质 1.中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线（任意一个三角形都有三条中位线） 2.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 3.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 )考点5矩形的性质和判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质， (1)角：矩形的四个角都是直角 (2)对角线：矩形的对角线相等 (3)对称性0有两条对称轴 ②对称轴是过每组对边中点的直线 【拓展延伸】(1)矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；(2)矩形的 两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形， 3.矩形的判定 (1)角：①有三个角是直角的四边形是矩形：②定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 【注意】对角线相等的四边形不一定是矩形. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第4页 )考点6菱形的性质和判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质. (1)边：四条边都相等 (2)对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (3)对称性：①有两条对称轴：②对称轴是两条对角线所在的直线 【拓展延伸】①菱形的对角线将菱形分成4个全等的直角三角形；②菱形的面积= 对角线长的乘积 ③菱形是轴对称图形，对称轴是它的每条对角线所在的直线 2 3.菱形的判定 (1)边：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边相等的四边形是菱形 (2)对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【注意】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ⊙)考点7正方形的性质和判定 1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形 2.正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质. 3.正方形的判定 ①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形 (1)从四边形出发 ②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 (阳)从平行因达形出安肉狗贺留销相管州车的有德动布他工勿得形是正方形 (3)从矩形出发 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 1②对角线互相垂直的矩形是正方形 (4)从菱形出发 ①有一个角是直角的菱形是正方形 ②对角线相等的菱形是正方形 墨针对训练 1.下列说法不正确的是( A.矩形的对角线相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一组邻边相等的四边形是菱形 2.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，点E在BD上，且AE=AD,连接CE,点 F为CE的中点，连接DF,若DF=1,则BD的长为( A.4 B.3 C.2 D.1 N 第2题图 第4题图 3.已知一个边形的内角和等于1980°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线 4.如图，在菱形ABCD中，M,N分别在AB,CD上，且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO 若∠D=128°，则∠OBC的度数为 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第5页 第二十二章函数 ⊙)考点○函数 1.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定自变量取值范围的方法 ①要使函数关系式有意义；②还应该使得问题有实际意义 3.描点法画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线。 4.函数的表示方法：解析法、列表法和图象法 针对训练 1.下列曲线中，表示y是x的函数的是( 2.函数y=√x-4的自变量取值范围是 3.某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验（油箱已加满），试验中汽车为匀速行 驶，在行驶过程中，油箱的余油量y(升)与行驶时间x(小时)之间的关系如表（其中0≤x ≤10)： x(小时) 0 1 2 J … y(升) 80 72 64 56 … 观察表格中信息，写出y与x的关系式 第二十三章 一次函数 ⊙考点1)一次函数的图象及性质 1.一次函数的概念：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是 自变量.特别地，当b=0时，y=x+b即y=x.形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例 函数，其中k叫作比例系数 2.一次函数的图象：一次函数y=x+b(k,b为常数，k≠0)的图象是一条直线，我们称它是直线y =x+b(k≠0).当b=0时，是一条经过原点的直线；当b≠0时，它是过点(0，b)且与直线y=x (k≠0)平行的一条直线. 3.一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx+b(k≠0) k>0 k<0 k,b的符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象的位置 0元 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 【拓展延伸】(1)由k,b的符号可以确定直线y=x+b所经过的象限；反之，由直线y=x+ b所经过的象限也可以确定k,b的符号.（2)k决定一次函数y=x+b的增减性，b决定函 数图象与y轴的交点位置. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第6页 4.待定系数法求一次函数解析式的步骤 (1)设：设函数解析式为y=kx+b(k≠0)； (2)代：将已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数解析式，得到关于k,b的二元 一次方程组； (3)解解方程组，求出k,b的值： (4)代：将求得的k,b的值代到所设的函数解析式中，即可得到所求的一次函数解析式 5.一次函数图象的平移 一次函数y=x+b(k≠0)的图象可以看作由直线y=kx(k≠0)向上或向下平移1b川 个单位长度得到的， (心)考点2) 一次函数与方程（组）、不等式的关系 元一次方程kx+b=0(k≠0)的解 与一元一次 方程的关系 直线y=kx+b(k≠O)与x轴交点的横坐标 一次函数 与方程（组） 一元一次不等式kx+b>0(kx+b<0)(k≠0)的解集 与一元一次 不等式的 ① 不等式的关系 关系 直线y=kx+b在x轴上方（下方）部分对应的自 变量的取值范围 与二元一次方程（组）的关系：两个一次函数图象的交点，即 为相应二元一次方程组的解 ⊙考点3一次函数的应用 1.解决实际问题：根据实际问题分别求出各个方案的函数表达式，再通过计算，得出结论 2.几何图形的探究问题：要结合图形分析已知条件，然后利用几何图形上的点的坐标、点之间的 距离、图形的周长以及面积的计算公式、特殊图形的性质等，找出等量关系，列出一次函数表 达式，从而求解相关问题 针对训练 1.如图是一次函数y=kx+b的图象，则函数y=bx-k的图象大致为( 310--- 30B 小文小乐 01517mnx/s 02 第1题图 第2题图 第3题图 2.人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚.如图，某餐厅的机器人小乐和小文 从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小 文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.若小乐行进的时间为x(单位：s),小乐和小 文行进的路程y1,y2(单位：cm)与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的 是() A.小乐比小文先出发17s B.小文提速后的速度为15cm/s C.小乐的速度为10cm/s D.小文比小乐提前15s到达客人位置 3.一次函数y=x+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是 4.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-6x+1的图象经过P(x1y)、P2(x2,y2)两点，若 x1<x2,则y1 y2（填“>”“<”或“=”) 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第7页 第二十四章 数据的分析 ○)考点1)数据的集中趋势 1.平均数：一般地，有n个数据，，，我们把，+比叫作这n个数据的平均数，记作 2.加权平均数：一般地，若n个数x1,x2,…,xn的权分别为w1,02,…,w,则x= 名，+02++0叫作这n个数的加权平均数 2U1+02+…+0n 3.中位数：一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这 组数据的中位数.当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数为偶 数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数 4.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. ⊙)考点2数据的离散程度 1.离差：一般地，有n个数据x1,x2,…,xn,用x表示它们的平均数，我们把x:-x(i=1,2,…,n)叫 作x,关于平均数x的离差 2.离差平方和：我们把(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x-x)2叫作这n个数据关于平均数的离差平方 和，记作“d2”」 3方差：把离差的平方的平均数，-)2+()2++(x,-)2 叫作这组数据的方差，记作 “s2”.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小 ⊙考点3数据的四分位数 1.四分位数：一组数据的25%分位数、50%分位数、75%分位数把这组按由小到大顺序排列的数 据分成四等份，称这三个数为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分 位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为Q1,Q2,Q3: 2.箱线图：箱线图主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.箱线图中 最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表 示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数（中位数），箱体右端的竖线表示第三四 分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距 第一四分位数第二四分位数第三四分位数 最小值 H最大值 心)考点4数据的分组 组内离差平方和：如果把一组数据x1,x2,·,x.,分为两组，前m(m<n)个数据为一组，后(n-m) 个数据为一组，它们的离差平方和分别为d和，则+d称为组内离差平方和.数据分组时 要按照组内离差平方和最小的原则进行分组 S针对训练 1.某市近几天气温（单位：℃）如下：5,3,2,3,1，-2，-3，-1，则这组数据的第三四分位 数是 2.一组数据：3,4,4，x,5,5,9其平均数是5，则众数是 3.甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8,8,9,10,5,8， 乙的成绩（单位：环）为：6,10,6,10,9,7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两 名运动员中发挥得更稳定的是 .（填“甲”或“乙”) 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·八年级数学第8页答案详解详 《课本知识集锦》答案 第十九章二次根式 1.B2.D3.3(答案不唯一) 4.解：(1)原式=25+5-35=23 3 3 (2)原式=(2)2-(W3)2+5-25+1=2-3+5-25+1=5- 25. 第二十章勾股定理 1.C2.4 3.15【解析】：∠ABC=90°，AC=(AB+2)cm,BC=8cm, AB+BC2=AC2,.AB2+82=(AB+2)2,.AB=15cm. 第二十一章四边形 1.D 2.C【解析】：D是AC的中点，F是CE的中点，.AE= 2DF=2,AD=AE=DC=2,AC=4,∠ABC=90°， BD= 2AC=2.故选C. 3.10【解析】根据题意，设多边形的边数为n,则(n-2)× 180°=1980°，解得n=13,即从一个顶点出发的对角线条 数为：n-3=10. 4.64° 第二十二章函数 1.D2.x≥43.y=80-8x 第二十三章一次函数 1.D 2.C【解析】小乐的图象从x=0开始，小文的图象从x=15 开始，所以小乐比小文先出发15s,A错误；当x=15s 时，y2=0,当x=17s时，y2=30cm,小文提速前的速度 是 30 7-1515cm/s,:小文出发一段时间后速度提高为原 来的2倍，.小文提速后速度为30cm/s,B错误；提速后 小文行走所用时间为：45030-14s,m=17+14=31, 30 A31,310),小乐的速度为310 10cm/s,C正确；∴.n 31 =450=45,m-n=45-31=14s,D错误.故选C, 10 3.x<24.> 第二十四章数据的分析 1.32.53.甲 十”十十十十十十十”十十”十十十 《课本回头练》答案 十十十十十 人人 基础知识抓分练1 1.D2.C3.C 4.B【解析】根据二次根式有意义的条件可知：x<0,原 式=-√x(-)=-.故选B. 5.B 6.B【解析】小2×23<52，构不成三角形，.只能是腰长 为5√2，.等腰三角形的周长=2×5√2+2√3=10W2+23. 追梦之旅·初中期末真题篇·河南 所·易错剖析 故选B. 7.x≥28.< 9.3【解析】√48=√16×3=43，：√48与最简二次根式 √2a-3是同类二次根式，.2a-3=3,解得：a=3. 10.c-a【解析】根据图示，可得a<b,c<b,∴.a-b<0,c-b< 0,.√(a-b)7-√(c-b)7=(b-a)-(b-c)=b-a-b+c=c -a. 5m【解析】把1=0.49m,g=9.8m/s3,代入T=2m 129智4 /0.49 12.√7+2 13.解：(1)原式=23+42-22=23+22； (2)原式=(5)2-22-(12-43+1)=5-4-13+45= 43-12. 14.解：(1)√n+1-元 (2)原式=√2-1+√3-√2+2-√3+…+√2024-√2023= -1+/2024=-1+2√506： (3):a=1 1 √/26+5 26-5a=- √26-5（√26-5）（√/26+5） √26+5，∴a-5=√26，即(a-5)2=26,a2-10a+25=26. .a2-10a=1,a3=a+10a2,∴.a3-11a2+9a+1=a+10a2- 11a2+9a+1=-a2+10a+1=-(a2-10a)+1=-1+1=0. 15.解：(1)三角形三边长分别为4、5、7，∴p= 57-8 .S△Bc=√8×(8-4)×(8-5)×(8-7=46； （2②)：S=4BA=24C4=5c6=4.6,号 1 2 2 1 x7h=2×4h,= 2×5h,=4,6,解得，=8 ,h3=26, h3=- 5+h,th,=8,6+26+8,6-16,6 8V6 86 5-35 基础知识抓分练2 1.B 2.C【解析】C.∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么∠A=45°，∠B =60°，∠C=75°，△ABC不是直角三角形，符合题意.故 选C. 3.B【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得： AB2=AC2+BC2=17=289,.正方形AEDC和正方形 BCGF的面积之和=AC2+BC2=289.故选B. 4.A5.C 6.D【解析】设绳索AD的长度为x米，则AE=x米，AB= (x+0.4)米，CD=1.4-0.4=1(米)，∴.AC=AD-CD=(x -1)米，由题意得：∠ACE=90°，在Rt△AEC中，由勾股定 理得：CE2+AC2=AE,即32+(x-1)2=x2,解得：x=5,.5+ 0.4=5.4(米)，即立柱AB的高度为5.4米.故选D. 7.4【解析】小：图中大正方形ABCD的面积为34，直角三 角形较短的直角边长AH为3，由勾股定理得，A+D= AD2,即32+DH=AD2=34,.DH=25,.DH=5(负值舍 弃)，.中间小正方形EFGH的面积为(5-3)2=4. 8.56 9.√13【解析】把前面、上面展开，得图1，AB= 专版ZBR·八年级数学下第1页