微专题02 平行四边形中的折叠问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02平行四边形中的折叠问题 题型01单折线问题（求线段长度、角度或面积） 平行四边形中的折叠问题 题型02双折线问题(“十字折与全等证明) 题型03折叠中的最值（极值）问题 00 德点型破 题型01单折线问题（求线段长度、角度或面积) 啸方法 考向本质：考查折叠的基本性质（全等变换）与勾股定理的联立。题目通常将平行四边形的一角折叠，产 生重叠三角形，求未知边长或面积。 解题方法： 1. 抓“三不变”原则：折叠前后，对应线段相等、对应角相等、折叠点连线被折痕垂直平分。这是提取 已知条件的最快途径。 2. 设未知数建方程（核心步骤）：利用折叠得到的等量关系，将目标线段（或与其相关的线段）用含未知 数的式子表示出来。观察图形中是否存在直角三角形（折叠常与原图形的边构成直角），若有，则利用 勾股定理列出方程求解。 3. 面积转化技巧：若求重叠部分面积，通常利用“面积割补法”，即S鱼S三 。若求阴影部分，则 用总面积减去重叠部分。 4. 答题模板：标记折叠产生的相等线段和相等角→设未知数列代数式表示各边→寻找图中的直角三角 形，代入勾股定理a2+b2=c2列方程→解方程求边长→代入底和高计算面积。 1.(21-22八年级下·四川内江阶段检测)如图，将▣ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD, DE=10,CE=8,∠BAC=90°，则线段AC的长度为 2.(25-26八年级下·江苏扬州期中)综合与实践：平行四边形纸片的折叠 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C (图1) (图2) (图3) (I)探究1：我们将如图(1)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点 A的对应点为F,延长EF交BC于点G,求证：GB=GE, (2)探究2：我们将如图(2)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点 A的对应点恰好落在BD的中点O处.猜想AE,DE之间的数量关系，并证明. (3)探究3：我们将如图(3)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，折痕交BC于点F,点 B的对应点E恰好落在线段DF上，过点D作DG⊥BF,交BF延长线于点G,其中AB=I3,DG=12 ,BC=I5,求线段BF的长. 3.(24-25八年级下山西太原·月考)问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老 师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图： D 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP, 再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠，此时点C,D落在AP上的同一点R处，如图.老师让同学 们探究： D B (1)PQA的度数是_· 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发 下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题.经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享 了自己的发现： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (2)小虎发现：“如图，将平行四边形ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，点C的对应点 为C,连接DC'并延长交AB于点G,则AG与BG相等.” C 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由. 4.(23-24八年级下·广东佛山期末)综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动。 问题初探： (1)如1图，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点 C的对应点为C,点B与点D重合，猜想AE和CF的数量关系，并说明理由； B C 1图 迁移探究 (2)如2图，连接AC',与BD交于点P,猜想AC'和EF的位置关系，并说明理由； D B 2图 拓展探索 (3)如3图，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与D重合，连接AC',猜想AC'和EF的位置关 系，并说明理由 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 3图 5.(25-26八年级下·山东济南·期中)【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠” 为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，点E为CD边上任意一点，将ADE沿AE折叠， 点D的对应点为D, D A G 图1 图2 图3 (I)如图1，当LABC=60°，点D恰好落在AB边上时，∠AED1的度数是 度 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为CD边的三等分点时，连接FD,并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG 的数量关系，并说明理由 (3)如图3，当LABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD并延长，交BC边于点H.若平行四边形ABCD的 面积为24，AD=4,请直接写出线段D,H的长. 6.(2026江苏无锡一模)问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在口ABCD中， BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点，连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； D b G 图① 图② 图③ (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将。ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图 ②，点C的对应点为C",连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将▣ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A',使 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB⊥CD于点H,连接4M,交CD于点N,若此。ABCD的面积为20，边长AB=5,BC-85,求图 3 中阴影部分（四边形BHM)的面积. 题型02双折线问题(“十字折”与全等证明) 城方法 考向本质：考查平行四边形与折叠图形的综合证明。常见于将平行四边形的两个邻角向内部折叠，折痕相交， 求证线段相等或中点问题（也称“十字折”模型）。 解题方法： 1.证全等三角形：双折线通常会产生两对全等的直角三角形。优先证明全等，从而得到对应边、对应角。 2.导角推平行/相等：利用平行四边形邻角互补及折叠角相等，推导出某些角的关系，进而得到线段平行 或等腰三角形。 3. 中点模型提炼：在平行四边形双折问题中，若两折痕夹角为90°或满足特定角度，折痕的交点往往是某 条对角线的中点。可通过连接对角线并利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”来证明中点。 4. 答题模板：由折叠性质得出对应边角相等→寻找公共边/角，证明三角形全等→利用全等转移线段和 角度→结合平行四边形性质推导目标结论（如证明等腰、平行或中点）。 1.(2023八年级下·江苏.专题练习)如图，将口ABCD纸片折叠（折痕为BE),使点A落在BC上，记作①： 展平后再将口ABCD折叠（折痕为CF),使点D落在BC上，记作②；展平后继续折叠。ABCD,使AD落 在直线BC上，记作③重新展平，记作④.若AB=4,BC=7,则图④中线段GH的长度为() D F E D A F E D D ① ② A. B.2 C.3 D.4 2.(25-26九年级上山东青岛期末)如图，在ABC中，BC=5,AC=4,∠C=30°.若将△AEF沿EF 折叠，点A与边BC的点D恰好重合，点H,G分别在BD,CD上.将△EBH沿EH折叠，点B与点D 恰好重合.将△CFG沿FG折叠，点C与点D恰好重合，则HD的长为 B H D 3.(22-23八年级下·浙江宁波阶段检测)如图，将口ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，A点落在线段 BF上的A'处，C点落在E处，连结EA,EF.若恰有EF⊥EA',则∠A= 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 4.(24-25七年级下，浙江杭州月考)如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上 的点Q处.折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠，此时点C,D落在AP上的同一点 R处.∠P10=一°，若四边形4PCD是平行四边形，则 的值为 R D R A B 5.(24-25八年级下·山西长治期中)综合与探究 问题情景：如图1，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠A=LC=90°，将AB沿BE折叠，使A点落在 BD上的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处，求证：四边形BEDF是平行四边形. A E D A E D H G H 图1 图2 初步探究： (1)郭鹏同学的证明过程如下： 在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, ·LADB=∠DBC, :折叠，：AB=GB,CD=HD,∠BGE=∠A=90°，∠DHF=∠C=90°， ·BG=DH,∠DGE=LBHF=90°， :DG BH :△DEG≌△BFH(依据一)， :DE=BF, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：DE∥BF, :四边形BEDF是平行四边形（依据二）. 问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是；依据二是 (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明.请按赵斌的想法写出证明过 程； 深入探究： (3)如图2，连接EH,FG,若AB=6,BC=8,请直接写出四边形EGFH的周长 6.(24-25八年级下·山西晋中.期末)如图，BD是口ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使A点落在BD 上的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处. 求证：四边形BEDF是平行四边形 题型03折叠中的最值（极值）问题 啸方法 考向本质：考查空间想象能力与代数最值的结合。将平行四边形的一个顶点沿某条直线折叠，求折叠后某 条线段长度的最小值。 解题方法： 1. 找定点与定长：无论图形如何折叠，折痕上的点不动，且折叠前后对应线段长度不变。 2.轨迹分析法（核心思路）：分析所求线段的其中一个端点是否在某个固定的圆（或圆弧）上运动。 3. 化曲为直求最值：当所求线段的一端点在圆上运动时，该线段的最小值即为“圆心到另一端点的连线” 减去“半径”（即点到圆心的距离减半径）。 4. 答题模板：明确折叠过程中的不变量（定长/定点）→确定动点的运动轨迹（通常为圆或圆弧）→将 线段最值问题转化为“定点到圆心距离与半径的和/差”问题→结合勾股定理计算最值。 1.(23-24九年级下·湖北鄂州月考)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是直角边AB的中点，F是直角 边BC上的一个动点，将△BEF沿EF所在的直线折叠，得到△EGF,D是斜边AC的中点，若AB=6, BC=8,则DG的最小值是() / 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 2.(2023陕西西安·二模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,∠A=120°，点F,N分别 为CD,AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D处，连接BD',点 M为BD'中点，则MN的最小值是 M D 3.(2023·河南驻马店·三模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=4,∠A=60°，点E、点M分 别为AD、BC的中点，点F在边AB上运动，将△AEF沿EF折叠，使得点A落在A处，连接A'C,点 N为A'C中点，则MN的最小值是 M 4.------- F 4.(23-24九年级下河北沧州·月考)等边三角形ABC的边长为8，D是AC的中点，动点P从点A出发， 沿折线AB-BC(不包括点C)以每秒1个单位长度的速度向点C运动.连接PD,如图1和图2，当 点P在线段AB上时，将△APD沿PD折叠；如图3，当点P在线段BC上时，将四边形ABPD沿PD折 叠，点A的对应点为.设点P的运动时间为s D B 图1 图2 图3 (I)求BD的长；并求当∠CDA'=20°时，∠ADP的度数； (2)求点A落在ABC内部（包括边界）的时长； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当点P在线段AB上时，求△BPA'周长的最小值；（不考虑B,P,A三点共线的情况） (4)点P在线段BC上运动的过程中，当A'P所在直线垂直于ABC的一边时，直接写出t的值。 5.(23-24九年级上陕西西安·月考)【直接运用】(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2, 以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是： 【构造运用】(2)如图2，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,∠A=120°，点F、点N分别为 CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D处，连接BD',点M为 BD'中点，求MN的最小值 【灵活运用】(3)如图3，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同 的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离，并 说明理由 图1 图2 图3 6.(24-25九年级下河北邢台·月考)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2AD=8,∠A=60°，点E是边 AB的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AD-DC的路线向终点C运动，连 结PE,将APE沿PE折叠，点A的对应点为.设运动时间为t秒(t>O)。 D D A B 备用图 (I)平行四边形ABCD的面积是 (2)当直线EA与DC垂直时，求t的值； (3)请直接写出CA'的最小值. / 微专题02 平行四边形中的折叠问题 题型01 单折线问题（求线段长度、角度或面积） 考向本质：考查折叠的基本性质（全等变换）与勾股定理的联立。题目通常将平行四边形的一角折叠，产生重叠三角形，求未知边长或面积。 解题方法： 1. 抓“三不变”原则：折叠前后，对应线段相等、对应角相等、折叠点连线被折痕垂直平分。这是提取已知条件的最快途径。 2. 设未知数建方程（核心步骤）：利用折叠得到的等量关系，将目标线段（或与其相关的线段）用含未知数的式子表示出来。观察图形中是否存在直角三角形（折叠常与原图形的边构成直角），若有，则利用勾股定理列出方程求解。 3. 面积转化技巧：若求重叠部分面积，通常利用“面积割补法”，即。若求阴影部分，则用总面积减去重叠部分。 4. 答题模板：标记折叠产生的相等线段和相等角 →设未知数列代数式表示各边 →寻找图中的直角三角形，代入勾股定理 列方程 →解方程求边长 →代入底和高计算面积。 1．（21-22八年级下·四川内江·阶段检测）如图，将进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为__________． 【答案】24 【分析】由平行四边形的性质可得，，，可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是_． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 5．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型02 双折线问题（“十字折”与全等证明） 考向本质：考查平行四边形与折叠图形的综合证明。常见于将平行四边形的两个邻角向内部折叠，折痕相交，求证线段相等或中点问题（也称“十字折”模型）。 解题方法： 1. 证全等三角形：双折线通常会产生两对全等的直角三角形。优先证明全等，从而得到对应边、对应角。 2. 导角推平行/相等：利用平行四边形邻角互补及折叠角相等，推导出某些角的关系，进而得到线段平行或等腰三角形。 3. 中点模型提炼：在平行四边形双折问题中，若两折痕夹角为90°或满足特定角度，折痕的交点往往是某条对角线的中点。可通过连接对角线并利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”来证明中点。 4. 答题模板：由折叠性质得出对应边角相等 →寻找公共边/角，证明三角形全等 →利用全等转移线段和角度 →结合平行四边形性质推导目标结论（如证明等腰、平行或中点）。 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，，， ∴点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 【答案】 30 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，根据折叠的性质证得，根据平行线的性质即可求；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 5．（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与探究 问题情景：如图1，是平行四边形的对角线，，将沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，求证：四边形是平行四边形． 初步探究： （1）郭鹏同学的证明过程如下： 在平行四边形中，，， ， 折叠，，，，， ，， ， （依据一）， ， 又， 四边形是平行四边形（依据二）． 问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是______；依据二是____________； （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明．请按赵斌的想法写出证明过程； 深入探究： （3）如图2，连接，，若，，请直接写出四边形的周长． 【答案】（1）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据证明，再根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】解：（1）郭鹏同学的证明过程中，依据一是：；依据二是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在平行四边形中，，， ， 由折叠得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）如图， ，，， ， 折叠， ，，， ，， ，即， ， 同理， ，， ， ， 同理， 四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由折叠得，，则，所以，而，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型03 折叠中的最值（极值）问题 考向本质：考查空间想象能力与代数最值的结合。将平行四边形的一个顶点沿某条直线折叠，求折叠后某条线段长度的最小值。 解题方法： 1. 找定点与定长：无论图形如何折叠，折痕上的点不动，且折叠前后对应线段长度不变。 2. 轨迹分析法（核心思路）：分析所求线段的其中一个端点是否在某个固定的圆（或圆弧）上运动。 3. 化曲为直求最值：当所求线段的一端点在圆上运动时，该线段的最小值即为“圆心到另一端点的连线”减去“半径”（即点到圆心的距离减半径）。 4. 答题模板：明确折叠过程中的不变量（定长/定点） →确定动点的运动轨迹（通常为圆或圆弧） →将线段最值问题转化为“定点到圆心距离与半径的和/差”问题 →结合勾股定理计算最值。 1．（23-24九年级下·湖北鄂州·月考）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ， ， 是边的中点，， ， ∵E是直角边的中点，D是斜边的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2023·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是_________． 【答案】/ 【分析】根据三角形中位线定理可得，知当取得最小值时，取得最小值，由折叠知，点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，为，过点作于点，根据的直角三角形的性质可得的长与的长，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图所示，则， ∵点为的中点，点为中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵平行四边形中，，点为的中点， ∴， 由折叠知，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动， 当点运动到线段上时，取得最小值，最小值为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，三角形中位线定理，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 3．（2023·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形中，，，，点E、点M分别为、的中点，点F在边上运动，将沿折叠，使得点A落在处，连接，点为中点，则的最小值是______．    【答案】 【分析】连接，三角形中位线定理得到，得到当最小时，最小，根据折叠得到，得到在以点为圆心，的长为半径的圆上，连接，则，进而得到当三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点M为的中点，点则中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵折叠， ∴， ∴在以点为圆心，的长为半径的圆上， 连接，则：， ∴当三点共线时，最小， 过点作于点，    ∵平行四边形中，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形，三角形的中位线定理．解题的关键是确定点的运动轨迹，得到三点共线时，最小． 4．（23-24九年级下·河北沧州·月考）等边三角形的边长为8，D是的中点，动点P从点A出发，沿折线（不包括点C）以每秒1个单位长度的速度向点C运动．连接．如图1和图2，当点P在线段上时，将沿折叠；如图3，当点P在线段上时，将四边形沿折叠，点A的对应点为．设点P的运动时间为． (1)求的长；并求当时，的度数； (2)求点落在内部（包括边界）的时长； (3)当点P在线段上时，求周长的最小值；（不考虑B，P，三点共线的情况） (4)点P在线段上运动的过程中，当所在直线垂直于的一边时，直接写出t的值． 【答案】(1)，或 (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据等边三角形的性质和勾股定理求得的值，再利用折叠的性质求解即可； （2）分两种情况当刚好在上时和当与C重合时，利用等边三角形的性质求解即可； （3）当、B、D三点共线时，最小，利用等边三角形的性质求解即可； （4）根据三角形中位线定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形的边长为8，且D是的中点， ∴，，且． 在中，． 由折叠可知． 当点P在线段上时， ∵，， ∴； 当点P在线段上时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或； （2）解：如图1，当点刚好在上时，此时． 由翻折可知，为等边三角形， ∴． 如图2，当点与重合时，点P与点重合， ∵点落在内部时，点P的运动轨迹为靠近点A的四等分点到的中点， ∴，即点P的运动轨迹为4， ∴时长t为； （3）解：由折叠可知，， ∴， ∴当最小时，的周长最小． 如图3，当，B，D三点共线时，最小，由折叠可知， ∴， ∴周长的最小值为； （4）解：当P为中点时，于点M， ∵为中位线， ∴，且， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∴， ∴， 此时，P运动轨迹为， 即时，所在直线垂直于的一边． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、折叠的性质、三角形内角和定理，根据等边三角形的性质和勾股定理进行分类讨论是解题的关键． 5．（23-24九年级上·陕西西安·月考）【直接运用】（1）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______. 【构造运用】（2）如图2，在平行四边形中，，，，点、点分别为、的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，求的最小值. 【灵活运用】（3）如图3，已知正方形的边长为6，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，则点到点的最短距离，并说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）找到的中点，当点在同一直线上时，的值最小，即可得解； （2）连接，，由三角形中位线定理可得，则当最小时，最小，由折叠的性质可得：，从而得到点在以为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内部，由，可得当、、共线时，最小，即为的值，作于，求出，，再由勾股定理可得，即可得出答案； （3）取的中点，连接、、，由题意得，证明得到，证明出，得到点在以为直径的上运动，由勾股定理计算出，再由，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， ， 则当点在同一直线上时，的值最小， ， ， 由勾股定理得：， 的最小值， 故答案为：； （2）如图，连接，， ，点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ， 当最小时，最小， 为的中点，四边形为平行四边形， ， 由折叠的性质可得：， 点在以为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内部， ， 当、、共线时，最小，即为的值， 作于， 四边形为平行四边形，， ， ， ，， ， 的最小值， 的最小值； （3）如图，取的中点，连接、、， ，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 的最小值为， 点到点的最短距离为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、折叠的性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，找出运动轨迹，是解此题的关键． 6．（24-25九年级下·河北邢台·月考）如图1，在平行四边形中，，，点E是边的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线的路线向终点C运动，连结，将沿折叠，点A的对应点为．设运动时间为t秒． (1)平行四边形的面积是________； (2)当直线与垂直时，求t的值； (3)请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，正确画出图形并掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）过点D作于点H易得、，再根据平行四边形面积公式求解即可； （2）分点P在上和点P在上，分别根据折叠性质、平行四边形的性质以及一元一次方程求解即可； （3）根据轴对称的性质得出，则点的运动轨迹是以点E为圆心，以4为半径的圆，则当E，，C三点共线时，的值最小，然后再求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴平行四边形的面积． （2）解：当点P在上时，过P作于点G，交于点T，与交于点R， ∵点E是边的中点， ∴， ∵将沿折叠，点A的对应点为． ∴， ∴， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点P在上时，延长交于点N，过点A作于点M，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上，或． （3）解：最小值为． 点的运动轨迹是以点E为圆心，以4为半径的圆， ∴E，，C三点共线时，的值最小， 如图：连接，由（2）可知，， ∵点A和点关于对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $