专题01 平行四边形的性质和判定（7大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行四边形的性质和判定 ■目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段…。 1 题型二、利用平行四边形的性质求动点问题… 4 题型三、利用平行四边形的性质证明… .8 题型四、平行四边形的判定.12 题型五、利用平行四边形的性质与判定得结论（多结论问题） .15 题型六、与平行四边形的性质与判定有关的作图20 题型七、利用平行四边形的判定和性质求解与证明… …24 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 1.(25-26八年级上·山东淄博·期末)在口ABCD中，若∠B+∠D=3(∠A+∠C),则∠A=° 2.(25-26八年级上福建福州期末)如图，在口ABCD中，DE平分∠ADC,AD=7,BE=2,则CD的 长是 3.(25-26八年级上，山东淄博期末)如图，口ABCD中，E是边AB(不含端点)上任意一点，若S△4DE=3, S,Ec=5,则S,BDc= 4.(25-26九年级上山东济宁·期末)如图，口ABCD中，点E,F分别是BC,CD上一点，连接AE,DE, 连接AF交ED于点P,连接BF分别交AE,DE于点G,H,设△BGE的面积为S,△PDF的面积为S, 四边形CEHF的面积为S,若S,=2,S2=3,S,=18,则阴影部分四边形AGHP的面积为 D D G 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二、利用平行四边形的性质求动点问题 5.(25-26八年级上·山东潍坊·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M 是BC上一点，且BM=8cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点F从点B出发，以3cm/s的 速度向点C运动.当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t,当以A、M、E、F为顶点的 四边形是平行四边形时，t的值为 A-E D B→FM 6.(25-26九年级上·湖北孝感·期末)如图1，口ABCD中，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的 函数关系的大致图象，则”= ,口ABCD的面积为 B 10 612 图1 图2 7.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，在梯形ABCD中，AD=8,BC=12.点P从点A出发，以每秒1 个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→往 复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.设点P,Q的运动时间为s,在此运动过程中当四边形 PQCD为平行四边形时，t的值为 8.(24-25八年级下河南信阳·期末)如图，在口ABCD中，己知AD=20cm,点P在AD上以1cm/s的速度 从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动.两点同时出发，当点Q 第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t(s(t>0).当t=时，四边形PDCQ是平行四边 形. 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、利用平行四边形的性质证明 9.(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD于 E,过点C作CF⊥BD于点F. (I)求证：AE=CF: (2)若AB⊥AC,AC=6,BD=10,则BE的长度为 10.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在梯形ABFE中，AE∥BF,AE=BF,若点C为BF的中 2 点，连接AC,BE交于点D, D B C (1)求证：四边形ACFE是平行四边形； (②)若ABC是等边三角形，且AE=3,求EF的长. 11.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在▣ABCD中，点0是对角线AC,BD的交点，EF过点0且 垂直于AD. D (1)求证：OE=OF; (2)若S△4OB=3,AD=3,则AD与BC之间的距离为 (3)若口ABCD的周长是24，OE=2,则四边形ABFE的周长为 12.(25-26八年级上福建福州期末)如图平行四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,∠BAD的平分 线交DC延长线于点E,交BC于点F, (I)求证：AD=DE; 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若L4DC=60°， AD =k(k>1,连接OF; DC ①若k=2,AC=3V5,求平行四边形ABCD的面积： ②设5口=m,试求m与k满足的关系。 S.ocD 题型四、平行四边形的判定 13.(25-26八年级上·重庆期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列条件后，仍无法判定四边 形ABCD是平行四边形的是() A.AD∥BC B.AD=BC C.∠ADC=∠ABCD.AB=CD 14.(25-26八年级上山东淄博·期末)在四边形ABCD中，己知AD∥BC,若再从下列条件：① ∠A+∠C=180°；②AB=CD;③LA+∠B=180°；④∠A+∠D=180°中任意选取一个来判定四边形ABCD是 平行四边形，则能断定四边形ABCD是平行四边形的选法共有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 15.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点0，下列条件不能判定这 个四边形是平行四边形的是() A.AB∥DC,∠BAD+∠ABC=180° B.AB=DC,AD=BC C.AC⊥BD,OA=OC D.AB∥DC,LABC=∠ADC 16.(2025河北秦皇岛一模)如图，四边形ABCD是平行四边形，在对角线BD上取两点E,F,连结AE, CE,AF,CF.下列条件： ①BE=DF;②LBAE=∠DCF; ③AE⊥BD,CF⊥BD; ④AE=CF;⑤AE∥CF; 能得到四边形AECF是平行四边形的个数是() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五、利用平行四边形的性质与判定得结论（多结论问题) 17.(24-25八年级下，全国·期末)如图，已知AF‖BD,AC=BD,AE=CF,给出下面四个结论： ①AB=CD;②BE=DF;③S拉形ABDc=SE造形BDFE;④S,BE=S,cDP·其中正确的有(） A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.(24-25八年级下·安徽淮南期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2√5，BC=2,点D是 AC延长线上一点，以BA,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接CE,BE,有下列结论：①△ACE的面 积不变；②EA+EB的最小值为3√5；③BE的最小值为4，其中正确的是() B E A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 19.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E,BF⊥CD于F, DE,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G,下列结论：①BD=√2BE;②∠A=∠BHE;③ AB=BH;④△BCF≌△DCE;⑤DE+EC=AD,其中正确的结论有() D H B E A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 20.(24-25八年级下·河北承德期末)如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD,动点P从点A出发 沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y 与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有()个 (1)BD=10;(2)AD=12;(3)平行四边形ABCD的周长为44；(4)当x=15时，△APD的面积为20 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 珠 12 B 10 P D 10 20 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 题型六、与平行四边形的性质与判定有关的作图 21.(2026浙江丽水一模)如图，边长为1的小正方形组成的网格中，己知点A,B在网格的格点上. 图1 图2 (I)在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD; (②)在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF. 22.(25-26八年级下·江苏徐州期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，请仅用无刻度直 尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）。 AE D A E B 图1 图2 (1)在图1中，过点E作直线EF将四边形ABCD的面积平分； (2)在图2中，DE=DC,作∠A的平分线AM. 23.(2026山西运城一模)如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB. B (I)实践与操作：利用尺规作BC边的垂直平分线，交边AD于点E,交边BC于点F（要求：尺规作图并保 留作图痕迹，不写作法，标明字母)： (2)猜想与证明：在(I)的条件下，连接AF,若LEAF=60°，试猜想线段AF与CD的数量关系，并加以证 明 24.(25-26八年级下·上海闵行·期中)如图，在口ABCD中，E是边BC的中点.设口ABCD的面积为4，请 6/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 仅用一把无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）. D D E B E 图① 图② (1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形： (2)在图②中，画出ABC的重心G. 题型七、利用平行四边形的判定和性质求解与证明 25.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD,E为 CD中点，过点C作CF∥BD,交BE的延长线于点F,连接DF交AC于点G. G D B (I)判断四边形DBCF的形状，并说明理由； (2)若LA=30°，AC=4√5，CF=6.求AD的长. 26.(24-25八年级下广东汕头期末)如图，ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C 作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD (I)求证：四边形ADCE是平行四边形， (②)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=2√2，AE=BD,求AD的长. 27.(25-26八年级下·江西赣州期中)如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测 得AC=EF=CG=50cm,BD=20cm,GF=80cm,∠ABD=∠D,∠AGF=90°，已知BD∥CE∥GF. A G (E. 图1 图2 (1)求证：四边形BCED是平行四边形； 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求椅子最高点A到地面GF的距离 28.(25-26八年级下浙江温州期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，AC=5,E, F为直线BD上的两个动点（点E,F始终在ABCD的外面），连接AE,CE,CF,AF.DE=3OD, BF =30B. D F (I)求证：四边形AFCE为平行四边形 (2)若BD⊥AC,∠AEC=60°，求四边形AFCE的周长. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级下·浙江杭州·期中)在口ABCD中，∠A+∠C=110°，则∠A的度数为() A.45 B.55 C.65 D.70° 2.(25-26八年级下·云南昆明·期中)如图，在平行四边形ABCD中，利用尺规在BC,BA上分别截取 BE、BF,使BE=BF;分别以E、F为圆心，大于二EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G;作 射线BG交DC于点H.若AB=8,AD=5,则DH的长为() H XE F B A.4 B.3 C.2 D.1 3.(25-26八年级下·江西南昌·期中)如图1，平行四边形ABCD中，AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角 线BD上找点N,M,，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案 是() 8/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 甲： 乙： 丙： M B 取BD中点O,作 作AN⊥BD于N, 作AN,CM分别平分 BN=NO,OM-MD CMLBD于M ∠BAD,∠BCD,交 BD于点N,M 图1 图2 A.只有甲、乙才是 B.只有甲、丙才是 C.只有乙、丙才是 D.甲、乙、丙都是 4.(25-26八年级下·湖北孝感期中)如图，分别以Rt△ABC的斜边AB,直角边AC为边向外作等边 △ABD和△ACE,F为AB的中点，DE,AB相交于点G,若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC;② DG=CE;③AD=4AG;④aDBF≌△EFA.其中正确结论的序号是() B A.②④ B.①③ C.①③④ D.①②③④ 5.(25-26八年级下·河南鹤壁期中)如图1所示，在平面直角坐标系中，将▣ABCD放置在第一象限，且 AB∥x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度1 与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则。ABCD的面积为() 1 2V2 78 m 图1 图2 A.5 B.10 C.√50 D.√75 二、填空题 6.(25-26八年级下·广东广州期中)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,若添加一个条件，使得四边形 ABCD为平行四边形，这个条件可以是 A D B 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26八年级下·江苏南京期中)如图，平行四边形ABCD的对角线交于点0，过点O作0E1BD.交 AD于点E,连接BE.若∠DBC=20°，则∠AEB= A 0 8.(25-26八年级下浙江杭州期中)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=4, AF=6.若F刚好是CD的中点，则AD= D 9.(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点 O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE.若DE=BF,则下列结论：①CF=AE;② OE=OF;③四边形CFAE是平行四边形；④四边形ABCD是平行四边形.其中正确的结论是，（填 序号) D B 10.(25-26八年级下·辽宁鞍山月考)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边 形纸片ABCD中，己知AB=10,AD=4V10,oABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE 沿AE折叠，点B的对应点为B,改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'为直角三角 形时，则B'C的长是 D 三、解答题 11.(25-26八年级下·浙江杭州·期中)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,∠CBD=30°， AC⊥AD,A0=4. 10/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：AC=OD: (2)求ABCD的周长. 12.(25-26九年级上北京通州月考)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上， AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F. D B (I)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若AE平分∠BAC,BE=5,AD=3,求BF的长. 13.(2026八年级下，全国.专题练习)如图，在口ABCD中，E为AD上一点，请仅用无刻度的直尺按要求作 图（保留作图痕迹，不写作法） E E. 图① 图② (I)如图①，若E是AD的中点，请作出BC的中点. (②)如图②，若E是AD的中点，请作出CD的中点. 14.(2026八年级下·江苏专题练习)如图，在口ABCD中，点E,F分别在BA,DC的延长线上，且 BE=DF.连结AF,交BC于点H,连接EC, (1)求证：四边形EAFC是平行四边形； (2)若∠F=∠D=70°，求∠CHF的度数. 15.(25-26八年级下·湖北武汉·月考)在平行四边形ABCD中，点0是对角线BD的中点，点E在边BC上， EO的延长线与边AD交于点F,连接BF、DE,如图1. 11/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F F D 图1 图2 (I)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作BF的垂线，与DE、BD、BF分别交于点Q、H、P,如图2. ①求证：CE=√2BH;②己知BE:EC=3:2,AB=√34，直接写出CQ的长 16.(25-26八年级下·江苏泰州月考)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=12cm .动点P从点A出发沿AD以2cms速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cmls速度沿射线CB运动， 当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒， D ←p A CQ→ B E D B E (I)当PQ⊥BC时，t= (②)请问是否存在t的值，使得A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存 在，请说明理由； (3)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值. 12/12 专题01 平行四边形的性质和判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 1 题型二、利用平行四边形的性质求动点问题 4 题型三、利用平行四边形的性质证明 8 题型四、平行四边形的判定 12 题型五、利用平行四边形的性质与判定得结论（多结论问题） 15 题型六、与平行四边形的性质与判定有关的作图 20 题型七、利用平行四边形的判定和性质求解与证明 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，关键是知识点的灵活应用；利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 题型二、利用平行四边形的性质求动点问题 5．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 8．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 题型三、利用平行四边形的性质证明 9．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴， ∴在中，． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 12．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明； （2）①由，得为等边三角形．由得点C是的中点，即；再由勾股定理求得，即可求得平行四边形的面积； ②证为等边三角形，再证明，则有，从而得，由此即可求得m与k的关系． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 题型四、平行四边形的判定 13．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、若，，由两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若，，不能判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意． 故选：C． 16．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单． 此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ①，可得，即可判定四边形是平行四边形； ②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形； ③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形； ④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形； ⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形； ∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个． 故选：C． 题型五、利用平行四边形的性质与判定得结论（多结论问题） 17．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可 【详解】解：∵，即且 ∴四边形是平行四边形， ∴故①正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又，即 ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确； 设间的距离为， ∴ ∴故③正确； 又 ∵ ∴故④正确； 综上，正确的绪论是①②③④，共4个， 故选：D 18．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ , ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (AAS)， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③符合题意； 综上可知，结论①③符合题意． 19．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 20．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象，结合运动路程，把握好关键性界点，过点B作于点H， 利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中线与三角形的面积等知识解答即可． 本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 【详解】解：根据图形和图象，得当时，，故； 点P从点B运动到点D，行走路程为，； 当点P运动到点D时，，此时； 故平行四边形的周长为； 当时，，此时点P为的中点， 故的面积与的面积相等，且为的面积的一半， 过点B作于点H， ∵， ∴， 故， 故的面积为， 故的面积为24； 故（1）（2）（3）正确；（4）错误； 故选：C． 题型六、与平行四边形的性质与判定有关的作图 21．（2026·浙江丽水·一模）如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点，在网格的格点上． (1)在图1中，画一个以为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形； (2)在图2中，画一个以为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格的特点，作一个底边为2，高为3且为边的平行四边形即可； （2）利用网格的特点，作一个底边为2，高为3且为对角线的平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形即为所作； ； （2）解：如图2，四边形即为所作； ． 22．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是平行四边形，点在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，过点作直线将四边形的面积平分； (2)在图2中，，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的对角线，，交于点，作直线交于点，直线即为所作，可证明，继而可得； （2）作的对角线，，交于点，作直线交于点，则射线即为所求，由平行四边形可得，，可证明，则，由可得，那么，再由平行得到，故． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所作 （2）解：如图2，射线即为所作 23．（2026·山西运城·一模）如图，在平行四边形中，． (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 【答案】(1)图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义可推得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图：垂直平分． （2）解：，证明如下： 连接，如图： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故是等边三角形， ∴， ∴． 24．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在中，是边的中点．设的面积为4，请仅用一把无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形： (2)在图②中，画出的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点F，则四边形即为所求；可证明，则，由平行四边形的性质和线段中点的定义可证明，则可证明四边形是平行四边形，而； （2）连接，二者交于点G，则点G即为所求，由平行四边形的性质可得是的边上的中线所在的直线，而是边上的中线，则点G即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，点G即为所求． 题型七、利用平行四边形的判定和性质求解与证明 25．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 26．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，结合，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于点G．根据勾股定理得到，，由得到．在中，利用勾股定理得到、，再由可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，再由即可证明结论； （2）延长交于点H，证明四边形是平行四边形，得到，， 由（1）得四边形是平行四边形，则，进而得到，求出，，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，延长交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：椅子最高点A到地面的距离为． 28．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由平行四边形的性质，得对角线互相平分：，．根据、，推出，，结合，得．四边形的对角线、互相平分，故为平行四边形． （2）由，得平行四边形的对角线互相垂直，故为菱形（）．在中，且，故为等边三角形，得．菱形周长边长． 【详解】（1）证明：在中 ， ， ， ， 四边形为平行四边形 （2）解：， 为的垂直平分线， 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由作图可知：平分，得出，再由四边形是平行四边形，可得，进而得出，最后利用得出结果． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 【答案】D 【详解】方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；方案丙，证，得，，则，证出，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确． 【解答】解：方案甲中，连接，如图所示： 四边形是平行四边形，为的中点， ，， ，， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故方案丙正确． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】通过证明得到，利用等腰三角形的性质可以判断①；先证明四边形是平行四边形，得出，再根据，可以判断②；根据，可判断③；通过“”可以判定，可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴ 同理可证， ∴是平行四边形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，故②错误； ∵为的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴．故④正确； 综上，正确的是①③④． 5．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长和边边上的高的长，从而可以求得平行四边形的面积． 【详解】解：作于点M，如图1所示， 由图象和题意可得，，，， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积是：． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【答案】/40度 【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，，推出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则________． 【答案】 【分析】由题意易得，，则有，设，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∵刚好是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴． 9．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 10．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理等： （1）根据平行四边形对角线互相平分可知，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得； （2）利用勾股定理分别求得，的长度即可． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴． 又， ∴． ∴． （2）在中， ． 在中， ． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴的周长． 12．（25-26九年级上·北京通州·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，为上一点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，若是的中点，请作出的中点． (2)如图②，若是的中点，请作出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和无刻度的直尺的作图技巧，掌握利用平行四边形的中心对称性和对角线互相平分的性质，通过延长或连接线段找交点确定中点是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合是中点，通过延长线段找到的中点； （2）利用平行四边形的中心对称性，连接相关线段找交点，确定的中点． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求． （2）解：如图②，点即为所求． 14．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质结合平行线的性质得到，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明；∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 16．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （2）可证明和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边；当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （3）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $