微专题03 分式方程的实际应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题03 分式方程的实际应用 题型01 工程问题 考向本质：考查“工作总量＝工作效率×工作时间”的逆向变式。题目常出现甲、乙合作，或甲先做、乙后做，或者多出一个人/机器加入等情境。 解题方法： 1. 通用思路：此类问题的核心突破口在于“把总工作量设为1”（或设为一个具体的公倍数以便计算）。重点抓住“各部分工作量之和等于总工作量（或1）”列方程。 2. 关键步骤： (1) 设未知数：通常设时间为未知数，若求效率则可间接设。 (2) 表示效率：如果甲单独需x天，则甲效为。 (3) 找等量关系：常用“甲的工作量＋乙的工作量＝1”或“甲的工作量－乙的工作量＝剩余工作量”。 3. 防坑要点：注意题目中的“单位统一”（如天与小时）；若求的是“提前几天”，记得用原定时间减去求出时间；最后必须进行“双检验”（检验是否为增根，检验是否符合实际意义，时间不能为负）。 4. 答题模板：设未知量→根据“工作总量为1”表示各自效率→梳理各主体的工作时长→利用“效率×时间＝工作量”列方程→求解并双检验→写出答案。 1．（2026·广东惠州·一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·一模）绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）甲、乙两人同时加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件所用时间与乙加工个所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）某公司自使用豆包后，每小时比原来多完成100件作品，且使用豆包完成600件作品所用时间与原来完成300件作品所用时间相等．问该公司使用豆包后每小时能完成多少件作品？ 5．（2026·江苏扬州·一模）“鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 6．（2023·山东泰安·模拟预测）为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 题型02 行程问题 考向本质：考查“路程＝速度×时间”及其变式。在分式应用题中，常结合“流水行船”（水速影响静水速度）或“提速/降速前后对比”来命题。 解题方法： 1. 通用思路：核心在于找准“不变量”。可能是路程不变（如往返路程相同），也可能是时间不变（如同时到达）。常用公式是。 2. 关键步骤： (1) 审清动词：“相向而行”、“同向追击”、“顺流/逆流”、“提速/减速”。 (2) 表示未知量：通常设速度（v）或时间（t）。 (3) 找等量关系：常用“去时时间＝回时时间”或“提速后时间＋节省时间＝原计划时间”。 3. 防坑要点：流水行舟问题中，顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速，切勿混淆加减法；路程单位常为千米与米，注意换算。 4. 答题模板：设速度或时间→用含未知数的式子表示各段路程/速度/时间→根据“路程/速度＝时间”列出分式方程→求解并双检验（尤其注意速度不能为0或负数）→写出答案。 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西桂林·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天、已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，则其中表示（   ） A．规定的时间 B．慢马需要的时间 C．快马需要的时间 D．慢马的速度 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）甲、乙两人计划周末到诗城奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； 4．（广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷）低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业．佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的行程，经无人机配送缩短至，配送时间也较传统方式节省．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的3倍，求无人机的配送速度（单位：）． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 6．（2026·山西晋城·二模）山西碳普惠平台“晋碳行”以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．西西每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，西西用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． (1)求每获得1个碳积分需要步行多少步； (2)西西当月工作22天，每日上下班任选一种方式出行，每月需累计至少2000个碳积分才能兑换心仪权益，则当月最多选多少次方式一出行． 题型03 销售与方案选择问题 考向本质：考查“总价＝单价×数量”以及利润相关问题。常以“用固定预算买东西”、“批发零售”、“楼层/包装箱数量计算”为背景。 解题方法： 1. 通用思路：抓准题目中的“不变量”，通常是“总钱数不变”、“总数量不变”或“单价差价固定”。 2. 关键步骤： (1) 设未知数：常设单价为x元，或数量为n个。 (2) 表示相关量：例如“用1200元买甲，用1000元买乙”，则甲的单价为，乙的单价为。 (3) 找等量关系：常用“甲单价－乙单价＝固定差值”或“甲数量＋额外数量＝乙数量”。 3. 防坑要点：涉及到价格（如售价、进价、原价），必须保证求出的价格为正数；如果是方案选择，要注意最后比较大小得出结论（如“选便宜的”或“选贵的”）。 4. 答题模板：设核心变量（单价或数量）→用分式表示另一关联量（数量或单价）→根据总价＝单价×数量建立等式→求解并双检验（价格/数量必须为正）→结合实际选出最优方案并作答。 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元? (2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少? 3．（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 4．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． (1)A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? (2)文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? (3)在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 5．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 6．（2026·四川成都·二模）成都游客逛宽窄巷子文创店，选购迷你蜀绣挂件和熊猫冰箱贴．询价发现：用600元买迷你蜀绣挂件的数量，与用200元买熊猫冰箱贴的数量相同；已知1个迷你蜀绣挂件比1个熊猫冰箱贴贵20元． (1)求每个熊猫冰箱贴的售价； (2)该游客准备购买两款文创产品共120个，并且熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍．求该游客最少需要花费多少钱？ 题型04 新型情境与跨学科综合问题 考向本质：近年来各地考题喜欢将分式应用在“浓度配比”（如盐水稀释/浓缩）、“资源调度”（如农田灌溉、光伏发电效率）、“物理/化学公式变形”中，考查学生的即时阅读理解与数学建模能力。 解题方法： 1. 通用思路：这类题目文字量大、信息繁杂。第一步必须是“剥茧抽丝”，忽略无关修饰词，提取出核心数据，将其转化为熟悉的数学模型（通常仍是上述的行程、工程或销售模型的变体）。 2. 关键步骤： (1) 列表格梳理：将题目中给的多个条件（如原有浓度、加入纯水/溶质的质量、最终浓度）列成表格，一目了然。 (2) 抓“纯量”或“总量”：如浓度问题中，抓住“纯溶质质量÷溶液总质量＝浓度百分比”；资源问题中，抓住“效率×时间＝总功”。 (3) 寻找“变化前后的不变量”：什么变了，什么没变？没变的那个量就是列方程的依据。 3. 防坑要点：注意物理/化学常识的约束（如浓度不能超过100%，分母不能为0）；答案必须符合客观现实逻辑。 4. 答题模板：精读题意，提取关键数据→设定未知量，确定不变量→根据核心公式（如浓度公式、物理定理）列出分式方程→求解并严格双检验→结合学科背景规范作答。 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江绥化·二模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．（2026·福建三明·一模）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在密度为（单位：）的液体中，浸在液体中的高度（单位：）与液体的密度的关系式．已知橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中的高度多，求水的密度． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 分式方程的实际应用 题型01 工程问题 考向本质：考查“工作总量＝工作效率×工作时间”的逆向变式。题目常出现甲、乙合作，或甲先做、乙后做，或者多出一个人/机器加入等情境。 解题方法： 1. 通用思路：此类问题的核心突破口在于“把总工作量设为1”（或设为一个具体的公倍数以便计算）。重点抓住“各部分工作量之和等于总工作量（或1）”列方程。 2. 关键步骤： (1) 设未知数：通常设时间为未知数，若求效率则可间接设。 (2) 表示效率：如果甲单独需x天，则甲效为。 (3) 找等量关系：常用“甲的工作量＋乙的工作量＝1”或“甲的工作量－乙的工作量＝剩余工作量”。 3. 防坑要点：注意题目中的“单位统一”（如天与小时）；若求的是“提前几天”，记得用原定时间减去求出时间；最后必须进行“双检验”（检验是否为增根，检验是否符合实际意义，时间不能为负）。 4. 答题模板：设未知量→根据“工作总量为1”表示各自效率→梳理各主体的工作时长→利用“效率×时间＝工作量”列方程→求解并双检验→写出答案。 1．（2026·广东惠州·一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 2．（2026·广东·一模）绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天植树棵，可得实际每天植树棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天， 根据结果提前天完成任务，可得：． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）甲、乙两人同时加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件所用时间与乙加工个所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件 【分析】设甲每小时加工个零件，则乙每小时加工个零件，根据甲加工个零件所用时间与乙加工个所用时间相同列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，则乙每小时加工个零件， 根据题意可列方程：， 等式两边同时乘得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， 此时， 答：甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件． 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）某公司自使用豆包后，每小时比原来多完成100件作品，且使用豆包完成600件作品所用时间与原来完成300件作品所用时间相等．问该公司使用豆包后每小时能完成多少件作品？ 【答案】使用豆包后每小时完成 200 件 【分析】设使用豆包后每小时完成件，则原来每小时件，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设使用豆包后每小时完成件，则原来每小时件． 由题意可得：， 解得： 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 故使用豆包后每小时完成 200 件． 5．（2026·江苏扬州·一模）“鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 【答案】甲每小时加工50件 【分析】设甲每小时加工x件，根据“乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同”列方程求解． 【详解】解：设甲每小时加工x件， 根据题意得： 解得， 经检验：是原方程的解 答：甲每小时加工50件． 6．（2023·山东泰安·模拟预测）为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 【答案】 按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房 【分析】设出原计划平均每年建设的保障房面积，然后可表示出新计划平均每年建设的保障房面积，根据原计划完成时间比新计划完成时间多年的等量关系列出分式方程，求解后得到新计划平均每年建设的保障房面积． 【详解】解：设原计划平均每年建设万平方米保障房，则新计划平均每年建设万平方米保障房， 根据题意得，， 方程两边同乘，得， 展开并整理得， 因式分解得， 解得，（不符合实际题意，舍去）， 经检验，当时，， 是原分式方程的解， 则新计划平均每年建设面积为（万平方米）． 答：按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房． 题型02 行程问题 考向本质：考查“路程＝速度×时间”及其变式。在分式应用题中，常结合“流水行船”（水速影响静水速度）或“提速/降速前后对比”来命题。 解题方法： 1. 通用思路：核心在于找准“不变量”。可能是路程不变（如往返路程相同），也可能是时间不变（如同时到达）。常用公式是。 2. 关键步骤： (1) 审清动词：“相向而行”、“同向追击”、“顺流/逆流”、“提速/减速”。 (2) 表示未知量：通常设速度（v）或时间（t）。 (3) 找等量关系：常用“去时时间＝回时时间”或“提速后时间＋节省时间＝原计划时间”。 3. 防坑要点：流水行舟问题中，顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速，切勿混淆加减法；路程单位常为千米与米，注意换算。 4. 答题模板：设速度或时间→用含未知数的式子表示各段路程/速度/时间→根据“路程/速度＝时间”列出分式方程→求解并双检验（尤其注意速度不能为0或负数）→写出答案。 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 2．（2026·广西桂林·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天、已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，则其中表示（   ） A．规定的时间 B．慢马需要的时间 C．快马需要的时间 D．慢马的速度 【答案】B 【详解】解：∵路程，速度公式为，且， 又∵慢马时间比规定时间多1天，快马时间比规定时间少3天， ∴，即， 对方程变形，可得， 正好符合的关系，其中是慢马速度，是快马速度， 因此表示慢马需要的时间． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）甲、乙两人计划周末到诗城奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； 【答案】甲乘坐高铁的平均速度为 ，乙乘坐顺风车的平均速度为 【分析】设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时， 则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时． 4．（广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷）低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业．佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的行程，经无人机配送缩短至，配送时间也较传统方式节省．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的3倍，求无人机的配送速度（单位：）． 【答案】无人机配送速度为． 【详解】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：无人机配送速度为． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 6．（2026·山西晋城·二模）山西碳普惠平台“晋碳行”以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．西西每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，西西用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． (1)求每获得1个碳积分需要步行多少步； (2)西西当月工作22天，每日上下班任选一种方式出行，每月需累计至少2000个碳积分才能兑换心仪权益，则当月最多选多少次方式一出行． 【答案】(1)60步 (2)21次 【分析】(1)根据“方式一积分比方式二少50个”这一  等量关系，设每获得1个碳积分需要步行x步，列出分式方程求解；   (2)先根据第(1)问的结果计算出两种出行方式单次获得的积分，再根据“每月需累计至少2000个碳积分”列出一元一次不等式，求出方式一出行次数的最大值． 【详解】（1）解：设每获得1个碳积分需要步行x步． 根据题意，得， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步； （2）解：由(1)得，方式一每次获得的积分为(个) ， 方式二每次获得的积分为(个) ， 西西每月总出行次数为(次) ， 设当月选m次方式一出行，则选次方式二出行． 根据题意，得， 解得． ∵m为整数， ∴m的最大值为21． 答：当月最多选21次方式一出行． 题型03 销售与方案选择问题 考向本质：考查“总价＝单价×数量”以及利润相关问题。常以“用固定预算买东西”、“批发零售”、“楼层/包装箱数量计算”为背景。 解题方法： 1. 通用思路：抓准题目中的“不变量”，通常是“总钱数不变”、“总数量不变”或“单价差价固定”。 2. 关键步骤： (1) 设未知数：常设单价为x元，或数量为n个。 (2) 表示相关量：例如“用1200元买甲，用1000元买乙”，则甲的单价为，乙的单价为。 (3) 找等量关系：常用“甲单价－乙单价＝固定差值”或“甲数量＋额外数量＝乙数量”。 3. 防坑要点：涉及到价格（如售价、进价、原价），必须保证求出的价格为正数；如果是方案选择，要注意最后比较大小得出结论（如“选便宜的”或“选贵的”）。 4. 答题模板：设核心变量（单价或数量）→用分式表示另一关联量（数量或单价）→根据总价＝单价×数量建立等式→求解并双检验（价格/数量必须为正）→结合实际选出最优方案并作答。 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元? (2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少? 【答案】(1)跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元 (2)共有3种购买方案，当学校购买450根跳绳，150个毽子时，总费用最少 【分析】（1）根据题意列出分式方程进行计算即可； （2）设购买跳绳a个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可． 【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元． （2）解：设购买跳绳a个，则购买毽子个． 依题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴，共三种方案； 设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元， 则， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，则， 答：共有3种方案，当学校购买450根跳绳，150个毽子时，总费用最少． 3．（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1)每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元 (2)①一共有20种购买方案；②最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元 【分析】（1）每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意易得不等式组，进而求解即可； ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得易得，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元． （2）解：①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的值可以为10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29，共20个； 答：一共有20种购买方案． ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得： ， ∵，且， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元． 4．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． (1)A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? (2)文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? (3)在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 【答案】(1)A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元 (2)该文具店共有3种进货方案 (3)购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大 【分析】（1）设A种文具每件的进价为x元，根据“用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同”列分式方程，求解即可； （2）设购进A种文具a件，则购进B种文具件，根据资金的范围列出一元一次不等式，求出a的取值范围，取正整数即可得到进货方案数； （3）表示出总利润与a的关系式，根据一次函数的增减性，即可求出利润最大对应的进货方案． 【详解】（1）解：设A种文具每件的进价为元，则B种文具每件的进价为元． 由题意得， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元； （2）解：设购进A种文具a件，则购进B种文具件． 由题意得： ， 整理得 ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a的取值为18，19，20，共3种情况， 答：该文具店共有3种进货方案； （3）解：设总利润为W元，A种文具每件的利润为（元），B种文具每件的利润为（元）， 则：， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时． 答：购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大． 5．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，根据题意，列出分式方程，求解即可得出结果； （2）设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，根据题意得出不等式组，求解得出的取值范围，由费用最少，得出对应结果． 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 6．（2026·四川成都·二模）成都游客逛宽窄巷子文创店，选购迷你蜀绣挂件和熊猫冰箱贴．询价发现：用600元买迷你蜀绣挂件的数量，与用200元买熊猫冰箱贴的数量相同；已知1个迷你蜀绣挂件比1个熊猫冰箱贴贵20元． (1)求每个熊猫冰箱贴的售价； (2)该游客准备购买两款文创产品共120个，并且熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍．求该游客最少需要花费多少钱？ 【答案】(1) 每个熊猫冰箱贴的售价为10元 (2) 该游客最少需要花费2000元 【分析】 （1）设每个熊猫冰箱贴的售价为元，则每个迷你蜀绣挂件的售价为元．根据“600元买迷你蜀绣挂件的数量与200元买熊猫冰箱贴的数量相同”的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果． （2）设购买迷你蜀绣挂件个，总花费为元，根据限制条件得到自变量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，利用一次函数的单调性求出最小花费． 【详解】（1） 解：设每个熊猫冰箱贴的售价为元，则每个迷你蜀绣挂件的售价为元， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：每个熊猫冰箱贴的售价为10元； （2）解：设购买迷你蜀绣挂件个，总花费为元，则购买熊猫冰箱贴个， 根据题意得， 解得； 由（1）可知，每个迷你蜀绣挂件的售价为， 则总花费， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，取得最小值，（元）， 答：该游客最少需要花费2000元． 题型04 新型情境与跨学科综合问题 考向本质：近年来各地考题喜欢将分式应用在“浓度配比”（如盐水稀释/浓缩）、“资源调度”（如农田灌溉、光伏发电效率）、“物理/化学公式变形”中，考查学生的即时阅读理解与数学建模能力。 解题方法： 1. 通用思路：这类题目文字量大、信息繁杂。第一步必须是“剥茧抽丝”，忽略无关修饰词，提取出核心数据，将其转化为熟悉的数学模型（通常仍是上述的行程、工程或销售模型的变体）。 2. 关键步骤： (1) 列表格梳理：将题目中给的多个条件（如原有浓度、加入纯水/溶质的质量、最终浓度）列成表格，一目了然。 (2) 抓“纯量”或“总量”：如浓度问题中，抓住“纯溶质质量÷溶液总质量＝浓度百分比”；资源问题中，抓住“效率×时间＝总功”。 (3) 寻找“变化前后的不变量”：什么变了，什么没变？没变的那个量就是列方程的依据。 3. 防坑要点：注意物理/化学常识的约束（如浓度不能超过100%，分母不能为0）；答案必须符合客观现实逻辑。 4. 答题模板：精读题意，提取关键数据→设定未知量，确定不变量→根据核心公式（如浓度公式、物理定理）列出分式方程→求解并严格双检验→结合学科背景规范作答。 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题根据密度公式，结合已知的密度比和体积差，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设物体A的体积为， ∵物体B的体积比物体A大， ∴物体B的体积为， 根据密度公式，得，， 已知，，， 因此， 化简得， ， ， 解得， ∴物体A的体积为，答案选B． 3．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 4．（2026·黑龙江绥化·二模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据密度公式和已知密度比找到等量关系即可列出方程． 【详解】解：设物体A的体积是， ∵物体B的体积比物体A的体积小， ∴物体B的体积为， 根据密度公式可得 ，， 已知 ， 根据比例的基本性质整理得． 5．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据，结合A、B两个铁块对桌面的压强之比为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故选A． 6．（2026·福建三明·一模）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在密度为（单位：）的液体中，浸在液体中的高度（单位：）与液体的密度的关系式．已知橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中的高度多，求水的密度． 【答案】水的密度为 【分析】设密度计浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为，根据“橘子汁的密度是水的密度的倍”得关于x的分式方程，列式计算进而求解即可． 【详解】解：设密度计悬浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为， ∵橘子汁的密度是水的密度的倍， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴水的密度为． 答：水的密度为． / 学科网（北京）股份有限公司 $