微专题4 构造等腰三角形的常用方法&问题解决策略：反思-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

12.如图，△ABC即为所求作的三角形， 6.A7.B 8.DE⊥AB,DF⊥AC,,∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， “8e-c 第12题答图 第13题答图 ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF.∴.DE=DF. 13.(1)证明：如图，连接OA,OB,OC, AD是∠BAC的平分线. ,·DM垂直平分线段AB,EN垂直平分线段AC, 能力在线 ..OB=OA,OA=OC...OB=OC. 9.C .点O在边BC的垂直平分线上 10.如图，①连接CD,作CD的垂直平分线；②作∠AOB的平 (2)20 分线，交CD的垂直平分线于点P,即货站P的位置. 拓展在线 A 14.B 阶段测评2(1.3~1.4) 1.D2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.C E 9.合格10.2711.45°12.5013.√5-114.5或10 第10题答图 第11题答图 15.如图，作AC的垂直平分线交AB 11.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 于点D,则D点即为所求作. ,AD∥BC,∠D=90°，∴.∠C=180°-∠D=90°， 16.(1)由题意知，∠BDC=∠ACB= 即PC⊥BC. 90°，.∠A=90°-∠ABC= :BP平分∠ABC,PE⊥AB,PC⊥BC,PC=PE. ∠BCD. P是CD的中点，∴PD=PC.PE=PD. (2)易知∠ABC=90°-∠A=60° 又PE⊥AB,PD⊥AD,.AP平分∠DAB, :BE平分∠ABC,∴∠ABE- 12.(1)证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC ∠ABC=30° 交AC的延长线于点F, .∠CEF=∠A+∠ABE=60°. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF (3)= :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， 17.如图，过点A作AH⊥DE于点H, .∠B=∠FCD. .CD=2,BD=3, :∠F=∠DEB=90°， ∴.BC=5. .△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. :DA平分∠CDE,∠ACD=90° AH⊥ED, .∠ADC=∠ADH,∠C=∠AHD=∠AHE=90 .'AD=AD,∴.△ADC≌△ADH(AAS). ..AC=AH,CD=DH=2. 图② 图③ ,'AB=AE,∴.Rt△ABC≌Rt△AEH(HL) (2)2a提示：如图③，作DF⊥AC交AC的延长线于点F .BC=EH=5...DE=DH+HE=7. AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF. 18.(1)DE⊥DP. :∠B=45°，∠ACD=135°，.∠B+∠ACD=180° 理由如下：，PD=PA,∠A=∠PDA, :∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD. EF是BD的垂直分线，∴BE=DE..∠B=∠EDB. 同理可证△DFC≌△DEB(AAS). ∠C=90°，∠A+∠B=90° .DC=DB,CF=BE. .∠PDA十∠EDB=90°. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴.∠PDE=180°-90°=90°.∴.DE⊥DP (AD=AD, (2)连接PE,设DE=x,则BE=x, DF-DE, CE=8-x. .Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)..∴.AF=AE. .AC=6,PA=2, ..AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC++2BE. .PD=PA=2,PC=AC-PA=4. ∴.AB-AC=2BE=2a. ∠C=∠PDE=90°， 拓展在线 ∴.PC十CE2=PE=PD十DE, 13.3或5 即42+(8-x)2=22+x2,解得x=4.75. 第2课时三角形三个内角的平分线 .DE=4.75. 基础在线 5角平分线 1.C2.B3.A4.55 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 5.过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足 基础在线 分别为E,F, 1.C2.D3.C4.4 .OA平分∠BAC,OE⊥AB,OF⊥AC 5..'AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ..OE=OF. .DE=DF,∠BED=∠CFD=90° 同理，OD=OE,OD=OF D是BC的中点，BD=CD. ..OD=OE=OF=3. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， SAANC-SANOB+SABC+SAAOC (BD=CD, S=AB X OE+号BCX OD+-号ACXOF= DE=DF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∠B=∠C. 合(AB+BC+ACX0D-合×20X3=30. 一探究在线·八年 6.C ,∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).'.AF=BE. 7.如图所示，点P为小亭中心的位置 (2)2cm 微专题4构造等腰三角形的常用方法 1.(1)证明：如图，过点P作PF∥AC交 BC于点F 点P,Q同时出发，且速度相同， 能力在线 .BP=CQ. 8.D9.110.10 PF∥AQ, 11.,中转站要到三条公路的距离都相等， ∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC ∴·货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 又AB=AC,∠B=∠ACB. 角或外角平分线的交点. ∴.∠B=∠PFB.∴.BP=FP..FP=CQ .满足条件的点P有四个，图略 在△PFD和△QCD中， 12.·PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF, ∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ, ∴.P是△ABC三个内角平分线的交点. ∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD=QD. ∴.CP平分∠ACB,BP平分∠ABC. (2)线段ED的长度保持不变.理由如下： ∴∠PCB=∠ACB,∠PBC=号∠ABC 由(1)知，PB=PF :PE⊥BF,∴.BE=EF.由(I)知，△PFD≌△QCD ∴∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°- ∠ACB ∴FD=CD.∴ED-EF+FD=BE+CD=2BC, 合∠ABC=180-合（∠ACB+∠ABC)=180:- .线段ED的长度保持不变 2.如图，延长BA,CD相交于点Q. 合(180°-∠BAC=90+号∠BAC '∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， .∠ACQ十∠Q=90°， 拓展在线 13.(1)EF⊥AB,.∠AFE=90° ∠ABE+∠Q=90. ∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40° .∠ACQ=∠ABE. :∠BAD=100°，∠DAE=180°-100°-40°=40. I∠ABE=∠ACQ, (2)证明：如图，过点E作 在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ: EM⊥AD于点M,ENI ∴.△ABE≌△ACQ(ASA)..BE=CQ. BC于点N, :BE平分∠ABC,EF⊥ BD平分∠ABC,∠CBD=∠QBD. .'∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90° BA,.'.EF=EN. ∠EAF=∠DAE=40°，.AE平分∠DAF. BD=BD,△BCD≌△BQD(ASA), ∴.CD=QD.∴.BE=CQ=2CD .EF=EM..EM=EN. ,EM⊥AD,EN⊥CD,∴.DE平分∠ADC. 3.方法1：（截长法）如图，在BC上取点E, (3)SAACD=SAADE+SAODE 使BE=BA,连接DE. ,BD平分∠ABC, ∴2AD,EM+2CD·EN=18, .'.∠ABD=∠EBD 由(2)知，EM=EN=EF, (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD 7(AD+CD),EM=18.分×(4+8)XEM=18. BD-BD, ∴.EM=3.∴.EF=3. ∴△ABD≌△EBD(SAS).∴.∠BAC=∠BED=108. ∴SAE=7ABEF=合X6X3=9, .∠DEC=72° AB=AC,.∠C=∠ABC=36°.∴.∠CDE=72° 微专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CDE=∠CED.∴.CD=CE. 1.D2.43./134.D 则BC=EB+CE=AB十CD. 5.(1)垂直平分线平分线 方法2：（补短法）如图，延长BA至点E,使 (2)过点E作EM⊥AD于点M,如图②. BE=BC,连接DE 因为射线AE是∠DAC的平分线，EG 根据SAS证明△EBD≌△CBD,可得DE ⊥AC,EG=1, =DC,再由三角形内角和求证∠EAD= 所以EM=EG=1, ∠EDA=72°，∴.EA=ED=CD. D ×4×1 所以Sam=号AD·EBM=号 图② 即可证明BC=AB+CD. 4.如图，延长FD至点H,使FD=HD,连 =2. 接BH. 6.(1)证明：如图，连接AD,BD, AD为中线，∴.BD=CD. PD垂直平分AB,∴.AD=BD. 在△BDH和△CDF中， ,CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥ BD=CD, AC, ∠BDH=∠CDF, .DE=DF,∠AFD=∠BED=90° HD=FD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， .△BDH≌△CDF(SAS).∴∠H=∠CFD,CF=BH. (AD=BD, .'AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. DF-DE, '∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H. ∴.AB=BH.∴.AB=CF. 级数学（下）·BS一 19 5.如图，延长DA到点E,使AE 又，AC=AD,∠ACB=∠ADB,∴.△ABC≌△AFD. AC,则∠E=∠ACE (2)由(1)知，△ABC≌△AFD,∴.AB=AF ∠BAC=∠E+∠ACE=2∠E. :BE-FE,AE⊥BF,即AC⊥BD. ∠BAC=2∠B, 10.C11.40 ∠B=∠E-∠ACE.BC=EC 12.(1)①039②C ,CD平分∠ACB,.∠ACD=∠BCD. (2)如图②，过点N作NG⊥BC,交BC的 ∴.∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD. 延长线于点G, 又，'∠DCE=∠ACE+∠ACD=∠B+∠ACD: ∴.∠ADC=∠DCE.DE=CE. 当∠CMN=30时，NG=2MN=30cm, ..AC+AD=AE+AD=DE=EC=BC. ..MG=MN2-NG2=303 (cm). 图② 问题解决策略：反思 :∠NCG=45°，∴.CG=NG=30cm. 1.(1)如图，连接AC,AD, ∴.MC=MG-CG=(30√3-30)cm. 在△ABC和△AED中， AB-AE, S=2C1.NG=号(30,5-30)X30=(4503- ∠ABC=∠AED 450)cm2 BC-ED, 13.C14.C15.140 ,∴.△ABC≌△AED(SAS)..AC=AD 核心素养提升 F是CD的中点，∴AF⊥CD. 16.D (2)①∠BAF=∠EAF;②AF⊥BE;③BE∥CD.(答案不 第二章不等式与不等式组 唯一) 1不等式及其性质 2.(1)证明：如图①，过点E作EF⊥CD于点F,则∠CFE=90°， 第1课时不等关系 ∠A=∠B=90°，DE平分∠ADC,∴.AE=EF. :E为AB的中点，AE=EB..EB=EF 基础在线 EF⊥CD,EB⊥BC,.CE平分∠BCD. 1.B2.B (2)如图②，延长DE,CB交于点H, 3.太阳的质量大于地球的质量（答案不唯一） :∠A+∠ABC=180°，.AD∥BC..∠ADE=∠H. 4.(1)x-3>10.(2)3x-5<0. ,E为AB的中点，DE平分∠ADC, (8)7x+120.403,)9-1 ∴.AE=BE,∠ADE=∠CDH. 能力在线 ∴.∠H=∠CDH.∴.CH=CD=7+m ∴.△ADE≌△BHE(AAS).∴.AD=BH. 5.190x>10+10 .BC=5+m,.'.AD=BH=CH-BC=7+m-(5+m)=2. 6.租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少 故AD的值为2. 于500人 7.(1)甲种原料的质量是xkg,则乙种原料的质量是(90一x)kg, 由题意，得500x+200(90-x)≥40000. (2)由题意，得16x+8(90-x)≤1600. 拓展在线 图① 图② 3.(I)证明：如图①，过点D作DM LAB于点M,DN⊥BC 8.C 于点N, 第2课时不等式的解集 :BD平分∠ABC,DM⊥AB,DN⊥BC, 基础在线 ∴.DM=DN,∠DMB=∠DNB=90°. 1.C2.C .∠ABC+∠MDN=180°. 1 -5 :∠EBF+∠EDF=180°， 3.-404,-1,-号52 ,∴.∠MDN=∠EDF,即∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN. 4.D ∴∠MDE=∠NDF. 5.(1)将x≥一3表示在数轴上为 在△DME和△DNF中， 543-21012345 '∠MDE=∠NDF, (2)将x<一 2表示在数轴上为 3 DM-DN, N∠DME=∠DNF, ∴.△DME≌△DNF(ASA).∴.DF=DE 5432012345 (2)当DF=DE时，∠EBF和∠EDF不一定互补，如图②， 6.这句话不正确.因为满足x<3的数只是不等式x十2<6 当DE=DF时，∠EBF+∠EDF≠180°. 的部分解，如：x=3.1,x=3.2等也是不等式x十2<6的 解，所以x<3不是其解集，故这句话不正确， 能力在线 7.C8.B9.-1,-2,-3,-4 N F C 拓展在线 图① 图② 10.x<一3（答案不唯一） 单元综合复习（一）三角形的证明及其应用 第3课时不等式的基本性质 热门考点突破 基础在线 1.B2.D3.65°4.B5.900°360°6.367.D8.D 1.B2.C3.A 9.(1):∠BAF=∠EAD, 4.(1)>(2)<(3)>(4)< ∴·∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF,即∠BAC=∠FAD. 5.(1)x>1不等式的基本性质1 20 一探究在线·八年 2x>- 不等式的基本性质2 移项，得-5x-3x>一6十4-6. 合并同类项，得-8x>-8. (3)x<-3 4 不等式的基本性质3 两边都除以一8，得x<1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， 6.(1)根据不等式的基本性质1，两边都减去5，得 x>-1-5,即x>-6. -4-3-2101234 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 能力在线 8.B9.A10.D11.112.-9 76543之0 13.(1)去括号，得10x十6≤x-3+6x. (2)根据不等式的基本性质2，两边都乘7，得 移项及合并同类项，得3x≤-9. x<7x9,即x<6. 两边都除以3，得x≤一3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 21012345名 54321012345 (3)根据不等式的基本性质1，两边都诚去7，得 (2)去分母，得3(x一1)一2(2x+3)<一6. 一2x≥6-7，即-2x≥-1， 去括号，得3x-3一4x一6<-6. 移项，得3x一4x<一6十6十3. 根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得x≤号 合并同类项，得一x<3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 两边都除以一1，得x>一3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 432101234方 54321012345 7.问题出在第④步.因为x>y,所以y一x<0,所以当不等式 14.由题意，得6(x-1)-2(x-2)>-(2x十3). 的两边都除以(y一x)时，不等号应改变方向，所以0<5. ∴.6x-6-2x+4>-2x-3.∴.6x-2x+2x>-3+6-4. 能力在线 8.C9.A10.一1（答案不唯一） 6x>-1.x>-日当x>-君时，代数式6(x 11.(1)<(2)m<3 1)一2(x一2)的值大于2x+3的相反数. 12.1)两边都诚3，得弓>2两边都乘2，得x>y 1 拓展在线 15.(1)根据题意，得 |23-x (2)两边都乘2，得x-3>y-3.两边都加3，得x>y. =2x-1X(3-x)=2x-3十 (3)两边都除以2，得3一x<3一y.两边都减3，得一x< x=3x-3,即3x-3>3,3x>6. 一y.两边都除以-1，得x>y. 两边都除以3，得x>2. 13.(1)不等式的基本性质3不等式的基本性质1 在数轴上把解集表示出来如图所示， (2)a>b,c<0,ac<bc.① 又.c>d,b<0,.bc<bd.② -2101含345 由①②可得ac<bd. (2)21 n x 拓展在线 <0,即n-2x<0,>2 14.< 2一元一次不等式 “关于x的不等式”x <0的解都是(1)中不等式的解， 21 第1课时一元一次不等式的解法 受>≥2.≥4 基础在线 第2课时 一元一次不等式的应用 1.B2.号 3.C4.C5.2 基础在线 6.(1)去括号，得3x十3>x一1. 1.a>22.24×3+(15-3)x>4083.C4.D5.D 移项，得3x-x>-1-3. 6.设琪琪至少要清点x件器材.根据题意，得 合并同类项，得2x>一4. 两边都除以2，得x>-2. 斋+3002≤4，解得≥240， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 答：琪琪至少要清点240件器材 7.(1)设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元.依 -4-3-2-101234 题意，得 (2)去分母，得x一5+2>6x. 移项，得x-6x>5-2. (任6解得 (4x=6y, 合并同类项，得一5x>3. 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元. 两边都除以-5，得<一。 (2)设购买A种材料m件，则购买B种材料(50一m)件，依 题意，得 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 9m十6(50一m)≤360.解得m≤20..'.m的最大值为20. 答：最多能购买A种材料20件. 432g0234 能力在线 7.(1)不等式的基本性质2 8.B9.D (2)三四不等式的两边同除以一8时，不等号方向未改变 10.(1)设买A种水果x千克，B种水果y千克.依题意，得 31-5+4> 14z+18y=46,解得2， x十y=3, 21 1y=1. 去分母，得6-5x-4>3x-6. 答：买A种水果2千克，B种水果1千克. 级数学（下）·BS一微专题4构造等用 类型①利用平行线构造等腰三角形 +模型展示+十++++++++++十++ (1)利用“角平分线十 平行线”构造等腰三角形， 如图①，若∠1=∠2，AC ∥OB,则△OAC为等腰 图① 三角形 (2)作腰的平行线构造等腰三角形. 如图②，图③，若AB=AC,DE∥AC,则 △BDE为等腰三角形， 图② 图③ (3)作底边的平行线构造等腰三角 形.如图④，图⑤，若AB=AC,DE∥BC, 则△ADE为等腰三角形. D.-- 图④ 图⑤ 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点P从点B出 发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿 线段AC的延长线移动，点P,Q移动的速度 相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)求证：PD=QD; (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当 点P,Q在移动的过程中，线段BE,ED,CD中 是否存在长度保持不变的线段？请说明理由 三角形的常用方法 类型②角平分线十垂线→等腰三角形 +模型展示++++++ 如图，在△ABC中， AD平分∠BAC,CD⊥ AD,故可以延长CD交 E2...Dh AB于，点E,则△ACE是B 等腰三角形. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE是 △ABC的角平分线，CD⊥BE交BE的延长线 于点D.求证：BE=2CD. 第-章32 类型③利用截长补短法构造等腰三角形 3.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC, BD平分∠ABC,交AC于点D. 求证：BC=AB+CD. 类型④利用倍长中线法构造等腰三角形 4.如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一 点，AD,CE相交于点F,且AE=EF. 求证：AB=CF. 33探究在线八年级数学（下）·BS 类型⑤利用倍角关系构造等腰三角形（选做） 十模型展示+++++ 在△ABC中，∠ABC=2∠ACB. 如图①，作BD平分∠ABC,则△DBC是 等腰三角形； 如图②，延长CB至点D,使BD=BA,则 △ADB,△ADC是等腰三角形； 如图③，作∠ACD=∠ACB,交BA的延 长线于点D,则△DBC是等腰三角形 D D D B 图① 图② 图③ 十十 5.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分 ∠ACB交AB于点D.求证：AC+AD=BC. ©问题解决 类型① 条件不变，探究更多可能成立的结论 1.如图所示，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC= ED,F是CD的中点， (1)求证：AF⊥CD; (2)若连接BE,你还能得出什么新的结论？请 写出三个（不要求证明）： 类型②适当改变条件，探究结论是否仍然 成立 2.(武汉期中)如图①，在四边形ABCD中，∠A =∠B=90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC. (1)求证：CE平分∠BCD; (2)如图②，若将“∠A=∠B=90”改为“∠A +∠B=180°”，其他条件不变.BC=5+m,CD =7十m,求AD的值 图① 图② 策略：反思 类型③探究条件和结论互换的情形 3.(泰州期中)如图①，D是∠ABC平分线上一 点，点E,F分别在射线BA和射线BC上 (I)若∠EBF与∠EDF互补，求证：DF=DE; (2)反过来，如果DF=DE,那么∠EBF和 ∠EDF一定互补吗？如果是，简述理由；如果 不是，请在图②中画出反例 A D E D B 图① 图② 第-章34