第十章 二元一次方程组中的含参问题 （7大题型专项突破）2025-2026学年人教版数学 七年级下册

第10章 二元一次方程组中的含参问题 （7大题型专项突破） 【题型1 与二元一次方程（组）的定义有关的含参问题】....................................................................1 【题型2 与二元一次方程（组）的解有关的含参问题】........................................................................3 【题型3 二元一次方程组中的同解问题】................................................................................................5 【题型4 二元一次方程组中的错解问题】................................................................................................8 【题型5 二元一次方程组中解满足某个条件】.......................................................................................11 【题型6 二元一次方程组中的整数解问题】...........................................................................................13 【题型7 二元一次方程组中解的存在性问题】.......................................................................................16 题型一 与二元一次方程（组）的定义有关的含参问题 【例1-1】（24-25八年级上·重庆·期末）若关于的方程是二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果． 【详解】解：根据题意，得，， 解得：， 故答案为： 【例1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东东营·月考）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键：、定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．如：方程，，等都是二元一次方程；、注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；②“含未知数的项的次数是”是指含有未知数的项（单项式）的次数是，如的次数是，所以方程不是二元一次方程；③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 解得：， 故选：． 【变式1-2】（24-25七年级下·重庆·月考）已知是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 题型二 与二元一次方程（组）的解有关的含参问题 【例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入中计算求解，即可解题． 【详解】解：若是关于的二元一次方程的解， ， 解得， 故选：C． 【变式2-1】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：把代入得到， ∴， 故选：D 【变式2-2】（18-19七年级下·广西贵港·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解定义是解题的关键，注意整体思想的运用．根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，即可得到，再整体代入即可求得． 【详解】解：把代入二元一次方程，得， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x、y的方程组的解是，那么m，n的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，即方程组中两个方程的公共解，知道方程组的解即可代入求出方程组中其它字母的取值．把方程组的解代入方程组，即可求出m，n的值． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 故选：B． 题型三 二元一次方程组中的同解问题 【例3】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（22-23七年级上·重庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则 a+4b-3 的值为（　　） A． 1 B． 6 C． 10 D． 12 【答案】C 【分析】先求出的解，再将解代入中求出，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由解得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 题型四 二元一次方程组中的错解问题 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可． 【详解】解：根据题意可得出：，， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 【变式4-2】（23-24七年级上·重庆北碚·期末）涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． 由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】解：涵涵把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又轩轩把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得， 所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 【变式4-3】（15-16七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 题型五 二元一次方程组中解满足某个条件 【例5】（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【变式5-1】（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相加构造出与已知条件相关的关系式是解题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 故选： 【变式5-2】（20-21八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆·月考）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 题型六 二元一次方程组中的整数解问题 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 【变式6-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把a看作常数，利用加减消元法求解，根据求出的方程组的解是正整数，a为非负整数，得出或4，求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∵方程组有正整数解，a为非负整数， ∴或4， 解得或2， 故答案为：0或2． 题型七 二元一次方程组中解的存在性问题 【例7】（22-23八年级上·广东·单元测试）若方程组无解，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法消掉未知数x得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得． 【详解】解： 由②得：③， 把③代入①得：， 整理得：， 方程组无解， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解未知数的系数等于0． 【变式7-1】（19-20七年级下·江苏淮安·期中）若二元一次方程组有唯一解，则a的值为（　　） A．a≠0 B．a≠6 C．a＝0 D．a为任意数 【答案】B 【分析】根据加减消元的思想，消掉y，然后再根据分母不等于0求解即可． 【详解】解：， ②×2得6x+2y＝6③， ③﹣①得（6﹣a）x＝5， 当a≠6时，方程有唯一的解x＝． 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据二元一次方程组有唯一解,求方程中的参数，掌握加减消元思想和分母不等于0是解决此题的关键． 【变式7-2】（2023·山东聊城·模拟预测）若关于和的方程组无解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出与得关系式，解题的关键是掌握二元一次方程组，当时方程组无解． 【详解】∵关于和的方程组无解， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-3】（22-23七年级下·全国·课后作业）若方程组有无穷多组解，则的值为___________ 【答案】5 【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程． 【详解】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式， ，解得， ， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组中的含参问题 （7大题型专项突破） 【题型1 与二元一次方程（组）的定义有关的含参问题】....................................................................1 【题型2 与二元一次方程（组）的解有关的含参问题】........................................................................1 【题型3 二元一次方程组中的同解问题】................................................................................................2 【题型4 二元一次方程组中的错解问题】................................................................................................3 【题型5 二元一次方程组中解满足某个条件】........................................................................................3 【题型6 二元一次方程组中的整数解问题】............................................................................................4 【题型7 二元一次方程组中解的存在性问题】........................................................................................5 题型一 与二元一次方程（组）的定义有关的含参问题 【例1-1】（24-25八年级上·重庆·期末）若关于的方程是二元一次方程，则的值为______． 【例1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东东营·月考）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【变式1-2】（24-25七年级下·重庆·月考）已知是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【变式1-3】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 题型二 与二元一次方程（组）的解有关的含参问题 【例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2-1】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（18-19七年级下·广西贵港·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值是________． 【变式2-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x、y的方程组的解是，那么m，n的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 二元一次方程组中的同解问题 【例3】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5000 【变式3-2】（22-23七年级上·重庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则 a+4b-3 的值为（　　） A． 1 B． 6 C． 10 D． 12 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2021 题型四 二元一次方程组中的错解问题 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【变式4-2】（23-24七年级上·重庆北碚·期末）涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解． 【变式4-3】（15-16七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 题型五 二元一次方程组中解满足某个条件 【例5】（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式5-2】（20-21八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆·月考）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________． 题型六 二元一次方程组中的整数解问题 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为______． 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是_________． 【变式6-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为______． 题型七 二元一次方程组中解的存在性问题 【例7】（22-23八年级上·广东·单元测试）若方程组无解，则值是（    ） A． B．1 C． D．2 【变式7-1】（19-20七年级下·江苏淮安·期中）若二元一次方程组有唯一解，则a的值为（　　） A．a≠0 B．a≠6 C．a＝0 D．a为任意数 【变式7-2】（2023·山东聊城·模拟预测）若关于和的方程组无解，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23七年级下·全国·课后作业）若方程组有无穷多组解，则的值为___________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $