微专题01 将军饮马问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题01将军饮马问题 题型01两定一动：两个定点、一个动点 将军饮马问题 题型02一定两动：一个定点、两个动点 题型03一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短） 常点堂破 题型01两定一动：两个定点、一个动点 妹方法 己知直线1同侧的两定点A和B,在直线1上找一动点P,使得AP+PB最短 B 如上图所示，作点A关于直线1的对称点A',则PA=PA',根据两点之间线段最短，连接点B,A'。 此时AP+PB最短，AP+PB=A'P+PB=A'B。 1.(23-24八年级上江苏南京期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,如果点 D,E分别为BC,AB上的动点，那么AD+DE的最小值是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下广东深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,S4BC=6,点E、D分 别是AB,BC上的动点，则AD+DE的最小值为· B 3.(24-25七年级下·广东清远期末)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》 里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题. A. A· •B -1 ●B 图1 图2 (1)如图1，若点A和点B分别在直线1的两侧，请作出示意图，在直线1上找到点C,使得CA+CB有最 小值，并说明作图依据：一； (2)如图2，若点A和点B在直线1的同侧，请在直线1上作出点P,使得PA+PB有最小值，并说明理由. 4.(21-22八年级上·山西吕梁期末)如图，直线m是ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一 动点，若AB=6,AC=4,BC=7. C (1)求PA+PB的最小值，并说明理由. (2)求△APC周长的最小值. 5.(24-25七年级上山东东营·期末)如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,5). 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 5 3 2 A -6543-2913456 -2 5 =6 (I)若△A'B'C'与ABC关于y轴成轴对称，作出△A'B'C': (2)若P为y轴上一点，使得AP+BP最小，则AP+BP最小值为； (3)计算ABC的面积. 6.(25-26八年级上广东梅州期中)如图，在平面直角坐标系中，己知A(-2,-1),B(-4,-3),C2,-2). 5 4 3 2 -5-4-3219 2345 (I)作出ABC关于x轴对称的△A'B'C: (2)若点P在x轴上，求PA+PC的最小值. 题型02一定两动：一个定点、两个动点 啸方法 己知在∠A0B的内侧有一定点M,在射线OA,OB上有两动点P,Q,在射线OA,OB上各确定一点P,Q, 使得MP+MQ+PQ最短. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M' 0 B 0 M 如上图所示，分别作点M关于∠AOB的两条边射线OA,OB的对称点M',M",则 PM'=PM,PQ'=PQ,根据两点之间线段最短，连接点M,M",分别交射线OA,OB于点P',Q'。此 时MP+Mg+PQ最短，MP+MQ+PQ=M'P'+M"Q'+P'Q'=M'M" 1.(25-26八年级上福建福州·月考)如图，点P位于∠A0B内部，点M和N分别在射线OA,OB上.若 LA0B=30°，0P=5,则aPMN周长的最小值为() A B A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26八年级上陕西延安·月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,ABC的面积为6，D、E 、F分别是AB、BC、AC边上的动点，连接DE,DF,EF,则DE+EF+FD的最小值是： A 3.(24-25七年级下·陕西西安·月考)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5,D、E、F分别是 AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的和的最小值是 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4.(24-25八年级上湖北黄石·期末)如图，在直角ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,D、 E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+DF的最小值是 5.(25-26八年级上·辽宁大连期中)综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮 马问题”时抽象出数学模型：直线1同侧有两个定点A,B,在直线1上存在点C,使得CA+CB的值最小. 小明的作法是：如图2，作点B关于直线1的对称点B,连接AB',则AB与直线1的交点即为点C,且 CA+CB的最小值为AB'的长. 图1 图2 图3 图4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C，连接AC',BC', B'C',证明AC+BC<AC'+BC'即可. (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若AB=6,AC=5, BC=8,则△APC周长的最小值为 ； (3)如图5，已知∠M0N=35°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周 长取最小值时，∠APB的大小为度. 6.(25-26七年级下·江苏南京期中)【探究活动】己知：∠A0B=45°，P是平面内一点. 知识建构：如图1，点P在∠AOB内部，分别作点P关于边OA、OB的对称点PP,连接PP与 OA、OB相交于点M、N,则此时△PMN的周长最小，且连接OPOP后，得到的△OPP是等腰直角三 / 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角形.理由如下： M B P 图1 :点P关于边OA、OB的对称点分别为P、P, .OP=OP=OP,∠AOP=∠AOP,∠BOP=∠BOP,PM=PM,PN=PN. :C.PMN PM PN+MN PM PN MN PP2 根据“两点之间线段最短”，得到△PMN周长的最小值为线段PP的长度. :∠A0B=45°， .∠POP=2(∠AOP+∠BOP)=90°. ∴.△OPP2是等腰直角三角形. 学以致用： (I)如图2，若点P在∠AOB外部，分别作点P关于边OA、OB的对称点P乃，顺次连接O、PP,试 判断△OP?的形状，并说明理由. A P B继续探究： 图2 (2)如图3：点M、N分别在∠AOB两边OA、OB上，MN=6,△OMN的面积为12，P是直线上的动点， 点P关于OA对称的点为R,点P关于OB对称的点为B,点P在直线NM上运动时，则△OP的面积最 小值为 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 拓展提升： B 图3 (3)如图4，把∠A0B由45°旋转成90°，连接AB,得到直角△A0B,若边OA=9,OB=12,AB=15,且 P、E、F分别是边OA、OB、AB上的动点.小明研究发现：对于点P在线段AB上的每一个不同的位置， PE+EF+PF存在一个与之相应的最小值x,当点P从A运动到点B时，请直接写出x的变化范围 图4 题型03一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短) 啸方法 己知在∠AOB的内侧有一定点M,在射线OA,OB上有两动点P,Q,在射线OA,OB上各确定一点P,Q, 使得MP+PQ最短 M' P M 0 O' 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如上图所示，作点M关于射线OA的对称点M',则PM'=PM,根据点到之间距离垂线段最短，过 M'作M'Q'⊥OB,垂线段交射线OA于点P',在射线OB上的垂足为Q'。此时MP+PQ最短， MP+PO=M'P'+P'O'=M'O' 1.(23-24九年级上海南省直辖县级单位期中)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,ABC的面积为12， BD平分∠ABC,若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为() M A.4 B.5 C.4.5 D.6 2.(24-25七年级下·四川达州期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6,ABC的面积为18，BD平分 ∠ABC,若E,F分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值为() D E F A.6 B.7 C.8 D.9 3.(25-26八年级上·广西崇左期末)如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点M,N分别是 线段BD、BC上的动点，AB>BD且SAABC=I0,AB=5,则CM+MN的最小值为· B 4.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD是 ∠BAC的平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为· 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P B 5.(25-26八年级上·贵州黔东南期中)如图，ABC的面积为12，AB=5,AD平分∠BAC,若E,F分 别是AC,AD上的动点，则EF+FC的最小值是 B C E 6.(25-26八年级上黑龙江大兴安岭期末)如图，已知在直角三角形ABC中，BC=3,AC=4,AB=5.动 点D在AC边上运动，过D点作DE⊥AB,垂足为点E.则在点D的运动过程中，DB+DE的最小值 为 微专题01 将军饮马问题 题型01 两定一动：两个定点、一个动点 已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：_ ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 4．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 5．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出； (2)若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， ∴最小值为； （3）解：． 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)作出关于x轴对称的 (2)若点P在x轴上，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，勾股定理； （）根据轴对称的性质作图即可； （）连接，与轴的交点即为所求的点，则的最小值即为的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接， ∴， 故最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 题型02 一定两动：一个定点、两个动点 已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 1．（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，点P位于内部，点M和N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：分别作点P关于、的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接，、，、 点P关于的对称点为C， ，， 点P关于的对称点为D， ，，， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为． 故选：C ． 2．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，垂线段最短，两点之间，线段最短，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，    ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ________． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（）利用轴对称性质，证得的两边相等且夹角为，判定其为等腰直角三角形； （）结合等腰直角三角形面积公式与垂线段最短，通过的面积求出到的距离，进而算出的最小面积； （）通过作点关于、的对称点、，利用轴对称性质将转化为(两点之间线段最短)，结合推出；再求出在上运动时OP的最值(最小值为斜边上的高，最大值为)，从而得到的范围为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 由轴对称的性质得：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由（）知，是等腰直角三角形， ∴面积， 根据垂线段最短，的最小值是点到直线的距离， ∵，，， ∴，即， ∴面积最小值为； （3）解：作点关于、的对称点、，则，， ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 题型03 一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短） 已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短，角平分线的性质． 作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 5．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，已知在直角三角形中，．动点D在边上运动，过D点作，垂足为点E．则在点D的运动过程中，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，三角形的面积，作点B关于的对称点F，作，交于点H，连接，再确定的最小值为，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点F，过点F作，交于点H，连接， ∴． 当点D与点H重合时，． ∵， ∴的最小值为． ∵， ∴． ∵， 解得． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $