微专题04 尺规作图（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题04 尺规作图 题型01 作平行线 作平行线 （1） 原理：利用同位角相等或内错角相等的性质构造平行线 （2） 步骤： a. 以已知点为顶点作一个角等于已知角（同位角/内错角） b. 延长角的另一侧边即为所求平行线 （3） 示例：过直线外一点A作已知直线的平行线。 在直线上任取一点B，连接；以点B为圆心，任意半径画弧，分别交于直线于点；以点B为圆心，同等半径画弧，交于直线于点F；以点F为圆心，半径画弧，交前一步骤所画圆弧于点E；连接；直线就是所求直线. 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）数学课上，王老师布置如下任务： 如图，直线外一点A，过点A作直线的平行线． 小路的作法如下： ①在上任取一点B，作射线； ②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交和于C，D两点（点D位于的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点E（点E位于点A上方）； ③以E为圆心，的长为半径画弧，交弧于点F（点F位于左侧）； ④作直线． 结论：直线即为所求作平行线． (1)请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）； (2)并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵________， ∴．________________________． 【答案】(1)见解析 (2)；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了基本作图和全等三角形的判定和性质，平行线的判定定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据作图过程，易证得，从而得到同位角相等，两直线平行； （2）根据（1）即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 证明：如图，根据作图过程，知：， 连接和， 在和中，， ∴， ∴， ∴(同位角相等，两直线平行)． （2）∵， ∴(同位角相等，两直线平行)． 故答案为：；同位角相等，两直线平行 2．（24-25七年级下·北京西城·期中）作图题．（要求：用直尺铅笔作图）如图，已知 (1)作点到的垂线段，垂足为； (2)过点作，垂足为； (3)过作的平行线； (4)比较与大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短． 【分析】本题主要考查了作三角形三边上的高、过直线外一点作已知直线的平行线、垂线段最短． 借助直尺上的直角，过点作； 借助直尺上的直角，过点作； 用两个直尺，利用平行移动的方法作； 根据垂线段最短，可知． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为所求； （2）解：线段即为所求； （3）解：如下图所示， （4）解：， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，请用直尺和三角尺完成下列作图． (1)过点A作的垂线； (2)过点B作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-应用与设计作图，平行线、垂线的作图，熟练掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据画垂线的方法，找到相应的点即可画出图形； （2）根据画平行线的方法可得． 【详解】（1） 过点A作的垂线： 步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点A． 步骤2：画出垂线．沿三角板的直角边从点A画出一条直线，这条直线即为过点A的的垂线． （2）见（1）图 过点B作的平行线： 步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点B． 步骤2：移动三角板，使其保持与平行的状态．使用直尺辅助，将三角板沿着直线的方向移动，直至三角板的某一边通过点B． 步骤3：画出平行线．沿三角板的直角边从点B画出一条直线，这条直线即为过点B的的平行线． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）（1）知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点P画已知直线b的平行线a．下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线a；④用三角尺的一边贴住直线b；正确的操作顺序是：_________________________(填序号)； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a，使a经过点P且．(保留作图痕迹，不写画法)    【答案】（1）④②①③；（2）见解析 【分析】（1）根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； （2）根据同位角相等，两直线平行，作图即可． 【详解】解：（1）正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线b； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线a； 故答案为：④②①③； （2）如图，直线a即为所求；    【点睛】本题考查作图复杂作图、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 5．（24-25七年级下·四川南充·月考）请按下列步骤画图：（三角板、直尺作图，不写画法、保留作图痕迹）如图，已知平面上的三个点． (1)连接； (2)画射线； (3)画直线； (4)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了画线段、射线、直线、平行线． （1）用三角板画图，连接即可； （2）用三角板画图，以点为端点，作射线即可； （3）用三角板画图，过点和点，作直线即可； （4）用直尺和三角板画图，过点C作的平行线即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，直线即为所求； （4）解：如图所示，直线即为所求． 6．（23-24七年级下·江苏南京·期中）【初步研究】 如图①，，，．求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质，可求的度数． （1）在图①中作出（要求：用直尺和圆规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）求的度数． 【继续探索】 （3）如图②，，，不平行，，分别交，于，，，，点在直线上运动（点与，两点不重合）．若，，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质，尺规作图，解题的关键是正确作出辅助线，分类讨论． （1）作的垂线，再过点作的垂线，即可求解； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）分为三种情况讨论：当点在线段上方时，当点在线段上时，当点在线段下方时，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）由（1）得， ， ， ，， ，， ，， ； （3）当点在线段上方时，如下图，过点作， ， ， ，， ； 当点在线段上时，如下图，过点作， ， ， ，， ； 当点在线段下方时，如下图，过点作， ， ， ，， ； 综上所述，，，之间的数量关系为：或或． 题型02 根据已知条件作三角形 根据已知条件作三角形 （1） SSS：已知三边，直接作三条线段首尾相连 示例：已知线段，用尺规作，使. 作一条线段，；分别以点B，C为圆心，以c, b的长为半径作弧，两弧交于点A；连接，就是所要作的三角形。 （2） SAS：已知两边及夹角，先作角再截取边长 示例：已知线段，，用尺规作，使. 作一条线段，；以点B为顶点，以为一边，作；在射线上截取线段；连接；就是所要作的三角形。 （3） ASA：已知两角及夹边，先作边再作角 示例：已知，线段c，用尺规作，使. 作；在射线上截取线段；以B为顶点，以为一边，作，交于点C；就是所要作的三角形。 （4） 特殊三角形：如等腰三角形需利用对称性，直角三角形需结合垂直平分线。 1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，，_①_， _②_，（_③_） （_④_）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；全等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了作三角形，全等三角形的性质与判定等等， （1）根据题意作图即可； （2）利用证明得到，再由可知所作三角形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ， ∴．（全等三角形对应角相等） ， ， ∴就是所求作的三角形． 故答案为：；全等三角形对应角相等． 2．（24-25八年级上·河北承德·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形，全等三角形的判定定理；根据题意作，，则即为所求． 【详解】解析：如图所示，即为所求． 根据作图可得，， ∴是和原三角形全等的三角形． 依据的是 3．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】作图见解析 【分析】分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，由“”易证，可知四边形为轴对称四边形，故即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，先作已知角，再作已知边，即可求得结果，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】解：如图：①作， ②在上截取，在上截取，连接， ， 则即为所求． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于，这两角的夹边等于线段． 【答案】见解析 【分析】作，，，两个角的另一边在直线的同旁交于点．本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， 作法：．作线段 ．以、为顶点，在线段的同侧作，，交于点， 则为所求作的三角形． 题型03 作已知角的角平分线 作已知角的角平分线 （1） 步骤： a. 以角顶点为圆心画弧交两边于两点 b. 分别以这两点为圆心画等半径弧交于一点 c. 连接顶点与交点即为角平分线 （2） 关键：半径需大于边长的一半以确保弧相交 （3） 示例：作的角平分线 a. 如图，已知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画弧，交的两边分别为点）； b. 分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C； c. 作射线； 射线就是的平分线 1．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）完成下面题目： (1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图方法作图即可； （2）根据条件证明，可得到的形状． 【详解】（1）如图，射线即为所求， （2）是等腰三角形， 理由如下：是的平分线， ， 是边上的高， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）作的平分线． (1)只用无刻度直尺和圆规画的平分线；（保留作图痕迹，不要求写明画法） (2)请证明画法的原理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意作的平分线； （2）根据作图得出，进而证明，根据全等三角形的性质可得，即是的角平分线． 【详解】（1）如图，射线即为所求． （2）证明：如图， 根据作图可得， 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）如图，是的平分线， (1)用直尺和圆规作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)结合图形，猜测与之间的数量关系，然后逐步填空． 解：与之间的数量关系是：___________． 因为是的平分线， 所以___________， 同理，___________， 于是_____________________________________________________________________________． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查作图尺规作图及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及角平分线的定义和性质． （1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）由平分知、由平分知，根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）与之间的数量关系是：， 因为是的平分线， 所以， 同理，， 于是； 4．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义得到，由线段垂直平分线的性质得到，据此可利用证明． 【详解】（1）解；如图所示，射线，直线即为所求． （2）解：，证明如下： ∵为的平分线， ∴， ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴． 5．（24-25八年级上·山西长治·期末）小明自主探究时发现：三角形的一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形．他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路，完成以下作图与证明． (1)用直尺和圆规，作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹） (2)已知在中，是的平分线，．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键， （1）根据角平分线的基本作图方法作出图形即可； （2）根据证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，作的平分线，交于点．在射线上，截取线段，使． (1)请用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质． （1）根据角平分线的作法和线段的作法即可补全图形； （2）连接，由角平分线的定义得，再根据证，即可证出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：如图，连接， 为 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ． 题型04 作三角形的高与线段的垂直平分线 作三角形的高与线段的垂直平分线 （1） 作高： a. 以底边两端点为圆心画弧交于两点 b. 连接交点与顶点即为高线 c. 示例：如图，已知三角形，过点A作的高。 以点A为圆心，以大于在边上高的长为半径作弧，两弧相较于点D和E。以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点F和G，作直线，交线段于点O，则延长必定过点A。线段则为在边上高。 （2） 垂直平分线： a. 分别以线段两端点为圆心画等半径弧交于两点 b. 过交点作直线即为垂直平分线 c. 示例：如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点C和D，作直线。直线（即直线l）就是线段的垂直平分线，若点E为直线l上任意一点，则且. 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）（）如图，利用直尺与圆规作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）    （）如图，为钝角三角形，利用直尺与圆规作边上的高．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】（）作图见解析；（）作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作已知角的角平分线、作钝角三角形边上的高， ()以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，连接，即为所求； （）延长至，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，直线与交于点，则为边上的高；解题的关键是掌握尺规作图的方法步骤． 【详解】（）如图所示，即为所求．    （）如图所示，为边上的高．    2．（25-26八年级上·全国·单元测试）按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，已知，用直尺和圆规作出的平分线． (2)如图②，，仅用无刻度的直尺作出中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的尺规作图方法，通过构造全等三角形确定角平分线上的点，从而作出角平分线． （2）角平分线的尺规作图依据:到角两边距离相等的点在角的平分线上，通过构造全等三角形,确保点在 ∠BAC的平分线上． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求． （2）解：如图②，线段即为所求． 【点睛】本题考查了角平分线的作法及利用角平分线的判定在作图中的应用，观察并利用图形的隐含几何性质进行作图是解题的关键． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，已知． (1)过的顶点A画出它的高； (2)利用直尺和圆规作，，．（点D与点C在的不同侧） 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查三角形的高线及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的高线及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据三角形的高线定义可进行作图； （2）先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧交于一点D，则根据“”可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：所作高如图所示： （2）解：所作如图所示： 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，用直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作的垂直平分线，与交于点E，与交于点D； (2)作的角平分线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图－复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据要求作出图形； （2）根据要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，请用没有刻度的直尺和圆规分别作出的角平分线和边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，作角平分线；掌握其作法是解题关键. 【详解】解：如图：线段为的角平分线，直线为边的垂直平分线. 6．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 题型05 综合作图求交点 综合作图求交点 常见类型：如三角形重心（三边中线交点）、垂心（三高交点）等，需结合基本作图法分步完成 1．（24-25七年级下·北京·期末）在△ABC中，用圆规和直尺在图中作出的平分线，且点 在边 上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作角平分线，正确的作出角平分线是解题的关键．直接利用角平分线的作法作的平分线，且点 在边 上，即可求解． 【详解】如图所示：即为所求 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，用不带刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）在边上求作点，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，根据作垂直平分线的方法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，所以点即为所求． 3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作一条线段等于已知线段是解题关键，在延长线上截取，在延长线上截取，连接即可得出． 【详解】解：如下图，即为所求作． 4．（24-25七年级下·山东青岛·阶段检测）尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线， 对于（1），先作射线，截取，再作，然后截取，连接，则即为所求作的三角形； 对于（2），作线段的垂直平分线，再作的平分线，可知，点P到的两边的距离相等，则点P就是所求作的点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，点P就是所求作的点． 5．（25-26八年级上·吉林松原·月考）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点P就是所求点． 【详解】解：如图所示：P点即为所求． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04尺规作图 题型01作平行线 题型02根据已知条件作三角形 尺规作图 题型03作已知角的角平分线 题型04作三角形的高与线段的垂直平分线 题型05综合作图求交点 德点量戒 题型01作平行线 妹方法 作平行线 (1)原理：利用同位角相等或内错角相等的性质构造平行线 (2)步骤： 以已知点为顶点作一个角等于已知角（同位角/内错角） 延长角的另一侧边即为所求平行线 (3)示例：过直线外一点A作已知直线的平行线2。 在直线'上任取一点B,连接AB;以点B为圆心，任意半径画弧，分别交于直线AB,4于点D,C: 以点B为圆心，同等半径画弧，交于直线AB,4于点：以点F为圆心，DC半径画弧，交前一步骤所画 圆弧于点E;连接A,E；直线AE就是所求直线上 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1. (2425七年级下辽宁沈阳月考)数学课上，王老师布置如下任务： 如图，直线MN外一点A,过点A作直线MN的平行线. .A M N 小路的作法如下： ①在MN上任取一点B,作射线： ②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA和MN于C,D两点（点D位于BA的左侧），再以A为 圆心，相同的长度为半径画弧EH,交BA于点E(点E位于点A上方)； ③以E为圆心，CD的长为半径画弧，交弧EH于点F(点F位于BA左侧)； ④作直线AF. 结论：直线AF即为所求作平行线 ()请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）： (2)并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： .∠CBD= .AF∥MN 2.(2425七年级下·北京西城：期中)作图题.（要求：用直尺铅笔作图）如图，已知△ABC (I)作点A到BC的垂线段AD,垂足为D: (②)过B点作BE⊥AC,垂足为E; (3)过C作AB的平行线MN: 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (④)比较AB与AD大小，并说明理由 3.(2025七年级下·全国专题练习)如图，请用直尺和三角尺完成下列作图 A 1过点4作BC的垂线 ②过点B作4C的平行线. 4.(22-23七年级下江苏淮安期末)(1)知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线 外一点P画已知直线b的平行线4.下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P;② 用直尺紧靠三角尺的另一边：③沿三角尺的边作出直线α：④用三角尺的一边贴住直线b;正确的操作 顺序是： (填序号)： (2)类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a,使a经过点P且a∥b.(保留作图痕迹，不 写画法) 图1 图2 5.(24-25七年级下·四川南充月考)请按下列步骤画图：（三角板、直尺作图，不写画法、保留作图痕 迹)如图，己知平面上的三个点A、B、C. C 。B 五 (1)连接AB: (2)画射线AC, 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)画直线BC: (4)过点C作AB的平行线. 6.(23-24七年级下江苏南京·期中)【初步研究】 如图①，AB∥CD,∠PAB=120°，∠PCD=130°.求∠APC度数 小明的思路是：过P作PE∥AB,通过平行线性质，可求∠APC的度数. B D 图① (1)在图①中作出PE(要求：用直尺和圆规作图，保留痕迹，不写作法)； (2)求∠APC的度数， 【继续探索】 1∥12114 (3)如图②， ,,不平行，，分别交，于4,8，C,D,点P在直线上运动点 丙点不重合).若ABP=&∠PDC= P与A,C ，直接写础出<BPD a B 之间的数量关系. D 图② 备用图 题型02根据已知条件作三角形 方法 根据已知条件作三角形 (1)SSS:己知三边，直接作三条线段首尾相连 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 示例：已知线段a,b,c,用尺规作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a C ● 作一条线段，BC=a;分别以点B,C为圆心，以c,b的长为半径作弧，两弧交于点A:连接 AB,AC,△ABC就是所要作的三角形。 (2)SAS:已知两边及夹角，先作角再截取边长 示例：已知线段a,c,∠a,用尺规作△ABC,使AB=c,BC=a,∠ABC=∠a a 作一条线段，BC=a;以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠a;在射线BD上截取线段 BA=C;连接AC;△ABC就是所要作的三角形。 (3)ASA:已知两角及夹边，先作边再作角 示例：已知∠a,∠P,线段c,用尺规作△ABC,使∠A=∠Q,∠B=∠B,AB=c. 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作∠DAF=∠Q;在射线AF上截取线段AB=C;以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠B,BE 交AD于点C:△ABC就是所要作的三角形。 (4)特殊三角形：如等腰三角形需利用对称性，直角三角形需结合垂直平分线。 1.(25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔月考)下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图 过程。 己知：线段a,b及∠MON, M 求作：△ABC,使得AB=a,AC=b,∠A=∠MON. 作法：如图， P M B ①以O为圆心，a长为半径作弧，交OM于点P: ②以O为圆心，b长为半径作弧，交ON于点Q: ③作射线AF; ④以A为圆心，OP长为半径作弧，交AF于点B: 6/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑤分别以A,B为圆心，O0,P巴长为半径作弧，两弧交于直线AF上方的点C: ⑥连接AC、BC」 △ABC就是所求作的三角形， 根据小明设计的尺规作图过程， ()使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： (2)完成下面的证明： 证明：AB=OP,AC=O0,BC=_①_， ∴.△ABC≌_②_，(_③) .∠A=∠MON(_④_)（填推理的依据） .OP=a,00=b,.AB=a,AC=b. ∴△ABC就是所求作的三角形 2.(2425八年级上河北承德期中)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形.并说出作图依据. 3.(25-26七年级下·上海黄浦期中)如图，已知锐角△ABC,用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作 一个与△ABC全等的三角形，并使它与△ABC拼成一个轴对称四边形.（保留作图痕迹，写出结论） B 4.(25-26七年级上·陕西西安期末)如图，∠AOB=Q°，MN=m.利用圆规与无刻度直尺作三角形 DEF,使得∠DEF=a°，且满足DE=2EF=2m.(不写过程和证明，保留作图痕迹) B M 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(23-24八年级上广东广州期中)作三角形：已知：线段a、c和∠孕（如图），利用直尺和圆规作 △ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=2∠P.(不写作法，保留作图痕迹). B a 6.(25-26八年级上全国随堂练习)如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于 ∠a,∠B,这两角的夹边等于线段a. a 题型03作已知角的角平分线 煤方法 作已知角的角平分线 (1)步骤： 以角项点为圆心画弧交两边于两点 分别以这两点为圆心画等半径弧交于一点 连接顶点与交点即为角平分线 (2)关键：半径需大于边长的一半以确保弧相交 (3)示例：作∠AOB的角平分线 如图，已知∠AOB,在OA和OB上分别截取OM,ON,使得OM=ON(即以点O为圆心，以任意半径 画弧，交∠A0B的两边OA,OB分别为点M,N): 分别以点M和点N为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C: 作射线OC; 射线OC就是∠AOB的平分线 8/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (25-26八年级上甘肃甘南期末)完成下面题目： B (I)请用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (2)已知在△ABC中，∠BAC的平分线AD也是BC边上的高，请判断△ABC是不是等腰三角形，并说明 理由。 2.(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特月考)作∠AOB的平分线. B (I)只用无刻度直尺和圆规画∠AOB的平分线；（保留作图痕迹，不要求写明画法） (2)请证明画法的原理。 3.(2024六年级下·上海专题练习)如图，O0是∠B0C的平分线， B (I)用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP.(不写作法，保留作图痕迹) (2)结合图形，猜测∠PO0与∠AOC之间的数量关系，然后逐步填空. 解：∠PO0与∠AOC之间的数量关系是： 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为OP是∠AOB的平分线， 1 所以∠POB=2 1 同理，∠B00=2 于是∠P0Q= 2 4.(2025·河南信阳模拟预测)如图，已知△ABC, B (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D,作线段BD的垂直平分线EF,分 别交AB于点E,交BC于点F,垂足为O(保留作图痕迹，不写作法)， (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明. 5.(2425八年级上·山西长治期末)小明自主探究时发现：三角形的一个角的平分线与其对边的高重合 时，这个三角形是等腰三角形.他通过证明三角形全等得到结论.请根据他的思路，完成以下作图与 证明 B (I)用直尺和圆规，作∠BAC的平分线，交BC于点D.(保留作图痕迹) (②)已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD 1 BC.求证：△ABC是等腰三角形. 6.(24-25八年级上·河南商丘期末)如图，在△ABC中，作∠ACB的平分线CM,交AB于点M.在射 线CB上，截取线段CD,使CD=AC. 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (I)请用直尺和圆规补全图形.（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接MD,求证：AM=DM. 题型04作三角形的高与线段的垂直平分线 啸方法 作三角形的高与线段的垂直平分线 (1)作高： 以底边两端点为圆心画弧交于两点 连接交点与顶点即为高线 示例：如图，已知三角形△ABC,过点A作△ABC的高。 以点A为圆心，以大于△ABC在BC边上高的长为半径作弧，两弧相较于点D和E。以点D和点E DE 为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧相较于点F和G,作直线FG,交线段BC于点O,则延长 FG必定过点A。线段AO则为△ABC在BC边上高。 (2)垂直平分线： 分别以线段两端点为圆心画等半径弧交于两点 过交点作直线即为垂直平分线 1 AB 示例：如图，已知线段AB,分别以点A和点B为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧相较于点C 11/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和D,作直线CD。直线CD(即直线)就是线段AB的垂直平分线，若点E为直线I上任意一点，则 EA=EB且EO⊥AB 1.(23-24八年级上·福建厦门期中)(1)如图，利用直尺与圆规作∠AOB的平分线.（不写作法，保 留作图痕迹) (2)如图，△ABC为钝角三角形，利用直尺与圆规作BC边上的高.（不写作法，保留作图痕迹） B 2.(25-26八年级上全国单元测试)按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）· 图① 图② (I)如图①，已知△ABC,用直尺和圆规作出∠A的平分线AD, (②)如图②，∠D=∠BEC=90°，仅用无刻度的直尺作出△ABC中BC边上的高. 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上贵州遵义：月考)如图，已知△ABC, B (I)过△ABC的顶点A画出它的高AH; (2)利用直尺和圆规作△ABD,∠BAD=∠BAC,AD=AC,(点D与点C在AB的不同侧) 4.(25-26八年级上广东广州期中)如图，△ABC中，用直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕 迹). (I)作AB的垂直平分线ED,与AB交于点E,与BC交于点D: (2)作∠B的角平分线交ED于点F. 5.(25-26八年级上·浙江阶段检测)如图，请用没有刻度的直尺和圆规分别作出△ABC的角平分线AD 和边AB的垂直平分线MN.(保留作图痕迹，不要求写出作法) 6.(25-26七年级下·江苏无锡阶段检测)尺规作图： B (I)作边AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD; (2)作边AC的垂直平分线交BC于点E,连接AE(要求：保留作图痕迹，不写作法) 题型05综合作图求交点 13116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ©嫦方法 综合作图求交点 常见类型：如三角形重心（三边中线交点）、垂心（三高交点）等，需结合基本作图法分步完成 1.(24-25七年级下·北京·期末)在△ABC中，用圆规和直尺在图中作出∠BAC的平分线AD,且点D在 边BC上.（保留作图痕迹，不写作法） A B 2.(25-26八年级上内蒙古通辽期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，用不带刻度的直尺和圆规按下 列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）在AC边上求作点Q,使得QB=QC. 3.(2025陕西咸阳·二模)如图，在△ABC中，点D是线段BC延长线上的点，点E是线段AC延长线上 的点.请利用无刻度直尺和圆规作△DEC,使△ABC≌△DEC(不写作法，保留作图痕迹) B 4.(2425七年级下·山东青岛阶段检测)尺规作图 ()作图题：已知：线段a、c和∠（如图），利用直尺和圆规作△ABC,使 BC=,AB=C,∠ABC=∠B.(不写作法，保留作图痕迹)· 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a C IB (2)已知：如图，四边形ABCD 求作：点P,使点P在四边形ABCD内部，PA=PB,并且点P到∠BCD两边的距离相等， D B 5.(25-26八年级上吉林松原月考)用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在∠AOB的内 部有两村庄C、D,现要修建一加油站卫，使点P到OA、OB的距离相等，且使PC=PD,用尺规作图， 作出加油站P的位置（不写作法）， P B 6.(2425七年级下·江苏扬州期末)数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象 可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，点P在 长方形纸片ABCD边AD上 B (图1) (图2) (图3) (图4) (I)将长方形纸片ABCD沿着过点P的一条直线折叠，使AP落在PD上.请你利用无刻度的直尺和圆规， 在图1中画出折痕PM,其中，点M在边BC上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边CD上，连接PO,将长方形纸片ABCD沿着一条直线折叠，使点P与点Q重合.请你利 用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕EF,其中点E,F分别在边AD,BC上（不写作法，保 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 留作图痕迹)： (3)折叠长方形纸片ABCD,使得AB,CD分别落在边BC,AD上，请你利用无刻度的直尺和圆规， 在图3中作出折痕BG,DH,其中点G,H分别在边AD,BC上（不写作法，保留作图痕迹）·判 断BG,DH的位置关系，并说明理由： (4)折叠长方形纸片ABCD,使得BC落在直线PQ上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕 MN(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别在边AB,CD上. 16116