专题11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 教学目标 1．深入理解祖暅原理的文字表述与几何意义，能解释 “幂势既同，则积不容异” 的内涵，并用于判断几何体体积是否相等。 2．掌握柱体、锥体、台体体积公式的推导思路，明确公式中底面积、高、上下底面面积的含义与对应关系。 3．熟练记忆柱、锥、台、球的体积公式，能根据题目条件正确选取公式，代入数值进行规范计算。 4．能够将祖暅原理与体积公式结合，解决等体积转化、不规则几何体估算及简单组合体体积求解问题。 教学重难点 重点：祖暅原理的理解与实际应用；柱、锥、台、球四类几何体体积公式的记忆、辨析与计算。 难点：祖暅原理在等体积转化中的灵活运用；台体体积公式结构理解；组合体体积的拆分与计算。 知识点01 祖暅原理 1．祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2．祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个 截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 【即学即练】 1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“幂势既同，则积不容异”的含义可知，在等高处的截面积恒相等，则体积相等， 则可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故， 反之，如同一圆锥正放与倒放，它们在等高处的截面积不恒相等，但体积相等， 所以“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．（多选）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“需势既同，则积不容异.”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：A是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，B、C、D分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设截面与底面的距离为h， 则A中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为； B中截面圆的半径为，则截面圆的面积为； C中截面圆的半径为，则截面圆的面积为； D中截面圆的半径为，则截面圆的面积为， 所以A，D中截面的面积相等. 故选：AD. 知识点02 柱、锥、台、球的体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 【即学即练】 3．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，则高， 因此体积，故B正确． 4．已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可设圆锥和圆台的高为，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径为， 则圆台的下底面半径为. . . 所以. 题型01 柱体的体积 【例1】若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的体积为______. 【答案】 【详解】长方体的体积. 【例2】将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 【变式1-1】在正三棱柱中，，，以该三棱柱上、下底面的内切圆为上、下底面挖去一个圆柱，则剩余几何体的体积为__________. 【答案】 【详解】正三棱柱的下底面面积为，则正三棱柱的体积为， 因为底面的内切圆半径为，所以内切圆的面积， 所以被挖去的圆柱的体积为， 所以剩余几何体的体积为. 【变式1-2】如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【答案】 【详解】如图所示，连接. 因为，所以梯形和梯形的面积相等， 所以四棱锥和四棱锥的体积相等； 因为，所以点到平面和平面的距离相等， 因为和的面积相等， 所以三棱锥和三棱锥的体积相等. 所以， 因为， 所以几何体的体积等于. 【变式1-3】小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的. (1)小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ (2)小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积， 因此所求面积为 ， 所以需要平方米的玻璃. （2）由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积， ， 所以需要立方米的水. 题型02 锥体的体积 【例3】已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意，解得， 所以这个圆锥的底面直径是. 【例4】在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 【答案】/ 【详解】如下图示，由分别为侧棱的中点，则，， 且，所以，， 由，即， 所以，， 又， 所以. 【变式2-1】若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______． 【答案】 【详解】因为底面边长是3，底面为正三角形，故底面面积为： ； 则该正三棱锥的体积为． 【变式2-2】已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得， 所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 【变式2-3】如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 因为在图1中，点B、C三等分半圆，所以在图2中，点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点， 则为等边三角形，所以，所以. 又因为点M、N分别是OB、OC的中点，所以 （2）因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为 题型03 台体的体积 【例5】已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 作平面分别交平面、平面于、， 作平面交于，则、分别为、的中心. 因为，所以，， 所以， 设该正三棱台的高为， 因为，所以， 故，故选C. 【例6】（多选）如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（    ）    A．圆台的高为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积是 D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 【答案】ABD 【详解】对于A，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，    根据题意，在中，，，则，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，因为圆台上底面半径，下底面半径，高， 所以圆台的体积，故C错误； 对于D，圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为，小扇形母线长为， 根据弧长公式，，解得，其展开后的示意图如图所示，    在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径为， 由题意可得， 因为为中点，所以，所以，故D正确． 【变式3-1】如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 【答案】C 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为， 由题知，可得，， 所以棱台的体积. 【变式3-2】若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】设该圆台的高为，母线为， 由圆台的体积公式，得， 所以. 【变式3-3】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积，所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 题型04 球的体积 【例7】若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（   ） A．2r B． C．4r D． 【答案】C 【详解】设圆锥的高为，则，解得. 【例8】已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 【变式4-1】将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 【变式4-2】如图所示的几何体是从棱长为的正方体中，截去以正方体的一个顶点为球心，半径为的球面所围成的几何体后得到的剩余部分，则该几何体的体积为______．          【答案】 【详解】因为正方体的棱长为，则正方体的体积为， 又截去部分是以正方体的一个顶点为球心，半径为的球面所围成的几何体， 由于从该顶点出发的三条棱两两垂直，这部分几何体的体积是整个球的体积的， 又半径为的球的体积为，所以剩余几何体的体积为. 【变式4-3】如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    【答案】 【详解】由半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体为一个半径为的半球， 所以几何体的体积为. 故答案为：.    题型05 组合体的体积 【例9】现有一件精美的瓷器，其形状可以近似看作是由两个圆台组合而成的几何体，如图．已知圆的面积为，圆，，的半径比为，圆台的高为5cm，圆台的高度是圆台高度的2倍，则该瓷器艺术品的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆的半径分别为，圆台的高分别为， 依题意知的面积为，故，则，， 又，则， 因此圆台的体积， 圆台的体积， 所以该瓷器艺术品的体积． 【例10】清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为_________. 【答案】 【详解】因为，所以，，设AC，BD相交于点O，则O到AB的距离为， 所以蒺藜形多面体体积为正方体体积减去，即. 故答案为：. 【变式5-1】如图，与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与直线在同一平面，垂直于，， 则绕旋转一周形成的面所围成的几何体是如图所示的一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱与圆锥的底面半径都等于，高都等于， 所以该几何体体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积： ， 故选：B. 【变式5-2】如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”的表面积为. （2）连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体的体积． 所以这种“笼具”的体积为. 【变式5-3】如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为__________. 【答案】 【详解】连接，设正方体的棱长为，则正方体的体积， 由，得∥，又∥，所以∥. 而的延长线交于，所以为三棱台， ，,所以. 故答案为：. 题型06 祖暅原理的应用 【例11】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【答案】A 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 【例12】我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为__________． 【答案】 【详解】扇形绕直线旋转一周，阴影部分旋转后所得几何体的体积为半个球的体积减去一个圆锥的体积． 因为球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为3． 所以图中阴影部分旋转后所得几何体的体积为． 根据祖暅原理知图中阴影部分旋转后所得几何体的体积与所求不规则几何体的体积相等， 所以该不规则几何体的体积为. 故答案为：. 【变式6-1】中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， 故 . 故选：B. 【变式6-2】有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    【答案】 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积， 所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.    如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ，， 根据祖暅原理， . 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且， . 故答案为： 【变式6-3】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图（1）有一段弯曲的水管，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域如图（2），则根据祖暅原理可得该段水管的体积为_____.    【答案】 【详解】平行于直线的任一直线与曲线的两个交点间的距离都为，构造一个底面直径为，高为8的圆柱，如图（3）    如图，用距离上底面为的平面分别去截水管、圆柱. 所得截面圆、圆的面积都为. 根据祖暅原理，水管和圆柱的体积相等. 因为圆柱的体积为，所以水管的体积为. 故答案为：. 题型07 几何体的外接球问题 【例13】已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 【答案】/ 【详解】如图： 作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形. 又. 所以，即为圆锥外接球半径. 所以圆锥外接球表面积为：. 故答案为： 【例14】已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该圆柱底面圆的半径为r，高为h，则，故． 设该圆柱外接球的半径为R， 则， 当时，R取得最小值，则． 圆柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立，则，． 故选：B． 【变式7-1】已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 【变式7-2】已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 【变式7-3】棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 【答案】 【详解】如图所示，由正八面体对称性可知底面为正方形，正方形的对角线交点. 底面正方形的边长为，其对角线，故中心到顶点的距离为. 在正四棱锥中，侧棱长. 由勾股定理得棱锥的高. 同理，在正四棱锥中，棱锥的高. 因此点到顶点的距离. 综上，点到所有顶点的距离均为，即外接球半径. 代入球的体积公式得. 题型08 几何体的内切球问题 【例15】正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥的体积占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为，即， 三棱锥的体积记为， 则. 【例16】已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 【答案】 【详解】设圆台内切球的半径为， 由已知，所以， 作圆台的轴截面可得 由已知，，， 所以， 因为圆为等腰梯形的内切圆，所以，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 因为，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 所以圆台的底面圆的半径为，面积为， 底面圆的半径为，面积为，又圆台的高为， 所以圆台的体积， 故答案为：. 【变式8-1】已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 【变式8-2】已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 【变式8-3】如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r， 弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h， 因为，，则，， 因为，所以， 设内切球与圆弧BC所在曲面相切于点N， 则，则，，， 所以， 所以．    故选：C 一、单选题 1．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 2．如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高． 则球的体积，圆柱的体积， ∴. 3．已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的母线长为，上底面的半径为，则下底面的半径为. 因为圆台的侧面积为，所以，得， 又，所以， 则上底面和下底面的面积分别为， 则该圆台的体积为. 4．体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该球半径为r，则，解得，则该球的表面积为． 5．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故其体积为. 6．太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以. 7．如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 8．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成.已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h，则此圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设整个圆锥容器的体积为，容器高为， 初始时细沙在上部是高为​的小圆锥， 根据相似几何体体积比等于对应高比的立方，得细沙体积： 细沙漏入下部后堆成圆台，设圆台高为， 下部圆锥顶点在上，因此圆台上方空的部分是一个小圆锥，空圆锥的高为， 同理空圆锥体积满足： ， 又圆台体积=细沙体积=整个圆锥体积减空圆锥体积，即， 代入 ，约去整理得： ， ​ 开立方整理得： 故此圆台的高为： 二、多选题 9．（多选）已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（   ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为2 【答案】ABD 【详解】设圆锥的底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长为，且，解得，故A正确； 圆锥的表面积为，故B正确； 因圆锥的高为，则其体积为，故C错误； 如图作出圆锥和外接球，内切球的轴截面，易知为正三角形，外接球和内切球的球心为同一点， 点为圆锥底面圆的圆心，则分别为外接球和内切球的半径，由正三角形的性质易得，故D正确. 故选：ABD. 10．如图，四边形是直角梯形，，，且，.以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.则（   ） A．该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的 B．该几何体的体积是 C．该几何体的侧面积是 D．若，分别是边，的中点，从该几何体中将四边形旋转而成的几何体挖去，则减少的体积为 【答案】ACD 【详解】对A：旋转而成的几何体为一个圆柱上叠一个圆锥，故A正确； 对B：，故B错误； 对C： ，故C正确； 对D：四边形绕旋转一周形成的图形为圆台， 该圆台体积 ， 即减少的体积为，故D正确. 三、填空题 11．若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2：1，则它们对应的高之比为______． 【答案】 【详解】设两个底面圆的半径分别为和，高分别为和， 由条件不妨设，， 所以. 12．如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点.若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为__________，体积为__________.    【答案】 【详解】若四面体各棱长均为，则长方体为棱长为1的正方体，且四面体为正四面体， 所以， . 13．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 【答案】 【详解】正方体体积， 石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积，每个被截去的正三棱锥三条侧棱长为， 则一个正三棱锥体积为， 所以石凳的体积为. 四、解答题 14．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. （3）设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 15．如图，已知三棱锥的相对的两条棱都相等，的棱长分别为，，，求三棱锥的体积． 【答案】 【详解】如图，因三棱锥的相对的两条棱都相等，故其可以补形为长方体， 设补成的长方体长、宽、高度分别为， 由题意，可得，解得， 则长方体的体积为，， 所以， 即三棱锥的体积为． 16．如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 教学目标 1．深入理解祖暅原理的文字表述与几何意义，能解释 “幂势既同，则积不容异” 的内涵，并用于判断几何体体积是否相等。 2．掌握柱体、锥体、台体体积公式的推导思路，明确公式中底面积、高、上下底面面积的含义与对应关系。 3．熟练记忆柱、锥、台、球的体积公式，能根据题目条件正确选取公式，代入数值进行规范计算。 4．能够将祖暅原理与体积公式结合，解决等体积转化、不规则几何体估算及简单组合体体积求解问题。 教学重难点 重点：祖暅原理的理解与实际应用；柱、锥、台、球四类几何体体积公式的记忆、辨析与计算。 难点：祖暅原理在等体积转化中的灵活运用；台体体积公式结构理解；组合体体积的拆分与计算。 知识点01 祖暅原理 1．祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2．祖暅原理的含义：加在两个________平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个 ________的面积总相等，那么这两个几何体的________一定相等。 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 【即学即练】 1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“需势既同，则积不容异.”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：A是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，B、C、D分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的几何体为（    ） A． B． C． D． 知识点02 柱、锥、台、球的体积 几何体 体积 柱 ________(S为底面面积，h为高) 锥 ________(S为底面面积，h为高)， 台 ________ (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 ________ (为球的半径) 【即学即练】 3．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 题型01 柱体的体积 【例1】若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的体积为______. 【例2】将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在正三棱柱中，，，以该三棱柱上、下底面的内切圆为上、下底面挖去一个圆柱，则剩余几何体的体积为__________. 【变式1-2】如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【变式1-3】小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的. (1)小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ (2)小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 题型02 锥体的体积 【例3】已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 【例4】在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 【变式2-1】若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______． 【变式2-2】已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【变式2-3】如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积． 题型03 台体的体积 【例5】已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【例6】（多选）如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（    ）    A．圆台的高为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积是 D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 【变式3-1】如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 【变式3-2】若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-3】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 题型04 球的体积 【例7】若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（   ） A．2r B． C．4r D． 【例8】已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示的几何体是从棱长为的正方体中，截去以正方体的一个顶点为球心，半径为的球面所围成的几何体后得到的剩余部分，则该几何体的体积为______．          【变式4-3】如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    题型05 组合体的体积 【例9】现有一件精美的瓷器，其形状可以近似看作是由两个圆台组合而成的几何体，如图．已知圆的面积为，圆，，的半径比为，圆台的高为5cm，圆台的高度是圆台高度的2倍，则该瓷器艺术品的体积为（    ） A． B． C． D． 【例10】清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为_________. 【变式5-1】如图，与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 【变式5-3】如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为__________. 题型06 祖暅原理的应用 【例11】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【例12】我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为__________． 【变式6-1】中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    【变式6-3】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图（1）有一段弯曲的水管，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域如图（2），则根据祖暅原理可得该段水管的体积为_____.    题型07 几何体的外接球问题 【例13】已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 【例14】已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式7-3】棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 题型08 几何体的内切球问题 【例15】正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D． 【例16】已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 【变式8-1】已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【变式8-2】已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【变式8-3】如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 2．如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 6．太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 7．如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 8．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成.已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h，则此圆台的高为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（   ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为2 10．如图，四边形是直角梯形，，，且，.以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.则（   ） A．该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的 B．该几何体的体积是 C．该几何体的侧面积是 D．若，分别是边，的中点，从该几何体中将四边形旋转而成的几何体挖去，则减少的体积为 三、填空题 11．若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2：1，则它们对应的高之比为______． 12．如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点.若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为__________，体积为__________.    13．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 四、解答题 14．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 15．如图，已知三棱锥的相对的两条棱都相等，的棱长分别为，，，求三棱锥的体积． 16．如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $