11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 知识层面 1．理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题．　2．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题． 素养层面 通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养数学运算核心素养；借助组合体的体积，提升直观想象核心素养． 祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，祖冲之与他的儿子祖暅在总结前人成果的基础上，提出了祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实． 问题1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，你能求出它的体积吗？若长方体变为正方体呢？ 提示：V长方体＝abc，V正方体＝a3(正方体的棱长为a). 问题2．类比长方体的体积公式，若直棱柱的底面积为S，高为h，你能求出此棱柱的体积吗？ 提示：V直棱柱＝Sh. 学生用书第61页 知识点一　祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异． [微提醒]　祖暅原理的三个条件 (1)两个几何体夹在两个平行平面之间； (2)几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截； (3)截得的两个截面面积总相等． 知识点二　柱体的体积 棱柱与圆柱统称为柱体． 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等． 如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh． 特别地，底面半径为r，高为h的圆柱体的体积计算公式为V圆柱＝πr2h． 知识点三　锥体的体积 棱锥与圆锥统称为锥体． 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等． 一般地，如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝Sh． 特别地，如果圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积为V圆锥＝πr2h． 知识点四　台体的体积 棱台与圆台统称为台体． 一般地，如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h． 特别地，如果圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，则圆台的体积为V圆台＝πh(r＋r2r1＋r)． 知识点五　球的体积 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝πR3． [微提醒]　球的体积公式的推导 作球O，将球O的表面分成n个小网格，把球心与每一个小网格的顶点连接起来，整个球体被分割成n个“准锥体”． 当n无限增大时，每一个小锥体“曲”的底面几乎变成“平”的，此时，每个“准锥体”就近似于棱锥，从而可得球的体积公式V＝·4πR2·R＝πR3． 1．下列命题中正确的是(　　) A．夹在两条平行线间的两个平面图形，若被截得的线段相等，则这两个平面图形的面积相等 B．经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把长方体分成体积相等的两个柱体 C．夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 D．夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面面积相等，则体积相等 答案：B 解析：选项A显然不正确；选项C不满足祖暅原理中的条件②和③；选项D不满足祖暅原理中的条件②. 2．已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为 (　　) A．48 B．64 C．16 D．96 答案：B 解析：设正方体的棱长为a，因为正方体的表面积为96，所以S＝6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为V＝43＝64．故选B． 3．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为(　　) A． B．4 C． D．4 答案：A 解析：正四棱锥的底面积为2×2＝4，正四棱锥的高为＝，所以该正四棱锥的体积为V＝××4＝. 故选A． 4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A．π B．2π C．π D．π 答案：D 解析：S1＝π，S2＝4π，所以r＝1，R＝2，S＝6π＝π(r＋R)l，所以l＝2，所以h＝.所以V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D． 5．已知球的体积为π，则球的大圆面积是________． 答案：4π 解析：因为球的体积为π，所以R＝2，所以球的大圆面积是πR2＝4π. 学生用书第62页 题型一　柱体的体积 例1　一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值为________． 点拨：→→ 答案： 解析：由于正方体和圆柱等高，故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a，圆柱的底面半径为r，则正方体的侧面面积为4a2，圆柱的侧面面积为2πra.又4a2＝2πra，所以r＝，所以正方体的体积为V正方体＝a3，圆柱的体积为V圆柱＝πr2a＝，故＝.即这个正方体和圆柱的体积的比值为. 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．在具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素. 对点练1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为________． 答案：2 解析：因为AA1⊥平面AB1C1， 所以AA1⊥AB1，AA1⊥AC1，因为AA1＝1，A1B1＝A1C1＝4，所以AB1＝AC1＝，取B1C1的中点D，连接AD，则AD⊥B1C1，所以AD＝ ＝，S△AB1C1＝×B1C1×AD＝2 ， 所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝3V三棱锥A-A1B1C1＝3V三棱锥A1-AB1C1＝AA1×S△AB1C1＝2. 题型二　锥体的体积 例2　如图，三棱锥S-ABC的各个面都是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点．求△SDE绕直线SE旋转一周所得旋转体的体积． 点拨：△SDE绕SE所在的直线旋转一周得到两个圆锥，它们的底面是公共的． 解：如图，连接AE，因为△SBC和△ABC是边长为a的正三角形，且SE，AE分别是它们的中线， 所以SE＝AE， 所以△SAE是等腰三角形． 因为D是SA的中点， 所以DE⊥SA， 又SE＝＝a， 所以DE＝ ＝a. 过点D作DF⊥SE，垂足为F， 则DF·SE＝SD·DE， 所以DF＝＝＝a. 则V＝π·SF＋π·EF ＝π·SE＝π·a＝πa3． 求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素的求解常常是放到平面图形中来处理的．对于锥体中相关元素的求解常常要构造直角三角形，应用勾股定理进行求解． 对点练2．已知某圆锥的母线长为3，其侧面展开图的面积为3π，则该圆锥的体积为________． 答案： 解析：设该圆锥的母线长为l，高为h，底面圆半径为r.圆锥侧面展开图的面积为πlr＝3π，解得r＝1．h＝＝2，该圆锥的体积为πr2h＝. 题型三　台体的体积 例3　已知一个圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为________． 点拨：→→ 答案：π 解析：作出圆台的轴截面，如图，设圆台的高为h，则＝，所以h＝2，所以圆台的体积为V＝π(22＋2×3＋32)×2＝π. 学生用书第63页 求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差得到． 对点练3．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？ 解：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是S圆台侧＝π×(4＋6)×10＝100π(cm2).圆台的高h＝BC＝＝＝4(cm)，V圆台＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3). 题型四　有关球的体积问题 例4　用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是(　　) A．π B．2π C．4π D．π 点拨：球心到截面圆的圆心的距离、截面圆的半径、球的半径构成直角三角形，可以根据勾股定理求得球的半径，进而求得球的体积． 答案：C 解析：如图，OO′＝1，设截面圆圆心为O′，半径为r＝AO′，球的半径为R.由题意得截面圆的面积为πr2＝2π，解得r＝.在Rt△AO′O中，OO′2＋AO′2＝AO2，即R＝，所以球的体积为V＝πR3＝4π.故选C． 求解球的体积问题的关键是确定球的半径．一般地，题中不会直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件或解题过程中，一定要注意挖掘题目中的隐含条件． 对点练4．设正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为54，则其外接球的体积为________． 答案：π 解析：球的内接正方体的表面积为54，所以正方体的棱长是3，正方体的对角线3，所以球的直径是3.所以球的体积：π×＝π. 易错点　盲目套用体积公式致误 斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离为6．则这个棱柱的体积为________． 正解：如图所示，将斜三棱柱ABC-A1B1C1补成平行六面体ABCD-A1B1C1D1，因为三棱柱ABC-A1B1C1与三棱柱ACD-A1C1D1等底等高，故V三棱柱ABC-A1B1C1＝V三棱柱ACD-A1C1D1． 设侧面BB1C1C的面积为10，AA1到侧面BB1C1C的距离为6， 则平行六面体BB1C1C-AA1D1D的底面积为10，高为6． 所以V平行六面体BB1C1C-AA1D1D＝10×6＝60． 所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝V平行六面体BB1C1C-AA1D1D＝×60＝30． 答案：30 易错探因：求解本题时，学生容易犯如下的错误：将棱柱的侧面看作底面，则它的高为6，故所求体积为V＝Sh＝10×6＝60．出错的原因在于不会用割补法求体积而乱用已知条件，盲目套用柱体的体积公式导致求解出错． 误区警示：求简单几何体的体积时，若不能直接套用，则可考虑使用“割补法”，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体，“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体，再用公式求解．“割补法”是立体几何中求体积的一种常用方法． 学生用书第64页 1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　) A．15π B．30π C．12π D．36π 答案：C 解析：圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π. 2．充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若要它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积应增大到原来的(　　) A．4倍 B．8倍 C．64倍 D．16倍 答案：C 解析：设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V＝π(4R)3＝64×. 3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：截去的每个小三棱锥的体积为××× ×＝×，则剩余部分体积V＝1－××8＝1－＝. 4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP，若三棱锥P-EBD的体积为V1，三棱锥P-ABD的体积为V2，则的值为________． 答案： 解析：设四棱锥P-ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2＝VP-ABD＝×Sh＝Sh.因为CE＝2EP，所以EP＝PC，所以V1＝VP-EBD＝VE-PBD＝VC-PBD＝VP-BCD＝×Sh＝Sh，所以＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$