11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦祖暅原理与几何体体积计算，系统梳理从祖暅原理推导柱体、锥体、台体体积公式，延伸至球及组合体体积的应用，构建“原理-公式-应用”的完整学习支架。 以金字塔、世贸双子塔等现实情境引入，培养用数学眼光观察世界的意识。通过祖暅原理推导“椭半球体”体积等实例，发展逻辑推理与运算能力，助力课中教学与课后查漏补缺。

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 1.理解祖暅原理的内容，会用祖暅原理推导柱体、锥体和台体的体积公式．　2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，并能熟练应用．　3.熟练掌握并能运用球的体积公式． 瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！ ——你们能求出它的体积吗？ 看，这不是不复存在的世贸双子塔吗？ ——这两个棱柱的体积怎么求？ 想知道吗？让我们一起来学习今天的内容吧！ 一　祖暅原理 (1)内容：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在______________的两个几何体，如果被平行于这两个平面的________所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． (3)应用：________________的两个柱体或锥体的体积相等． [答案自填] 两个平行平面间　任意平面　等底面积、等高 【即时练】 1．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β相距任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时，“椭半球体”的体积是(　　) A．4π cm3　　 B．8π cm3 C．12π cm3 D．16π cm3 解析：选B．设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离d处的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体的体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3).故选B． 二　柱体、锥体、台体的体积 名称 体积(V) 柱体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥体 棱锥 V＝Sh 圆锥 V＝πr2h 台体 棱台 V＝(S2＋＋S1)h 圆台 V＝π(r＋r2r1＋r)h 其中S表示棱柱和棱锥的底面积，S1，S2分别表示棱台上、下底面的面积，h表示高，r表示圆柱和圆锥的底面半径，r1和r2分别表示圆台上、下底面的半径． (1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个正六棱柱的体积为(　　) A． m3 B． m3 C．1 m3 D． m3 (2)(对接教材例2)正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，则正四棱台的体积为________ cm3. 【解析】　(1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以正六棱柱的体积V＝××6×＝(m3). (2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高． 设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形．因为S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)， 所以EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中， O1E1＝B1C1＝A1B1＝5(cm)， OE＝BC＝AB＝10(cm)， 所以O1O＝＝12(cm)， 所以该正四棱台的体积为V＝×(102＋202＋10×20)×12＝2 800(cm3). 【答案】　(1)B　(2)2 800 求几何体体积的常用方法 [跟踪训练1] (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：选D．用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 解析：选B．设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B． 三　球的体积 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝__________． [答案自填] πR3 (1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　　) A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 (2)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为(　　) A．∶2 B．2∶1 C．∶2 D．3∶2 【解析】　(1)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，所以球的半径R＝OA＝＝3(cm)，所以球的体积V＝π×33＝36π(cm3).故选B． (2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R， 则由题意得 解得 所以l＝＝h， 所以S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2， S球＝4πR2＝4πh2， 所以＝＝. 故圆锥侧面积与球的表面积之比为∶2. 【答案】　(1)B　(2)C (1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等． [跟踪训练2] 若将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是(　　) A．8　 B．2 C．2　 D． 解析：选C．8个半径为1的实心铁球的总体积为8×π×13＝π，设大球半径为R，则πR3＝π，解得 R＝2.故选C． 四　组合体的体积 (对接教材例3)如图，组合体下部是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2，上部是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积． 【解】　组合体的下部是一个直三棱柱，由题意可知S底＝×2×2＝2，S侧面＝3×2＋3×2＋3×＝12＋6；上部是一个三棱锥，AC＝＝，AB＝＝，则AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC，除底面BCE外的表面积S1＝×3×2＋×3×2＋×2×＝3＋3＋，所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9＋.V＝V三棱锥＋V三棱柱＝××2×2×3＋×2×2×3＝2＋6＝8. 求组合体体积的步骤 (1)分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式，找准常见几何体的关键量． (2)设计计算方法：依据组合体的组成形式，经常利用“切割”“补形”的方法求解． (3)计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解． [跟踪训练3] 在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为____________． 解析：如图，分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝FN＝＝3，取GM的中点O，连接 EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM，则EO＝＝，所以V四棱锥E­AGMD＝V四棱锥F­HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME­HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E­AGMD＋V四棱锥F­HBCN＋V三棱柱GME­HNF＝. 答案： 1．若圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，则这个圆台的体积是(　　) A．π B．2π C．7π D．π 解析：选A．设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，由圆台体积公式知，V＝πh(r＋r＋r1r2)＝××(12＋22＋1×2) ＝π.故选A． 2．已知球的体积是，则此球的表面积是(　　) A．12π B．16π C． D． 解析：选B．设球的半径为R，所以πR3＝，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π. 3．(多选)(2024·阜新期末)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　) A． cm3 B． cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 解析：选AB．当圆柱的高为8 cm时，体积V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，体积V＝π××12＝(cm3). 4．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥A­A1BD，求剩余的几何体的体积与表面积． 解：因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， 三棱锥A­A1BD的体积V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝S△ABD·AA1＝××1×1×1＝. 所以剩余几何体的体积V＝V正方体－V三棱锥A­A1BD＝1－＝.又△A1BD是边长为的等边三角形，S△A1BD＝××sin ＝， 所以S△CBD＝S△A1D1D＝S△A1B1B＝，S正方形BCC1B1＝S正方形CDD1C1＝S正方形A1B1C1D1＝1，所以剩余几何体的表面积为＋3×＋3×1＝. 1．已学习：祖暅原理，柱体、锥体、台体、球及简单组合体的体积公式． 2．须贯通：三棱锥的体积可以通过转换底面即“等体积法”来求解；求旋转体体积的关键是寻求底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求解． 3．应注意：熟记体积公式，球心位置的确定要准确． 学科网（北京）股份有限公司 $