专题11.1.5 旋转体（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题11.1.5 旋转体 教学目标 1．理解旋转体的定义与形成过程，掌握轴、母线、底面、侧面、轴截面等概念，能准确描述各要素含义。 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征与形成方式，能区分并识别各类旋转体的关键属性。 3．理解各类旋转体的轴截面与侧面展开图形状，掌握侧面积、表面积公式，能正确代入计算。 4．能结合结构特征判断几何体、辨析易混概念，运用公式解决表面积计算与简单应用问题。 教学重难点 重点：旋转体相关概念；圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；侧面积与表面积公式的记忆与应用。 难点：母线与轴截面的理解；圆台的形成条件与性质；表面积公式的区分与灵活选用。 知识点01 旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的边（或它的长度）。 （3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。 【即学即练】 1．下列为旋转体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，球是旋转体，直径是球的旋转轴，故A符合题意； 对于B，长方体是多面体，故B不符合题意； 对于C，四棱锥是多面体，故C不符合题意； 对于D，三棱柱是多面体，故D不符合题意. 2．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     【答案】B 【详解】四边形是矩形，， ，是长边， 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是选项中较高的圆柱体． 故选：B． 知识点02 圆柱、圆锥、圆台 一、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫做圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 二、圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 三、圆台 1、第一种定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 【即学即练】 3．如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】B、D项不是旋转体，排除；A项不符合圆柱体的定义，排除； 只有C项符合，所以选C. 4．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形. ( ) 【答案】正确 【详解】圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形. 故答案为：正确. 知识点03 球 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 【即学即练】 5．下列几何体中为球的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为球，D选项可能为棱台. 故选：C 6．用任何一个平面去截球面，得到的截面都是______，其中过球心的平面截球面得到的______最大，等于球的半径． 【答案】 圆 圆的半径 【详解】略. 知识点04 旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 【即学即练】 7．已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________． 【答案】2 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由题意知：，所以. 8．已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球半径为，则圆柱的表面积，球的表面积， 所以圆柱与球的表面积之比为. 故选：B 题型01 平面图形与旋转体 【例1】下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【详解】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 【例2】如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ）    A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 【答案】B 【详解】由题可知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成. 【变式1-1】如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 【变式1-2】如图所示的立体图形可由平面图形_________绕轴旋转而成（填序号）． 【答案】③④ 【详解】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转而成． 故答案为：③④. 【变式1-3】若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．    【答案】答案见解析 【详解】①是直角三角形，旋转后形成圆锥； ②是直角梯形，旋转后形成圆台； ③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示． 通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．    解题先确定旋转轴与平面图形形状，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，直角梯形绕直角腰旋转得圆台，半圆绕直径旋转得球。 题型02 各种旋转体的结构特征 【例3】下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】A 【详解】对于A选项，圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确； 对于B选项，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，错误； 对于C选项,只有正棱台的侧面才是等腰梯形，错误； 对于D选项, 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，错误. 【例4】用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台 【答案】B 【详解】如图： 平面截长方体的截面为梯形，故选项A符合题意； 如图： 平面截三棱锥的截面为梯形，故选项C符合题意； 如图： 当平面沿圆台的轴截圆台时，截面为等腰梯形，故选项D符合题意； 用一个平面截圆锥，得到的截面图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是梯形， 故选项B不合题意. 故选：B 【变式2-1】给出下列命题： ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个； ②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交； ④用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面. 其中正确的为__________（填序号）. 【答案】① 【详解】①正确,因为圆柱轴截面矩形的长是底面圆的直径,所以此时截面面积最大;②错误,因为截面可能是一个三角形; ③错误,圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;④错误,有可能截面为矩形. 故答案为：① 【变式2-2】将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 【答案】B 【详解】对于A,由于正方体的棱长为，故圆柱底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5，圆柱的高最大不超过，故A错误，B正确， 正方体的内切球的半径为5，为正方体内最大的球，故C错误， D.正方体的面对角线的长度为，故棱长不超过.D错误， 故选：B 【变式2-3】（多选）用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱锥 【答案】ACD 【详解】对于A，过圆柱旋转轴的截面截圆柱所得截面为矩形，因此A正确； 对于B，截圆锥所得平面可以是三角形和曲边图形，不可能是矩形，即B错误； 对于C，在直三棱柱中，用平行于某一侧面的截面截三棱柱所得的截面可以为矩形，即C正确； 对于D，在正四棱锥中，用平行于底面的截面截四棱锥可以得到矩形截面，即D正确. 故选：ACD 圆柱抓两底面平行全等、母线平行于轴、轴截面为矩形；圆锥抓顶点、底面为圆、母线等长、轴截面为等腰三角形；圆台抓上下底面平行、母线延长线共点、轴截面为等腰梯形；球抓球心、半径、直径、球面均匀对称。 题型03 旋转体的表（侧）面积 【例5】已知母线长为2的圆锥的表面积与直径为2的球的表面积相等，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该圆锥的底面半径为，所以圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，即， 解得或（舍）． 【例6】已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱底面半径为，高为，已知球半径. 因为圆柱上下底面圆周都在球面上，球心在圆柱的轴线的中点， 由勾股定理得：， 所以，即，当且仅当. 则该圆柱侧面积为，故其最大值为. 【变式3-1】若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为， 则， 所以圆锥的侧面积. 【变式3-2】四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为， 所以表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为 【变式3-3】已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 题型04 组合体的结构特征与计算 【例7】指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【详解】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 【例8】已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】A 【详解】正四面体各棱中点连线构成正八面体，如图18 在正四面体中，平面，共面， 故把正四面体和正八面体合成后只有7个面．    故选：A 【变式4-1】2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是__________. 【答案】 【详解】棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为， 又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点， 所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连， 所以该多面体有6个正方形，正六边形有个， 所以该多面体的表面积为. 故答案为：. 【变式4-2】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的， 由于它们的一侧可以夹一个正方形， 所以另一侧也可以加一个正方形， 因此，图中的三角形为等腰直角三角形， 不妨设正五边形的边长为， 则等腰直角三角形的斜边为， 所以下底面正方形的边长为1，上底面正方形的边长为， 所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1， 所以上正方形面积是下正方形面积的2倍， 故选：B 【变式4-3】如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周， 如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线， ，设，， 在和中使用勾股定理有， 解得，于是点P的轨迹的长度. 故选:D. 先拆分组合体为基本旋转体，识别是拼接、截取还是相切模型，分别确定各部分的结构特征与参数。 计算表面积时要减去重叠部分面积，按基本几何体公式分别计算再合并，注意拼接面不计入表面积，保证数据准确不重复。 题型05 球的截面问题 【例9】球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 【例10】已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 【变式5-1】已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）. 故答案为： 【变式5-2】已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 【变式5-3】如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．    【答案】 【详解】由题意，在轴截面等腰三角形中，，平行于底面的截面与轴截面形成了交线， 将分为和梯形，圆和圆分别为两部分的外接圆和内切圆，半径均为， 则有高，梯形高，，， ，，， ，令，则，解得，所以．    故答案为： 球的截面为圆，球心到截面距离d、截面圆半径r、球半径R满足R²=r²+d²，用勾股定理计算。 解题先作截面图，确定球心、截面圆心连线垂直于截面，再代入公式求解半径、面积或距离，画图辅助更直观。 题型06 旋转体表面的最短距离 【例11】为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 【答案】B 【详解】如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽灯柱的高米， 长方形的长三个圆柱的底面周长（米）， 装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为（米）. 【例12】如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【答案】 【详解】因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为， 又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示． 易知为半圆弧的中点，且， 结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为． 【变式6-1】边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【详解】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后， ∴，即为所求最短距离． 故选：A. 【变式6-2】如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.    【答案】 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，   ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 【变式6-3】如图，在梯形ABCD中，，，，.以BC所在的直线为旋转轴，将梯形ABCD旋转一周，得到一个几何体. (1)求该几何体的表面积； (2)若一只蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A，求最短爬行路程. 【答案】(1) (2)24. 【分析】 【详解】（1）如图所示，将直角梯形ABCD以BC边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径为，母线长的圆台， 其表面积为. （2）将圆台的侧面沿母线AD剪开，展开后得到如图所示的一个扇环. ∵圆台上、下底面半径的关系为， ∴，， 又∵， ∴，. 设，则的长， 解得，连接，可知为等边三角形， ∴， ∴蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A的最短路径即为线段， ∴蚂蚁爬行的最短路程为24. 统一用侧面展开图法，将圆柱、圆锥、圆台侧面展开为平面图形，两点之间线段最短，用勾股定理计算。 展开时注意对应圆心角、弧长与母线长度，找准起点与终点位置，按平面两点距离公式计算，避免展开位置错误。 一、单选题 1．下面几何体的截面一定不是圆面的是（   ） A．正四面体 B．圆柱 C．圆锥 D．圆台 【答案】A 【详解】由题意得，圆柱的截面有可能为圆面，圆锥的截面有可能为圆面，圆台的截面有可能为圆面， 正四面体的截面一定不是圆面. 2．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆锥的母线长，则它的侧面积． 3．下列说法正确的是（   ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 【答案】C 【详解】A.棱台是侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故A错误； B.不符合棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，不能确定侧棱平行，故B错误； C.圆锥的母线长相等，所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C正确； D.只有以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台，故D错误. 4．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【详解】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径，由该圆台母线长为7，侧面积为， 得，所以. 5．已知一圆锥的轴截面是正三角形，将其侧面展开，得到的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则其母线， 则其侧面展开扇形的圆心角. 故选：C. 6．如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 【答案】C 【详解】将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是扇形. 故选：C 7．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以. 8．已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由底面半径，高， 圆锥母线长， 圆锥表面积： 圆柱表面积： ， 所以 . 二、多选题 9．（多选题）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【答案】BC 【详解】对于A，由圆柱的定义可知：圆柱的母线与它的轴都平行，故A错误； 对于B，由圆锥的定义可知：圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确； 对于C，由圆台母线定义可知：在圆台的上、下两底面圆周上各取一点， 则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C正确； 对于D，由圆柱的定义可知：圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的，故D错误. 10．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB. 三、填空题 11．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【详解】圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ， 所以母线长 ， 侧面积 ， 上底面积 ，下底面积 ， 表面积 ． 12．如图，为圆锥的轴截面，，则从点出发沿圆锥的侧面再回到点的最短路线的长是__________. 【答案】 【详解】因为，所以圆锥底面圆周长为，即侧面展开图中扇形的弧长为， 因为，所以扇形的圆心角， 则最短路线长为该圆心角所对应弦长. 13．已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 四、解答题 14．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 【答案】. 【详解】设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为. 因圆柱的底面周长为，则， 则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：， 圆锥侧面积为：， 则“笼具” 表面积为：，则总造价为： 元. 15．如图为一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花120朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花？ 【答案】 【详解】由于该花柱是由半球体与圆柱体组合而成， 因为圆柱的直径为，高为， 所以该几何体的表面积为：， 因为每平方米大约需要鲜花120朵， 所以这个花柱大约需要朵鲜花. 16．如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. （2）设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1.5 旋转体 教学目标 1．理解旋转体的定义与形成过程，掌握轴、母线、底面、侧面、轴截面等概念，能准确描述各要素含义。 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征与形成方式，能区分并识别各类旋转体的关键属性。 3．理解各类旋转体的轴截面与侧面展开图形状，掌握侧面积、表面积公式，能正确代入计算。 4．能结合结构特征判断几何体、辨析易混概念，运用公式解决表面积计算与简单应用问题。 教学重难点 重点：旋转体相关概念；圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；侧面积与表面积公式的记忆与应用。 难点：母线与轴截面的理解；圆台的形成条件与性质；表面积公式的区分与灵活选用。 知识点01 旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线________产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的________（或它的长度）。 （3）底面：________于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：________于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过________的平面所得到的截面。 【即学即练】 1．下列为旋转体的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     知识点02 圆柱、圆锥、圆台 一、圆柱 定义：以________的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫做圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）________于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）________于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，________与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且________的圆面； （2）母线有________条，都平行与轴； （3）轴截面为________。 二、圆锥 定义：以________的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的________旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是________； （2）圆锥的________与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 三、圆台 1、第一种定义：用________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以________垂直于底边的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径________且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为________。 【即学即练】 3．如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 4．判断：圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形. ( ) 知识点03 球 定义：半圆以它的________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 【即学即练】 5．下列几何体中为球的是（    ） A． B． C． D． 6．用任何一个平面去截球面，得到的截面都是______，其中过球心的平面截球面得到的______最大，等于球的半径． 知识点04 旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 ________ ________ 表面积公式 ________ ________ ________ 【即学即练】 7．已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________． 8．已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 题型01 平面图形与旋转体 【例1】下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【例2】如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ）    A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 【变式1-1】如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【变式1-2】如图所示的立体图形可由平面图形_________绕轴旋转而成（填序号）． 【变式1-3】若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．    解题先确定旋转轴与平面图形形状，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，直角梯形绕直角腰旋转得圆台，半圆绕直径旋转得球。 题型02 各种旋转体的结构特征 【例3】下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【例4】用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台 【变式2-1】给出下列命题： ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个； ②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交； ④用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面. 其中正确的为__________（填序号）. 【变式2-2】将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 【变式2-3】（多选）用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱锥 圆柱抓两底面平行全等、母线平行于轴、轴截面为矩形；圆锥抓顶点、底面为圆、母线等长、轴截面为等腰三角形；圆台抓上下底面平行、母线延长线共点、轴截面为等腰梯形；球抓球心、半径、直径、球面均匀对称。 题型03 旋转体的表（侧）面积 【例5】已知母线长为2的圆锥的表面积与直径为2的球的表面积相等，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【变式3-3】已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 题型04 组合体的结构特征与计算 【例7】指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①             ② 【例8】已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式4-1】2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是__________. 【变式4-2】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 先拆分组合体为基本旋转体，识别是拼接、截取还是相切模型，分别确定各部分的结构特征与参数。 计算表面积时要减去重叠部分面积，按基本几何体公式分别计算再合并，注意拼接面不计入表面积，保证数据准确不重复。 题型05 球的截面问题 【例9】球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【例10】已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【变式5-2】已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【变式5-3】如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．    球的截面为圆，球心到截面距离d、截面圆半径r、球半径R满足R²=r²+d²，用勾股定理计算。 解题先作截面图，确定球心、截面圆心连线垂直于截面，再代入公式求解半径、面积或距离，画图辅助更直观。 题型06 旋转体表面的最短距离 【例11】为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 【例12】如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【变式6-1】边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【变式6-2】如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.    【变式6-3】如图，在梯形ABCD中，，，，.以BC所在的直线为旋转轴，将梯形ABCD旋转一周，得到一个几何体. (1)求该几何体的表面积； (2)若一只蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A，求最短爬行路程. 统一用侧面展开图法，将圆柱、圆锥、圆台侧面展开为平面图形，两点之间线段最短，用勾股定理计算。 展开时注意对应圆心角、弧长与母线长度，找准起点与终点位置，按平面两点距离公式计算，避免展开位置错误。 一、单选题 1．下面几何体的截面一定不是圆面的是（   ） A．正四面体 B．圆柱 C．圆锥 D．圆台 2．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 4．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 5．已知一圆锥的轴截面是正三角形，将其侧面展开，得到的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 6．如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 7．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 8．已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选题）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 10．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 12．如图，为圆锥的轴截面，，则从点出发沿圆锥的侧面再回到点的最短路线的长是__________. 13．已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 四、解答题 14．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 15．如图为一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花120朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花？ 16．如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $