11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦祖暅原理与几何体体积计算核心知识点，以祖暅原理为理论支架，系统推导柱体、锥体、台体的体积公式，延伸至球的体积公式及组合体体积计算，构建从原理到应用的完整知识脉络。 资料以金字塔、世贸双子塔等现实情境导入，培养学生用数学眼光观察世界，通过祖暅原理推导及高考真题例题，发展数学思维，结合“补形”“切割”等方法，助力学生用数学语言解决问题，课中提升教学效率，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 新课导入 学习目标 　　瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！你们能求出它的体积吗？ 看，这不是不复存在的世贸双子塔吗？这两个棱柱的体积怎么求？ 　 想知道吗？让我们一起来学习今天的内容吧！ 1.理解祖暅原理的内容，会用祖暅原理推导柱体、锥体和台体的体积公式． 2．掌握柱体、锥体、台体的体积公式，并能熟练应用． 3．熟练掌握并能运用球的体积公式． [知识梳理] (1)内容：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． (3)应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． [即时练] 1．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β相距任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时，“椭半球体”的体积是(　　) A．4π cm3 B．8π cm3 C．12π cm3 D．16π cm3 解析：选B.设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离d处的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体的体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3).故选B. 二　柱体、锥体、台体的体积 思考　如果一个锥体的底面积和高与一个柱体的底面积和高都相等，那么这个锥体的体积与柱体的体积有什么关系？ 提示　底面积和高都相等的锥体与柱体的体积关系为V锥体＝V柱体． [知识梳理] 其中S表示棱柱和棱锥的底面积，S1，S2分别表示棱台上、下底面的面积，h表示高，r表示圆柱和圆锥的底面半径，r1和r2分别表示圆台上、下底面的半径． 名称 体积(V) 柱体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥体 棱锥 V＝Sh 圆锥 V＝πr2h 台体 棱台 V＝(S2＋＋S1)h 圆台 V＝π(r＋r2r1＋r)h 点拨　(1)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系． (2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点． (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系 [例1] (1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个正六棱柱的体积为(　　) A． m3 B． m3 C．1 m3 D． m3 (2)(对接教材例2)正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，则正四棱台的体积为________ cm3. 【解析】　(1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝. 所以正六棱柱的体积V＝××6×＝(m3).　 (2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高． 设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形．因为S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)， 所以EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中， O1E1＝B1C1＝A1B1＝5(cm)， OE＝BC＝AB＝10(cm)， 所以O1O＝＝12(cm)， 所以该正四棱台的体积为V＝×(102＋202＋10×20)×12＝2 800(cm3). 【答案】　(1)B　(2)2 800 求几何体体积的常用方法 [跟踪训练1] (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 解析：选B.设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B. 三　球的体积 [知识梳理] 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝πR3． 点拨　球的表面积公式与体积公式的联系：V球＝S球R. [例2] (1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　　) A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 (2)在一个底面直径为12 cm，高为18 cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12 cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13 cm，则球型小钢珠的半径为__________cm. 【解析】　(1)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，所以球的半径R＝OA＝＝3(cm)，所以该球的体积V＝π×33＝36π(cm3).故选B. (2)设球型小钢珠的半径为R cm，上升水柱的体积V＝πr2h＝36π(cm3)，所以V球＝πR3＝36π，所以R3＝27，即R＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 (1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等． [跟踪训练2] 若将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是(　　) A．8　　　　 B．2 C．2　　　　 D． 解析：选C.8个半径为1的实心铁球的总体积为8×π×13＝π，设大球半径为R，则πR3＝π，解得 R＝2.故选C. 四　组合体的体积 [例3] (2024·天津卷)在如图所示的五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间的距离均为1.若AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ 【解析】　用一个完全相同的五面体HIJ­LMN(顶点与五面体ABC­DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，L；E，M；F，N重合， 因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离均为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以V五面体ABC­DEF＝V三棱柱ABC­HIJ＝××1×1××4＝. 【答案】　C 求组合体体积的步骤 (1)分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式，找准常见几何体的关键量． (2)设计计算方法：依据组合体的组成形式，经常利用“切割”“补形”的方法求解． (3)计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解． [跟踪训练3] 在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为____________． 解析：如图，分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝ FN＝＝3，取GM的中点O，连接EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM， 则EO＝＝，所以V四棱锥E­AGMD＝V四棱锥F­HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME­HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E­AGMD＋V四棱锥F­HBCN＋V三棱柱GME­HNF＝. 答案： 1．若圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，则这个圆台的体积是(　　) A．π B．2π C．7π D．π 解析：选A.设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，由圆台体积公式知，V＝πh(r＋r＋r1r2)＝××(12＋22＋1×2) ＝π.故选A. 2．已知球的体积是，则此球的表面积是(　　) A．12π B．16π C． D． 解析：选B.设球的半径为R，所以πR3＝，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π. 3．(多选)(2025·阜新期末)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　) A． cm3 B． cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 解析：选AB.当圆柱的高为8 cm时，体积V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，体积V＝π××12＝(cm3). 4．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥A­A1BD，求剩余的几何体的体积． 解：因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， 三棱锥A­A1BD的体积V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝S△ABD·AA1＝××1×1×1＝. 所以剩余几何体的体积V＝V正方体－V三棱锥A­A1BD＝1－＝. 1．已学习：祖暅原理，柱体、锥体、台体、球及简单组合体的体积公式． 2．须贯通：三棱锥的体积可以通过转换底面即“等体积法”来求解；求旋转体体积的关键是寻求底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求解． 3．应注意：熟记体积公式，球心位置的确定要准确． 学科网（北京）股份有限公司 $