11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积

 

[知识梳理]

(1)内容：幂势既同，则积不容异．

(2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．

(3)应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．

[即时练]

1．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案：C

2．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β相距任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，

当b＝2 cm，a＝3 cm时，“椭半球体”的体积是(　　)

A．4π cm3    B．8π cm3

C．12π cm3    D．16π cm3

解析：选B.设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离d处的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体的体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3).故选B.

二　柱体、锥体、台体的体积

思考　如果一个锥体的底面积和高与一个柱体的底面积和高都相等，那么这个锥体的体积与柱体的体积有什么关系？

提示　底面积和高都相等的锥体与柱体的体积关系为V锥体＝V柱体．

[知识梳理]

其中S表示棱柱和棱锥的底面积，S1，S2分别表示棱台上、下底面的面积，h表示高，r表示圆柱和圆锥的底面半径，r1和r2分别表示圆台上、下底面的半径．

 

点拨　(1)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系．

(2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点．

(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系

[例1] (1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个正六棱柱的体积为(　　)

A． m3    B． m3

C．1 m3    D． m3

(2)(对接教材例2)正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，则正四棱台的体积为________ cm3.

【解析】　(1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.

所以正六棱柱的体积V＝××6×＝(m3).　

(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中