11.1.5 旋转体-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 面积为6x兮号心.总表面积5=-27x号1，六增 加的表面积为S2-S=122. 11.北南【解析】如图，将所给图形还原为正方体， 并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面，则标记 “△”的面的方向是北，标记为“O”的面的方向是南. 上 C B 北 西 北 南 东 下 西上东 南DCBA (示意图) 第11题答图 12.6【解析】将三棱锥V-ABC沿侧 棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一 个平面上，如图所示，则△AEF的周长= AE+EF+FAAE+EF+FAAA.AA (即A,E,F,A1四点共线时)的长即所 求△AEF周长的最小值.作VD⊥AA,垂 足为点D.由VA=VA,知D为AA,的中 点.由已知∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°， 第12题答图 得∠AVD=60°.在Rt△AVD中，AD=VA·sin60°=2V3× 3=3,即AA,=2AD=6.∴截面△AEF周长的最小值 2 是6. 13.解：如图1，得BD'=V5+1=V26,由图2，得 BD'=VI8=3V2,由图3，得BD=V20=2V5,∴(BD)m= 3V2. B D2A 3 图1 图2 图3 第13题答图 14.解：连接0M1,PO=2m,PA=4m,∴AB1=AO1= V4-22=2V3(m).取AB,的中点为Q,连接0Q,PQ, 易得P四1AB,A,Q=号AB=V3,PQ=VPm-AQ= 76 V/13().设帐篷上部的侧面积为S1,下部的侧面积为S2, .S6x1ABPQ=6V39(m2),S=6AB00=48V3(m2), 2 .搭建帐篷的表面积为S+S2=6V39+48V3(m2). C D 第14题答图 11.1.5旋转体 1.C【解析】A选项中，必须以垂直于底边的腰所在 直线为旋转轴旋转才能得到圆台，·.错误：B选项中，只 有两个平行于底面的平面所夹部分是圆柱，错误；D选 项中，将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，“ 错误，故选C. 2.D【解析】由球的结构特征知该几何体是球，故选D. 3.B【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半 圆，圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的表面 积为S=S底+S侧=T+2T=3π，故选B. 4.B【解析】由题意，可得圆台OO的侧面积为π(1+2) ×3=9m.故选B. 5.B【解析】如图，设展开图小圆半径和大圆半径分 别为r,R,则圆台侧面积S=T(R2-2)=4r,即R2-2=8, 上底面半径器子，下底面半径R:器：冬，国台上、 下底面面积之差的能对值为---了军香】 =2π.故选B. 第5题答图 6.A【解析】由题意，可知圆锥的母线长和底面圆的 直径均为2，.圆锥的侧面积为π×1×2=2π.故选A. 7.AD【解析】如图所示，设球心为O,C,D分别为 两截面圆的圆心，AB为经过O,C,D的直径.由于两截面 圆半径分别为6和8，球半径为10.如图1，当两截面在球 心同侧时，CD=OC-0D=V102-6-V102-82=2:如图2，当 两截面在球心两侧时，CD=0C+0D=V10-6+V10-8= 14,故选AD. B 图1 图2 第7题答图 8.4r【解析】球体表面积为4π2-4x12-4π.故答案为4π. 9.了【解析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为么，依 题意，，2，解得子，该圆锥的高为号 x2nxh 10.3m【解标】孤长为牙、半径为1的扇形，其圆心 角为牙，则该扇形绕0B所在直线旋转一周得到的几何体 是半径为1的半球体，.该扇形绕OB所在直线旋转一周 得到的几何体的表面积S=mx1+】x4Tx1?=3m 2 11.12【解析】AB=10,AC=6,BC=8,∴.△ABC为直 角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.r=5.轴截 面图如图所示，.dP=R2-2=132-52=122,∴.球心0到△ABC 所在小圆的距离为12. B 0 第11题答图 第12题答图 12.解：(1)由题意，可得圆台上、下底面的半径分 别为r'=3cm和r=8cm,两底面圆心的连线长为高h= 12cm,如图所示，作A'B⊥OA=B,则有AB=r-r'=5cm, A'B=h=12cm,在Rt△AA'B中，AA'=VAB2+A'B2=13cm, 故圆台的母线长为13cm. (2)圆台的表面积S=S上底+S下底+S侧=9T+64T+13×(3+ 8)T=216m(cm2). 13.解：(1)圆锥的母线长为 V6+2=2V10(cm),故圆锥的侧 面积S,=mx2x2V10=4V10π(cm2). A 0 (2)画出该几何体的轴截面图形 如图所示，设圆柱的底面半径为OA MA O B N rm,由短盒，知微，即号 第13题答图 参考答案。 -6后，6号圆柱的侧面积S-2m=罗(46) 3 -(-3产6m(cm),当=3时，圆往的侧面积取得 最大值，且最大值为6πcm2. 14.5π【解析】题图中阴影部分绕AB所在直线旋转一 周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，球的 表面积的？为×4mx1=2m:圆柱的底面半径为1，高为1， .圆柱的底面积为T×12=T,圆柱的侧面积为2π×1×1=2π， ∴.该旋转体的表面积为2m+T+2m=5π. 15.牙V了【解析】扇形侧面展开图的弧长等于圆 能底面圆的周长，即为2m×号=智，又扇形的半径为2， 4rπ :扇形的圆心角为子=受.设侧面展开图为扇形A5, 连接MA',则展开图中MA'的长度就是绳子长度的最小值， 由余弦定理，可得MA'=√1+4-2x1x2x-2)=V7. 11.1.6 祖恒原理与几何体的体积 第1课时与柱、锥、台相关的体积问题 1.A【解析】若圆柱底面半径为r,则2r=2π，可得 =1,且圆柱的高为2π，∴.圆柱的体积为2r×T×12=2π2.故 选A. 2.C【解析】如图，A-BCD 为正三棱锥，BC=CD=BD=2, 11 AB=AC=AD=4Y3,设底面 3 △BCD的中心为G,连接BG并 延长，交CD于点E,可得BE= V3,则BG=2Y3.在Rt△AGB 第2题答图 3 中.求得AG=VMC=V4号2y-2 3 :此正三楼锥的体积为号×号2xV3x2-2,故 3 选C 3.B【解析】米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底 部的弧长为8尺，可知圆锥底面圆的周长为32尺，结合圆 的周长公式，可得圆锥底面半径为16尺.又米堆的高为5 尺，再结合圆锥的体积公式，可得米堆的体积为320立方 3π 尺.再根据题设条件，1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周 率约为3，可估算出米堆有22斛，故选B 77N 高中数学必修第四册人教B版 11.1.5 基础练习 一、选择题 1.下列说法中正确的是() A.以直角梯形的一腰所在直线为旋转 轴旋转所得的旋转体是圆台 B.圆柱夹在两平行截面之间的部分仍 是圆柱 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D.将正方形旋转不可能形成圆柱 2.用任意平面去截一个几何体，所得各 截面始终都是圆面，则这个几何体一定是 () A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 3.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的 半圆，则该圆锥的表面积为() A.2π B.3m C.4π D.5m 4.圆台00'的母线长为3，两底面半径 分别为1,2，则圆台00的侧面积为() A.3π B.9T C.10m D.14m 5.已知圆台的侧面展开图是半个圆环， 侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的 绝对值为() A.T B.2T (42)练 旋转体 C.4T D.8m 6.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的 等边三角形，则这个圆锥的侧面积为() A.2π B.3m C.4n D.V3n 3 7.(多选题)已知表面积为400π的球 的两个平行截面的周长分别为12π和16π， 那么这两个截面之间的距离可能是() A.2 B.4 C.7 D.14 二、填空题 8.若球的半径为1，则其表面积为 9.若一个圆锥的母线长为，且其侧面 积与其轴截面面积的比为2π：1，则该圆锥 的高为 10.如图所示，弧长为罗、半径为1的 扇形（及其内部）绕OB所在的 直线旋转一周，所形成的几何 0 体的表面积为 第10题图 11.已知A,B,C是球0上的三点， AB=10,AC=6,BC=8,球0的半径为13， 则球心O到△ABC所在小圆面的距离为 三、解答题 12.已知一个圆台上、下底面的半径分 别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长 为12cm.求： (1)圆台的母线长 (2)圆台的表面积. 第十一章立体几何初步 13.一个圆锥的底面半径为2cm,高为 6cm,在其内部有一个高为xcm的内接圆 柱，圆柱的下底面与圆锥的底面在同一平面 内，上底面恰好为圆锥的一个截面， (1)求圆锥的侧面积. (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 求出侧面积的最大值 提升练习 14.在边长为1的正方形 中裁去一个如图所示的扇形， 再将剩余的阴影部分绕AB所 B 在直线旋转一周，所得几何 第14题图 体的表面积为 15.已知圆锥S0(S为顶点，0为底面 圆的圆心)的底面半径是号，母线长是2， 则将它的侧面沿母线SA展开形成的扇形的 圆心角为 ;若M是SA的中点，从 M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A,则绳 子长度的最小值为 练(43